江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年八年级上学期第一次月数学考试卷

江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年‌八上数学第一次月考试卷 一．选择题（共7小题） 1．如图，将三角形纸片ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE．若∠B＝80°，∠BAE＝26°，则∠EAD的度数为（　　） A．36° B．37° C．38° D．45° 2．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，ED⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，AB＝11，AC＝5，则BE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　） A．48 B．96 C．84 D．42 5．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD：DB＝3：5，则点D到AB的距离等于（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 6．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 7．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝1，则AC的长为（　　） A．16 B．15 C．14 D．13 二．填空题（共11小题） 8．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝　 　． 9．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，ED′与BC交于点为G，点D、点C分别落在点D′、点C′的位置上，若∠1＝110°，则∠GFC′＝　 　． 10．已知点P为∠AOB内一点，且∠AOB＝30°，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若OP＝6，则△PMN的周长为　 　． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是 　 　． 12．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝　 　． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处．若∠A＝24°，则∠CDE＝　 　°． 14．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CF⊥AD，BE⊥AD．若CF＝8，BE＝6，AD＝10，则EF的长为　 　． 15．如图，AD垂直平分BC于点D，EF垂直平分AB于点F，点E在AC上，BE+CE＝20cm，则AB＝　 　． 16．△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是 　 　． 17．如图，已知△ABC的面积为18，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是　 　． 18．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是 　 　． 三．解答题（共6小题） 19．（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE． ①证明△ABD≌△ECD； ②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是 　 　； （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF． 20．如图，在△ABC中，BC＝5，高AD、BE相交于点O，BD＝CD，且AE＝BE． （1）求线段AO的长； （2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； （3）在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 21．如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，AF＝AD，AB＝AD+BC． （1）AE与BE垂直吗？说明你的理由； （2）若AE＝5，BE＝3，试求出四边形ABCD的面积． 22．如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM的平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F，DG⊥AM于点G，连接CD． （1）求证：BG＝CF； （2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长． 23．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 24．定义：如图，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． 如图①，在△ABC中，D，E分别是AB、AC上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图②，延长CE交BA的延长线于点N，延长BD至点M，使DM＝EN，连接AM，得到图③，请解答下列问题： （1）在图②中，BD与CE的数量关系是　 　； （2）在图③中，求证：点A为点C，M关于直线BN的“等角点”． 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．【解答】解：∵∠B＝80°，∠BAE＝26°， ∴∠AEB＝180°﹣（∠B+∠BAE）＝180°﹣（80°+26°）＝74°， ∵将△ABC折叠点C与点A重合， ∴AE＝CE， ∴∠EAD＝∠C， 由三角形的外角性质得，∠AEB＝∠EAD+∠C， ∴2∠EAD＝74°， ∴∠EAD＝37°． 故选：B． 2．【解答】解：作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， ∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC， ∴×5×4+×AC×4＝24， ∴AC＝7． 故选：D． 3．【解答】解：如图，连接CD，BD， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE， ∴AE＝AF， ∵DG是BC的垂直平分线， ∴CD＝BD， 在Rt△CDF和Rt△BDE中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）， ∴BE＝CF， ∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE， ∵AB＝11，AC＝5， ∴BE＝（11﹣5）＝3． 故选：A． 4．【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，S△ABC＝S△DEF， ∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6， ∴S四边形ODFC＝S△DEF﹣S△EOC＝S△ABC﹣S△EOC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48． 故选：A． 5．【解答】解：∵BC＝16，DC：DB＝3：5， ∴CD＝×16＝6， 过点D作DE⊥AB于E， ∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝6， 即点D到AB的距离是6cm． 故选：A． 6．【解答】解：∵△AOB≌△ADC， ∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD， ∴∠BAC＝∠OAD＝α， 在△ABC中，∠ABC＝（180°﹣α）， ∵BC∥OA， ∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°， ∴β+（180°﹣α）＝90°， 整理得，α＝2β． 故选：B． 7．【解答】解：∵DE是AB边的垂直平分线， ∴EB＝EA， ∵FG是BC边的垂直平分线， ∴GB＝GC， ∵△BEG的周长为16， ∴GB+GE+EB＝16， ∴AE+GE+GC＝16， ∴AC+GE+GE＝16， ∵GE＝1， ∴AC＝16﹣2＝14， 故选：C． 二．填空题（共11小题） 8．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝25°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°， 故答案为：55°． 9．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AEG＝180°﹣∠1＝70°，∠DEF+∠EFC＝180°， 由翻折可得，∠DEF＝∠GEF，∠EFC＝∠EFC'， ∴∠DEF＝55°， ∴∠EFC＝180°﹣55°＝125°， ∴∠GFC'＝∠EFC'﹣∠EFG＝∠EFC﹣∠DEF＝125°﹣55°＝70°， 故答案为：70°． 10．【解答】解：∵P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点， ∴∠P1OA＝∠AOP，∠P2OB＝∠BOP，PM＝P1M，PN＝P2N，P1O＝PO＝P2O， ∴∠P1OP2＝∠P1OA+∠AOP+∠P2OB+∠BOP＝2∠AOB， ∵∠AOB＝30°， ∴∠P1OP2＝2×30°＝60°， ∴△OP1P2是等边三角形， 又∵△PMN的周长＝PM+MN＝PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2， ∴△PMN的周长＝P1P2＝P1O＝PO＝6． 故答案为：6 11．【解答】解：作F关于AD的对称点F'， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴点F'在AB上， ∴EF＝EF'， ∴当CF'⊥AB时，EC+EF的最小值为CF'， ∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝， ∴12×8＝10×CF'， ∴CF'＝， ∴EC+EF的最小值为， 故答案为：． 12．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝28°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°， 故答案为：58°． 13．【解答】解：∵∠ACB＝90°，将△CBD沿直线CD翻折180°，得到△CED，点E恰好落在边AC上， ∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°， 由三角形的外角性质得，∠CDB＝∠A+∠ACD＝24°+45°＝69°， 由据翻折的性质得，∠CDE＝∠CDB＝69°． 故答案为：69． 14．【解答】解：∵AB⊥CD，CF⊥AD，BE⊥AD， ∴∠C+∠D＝90°，∠A+∠D＝90°，∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴∠A＝∠C， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF＝6，AE＝CF＝8， ∵AF＝AD﹣DF＝10﹣6＝4， ∴EF＝AE﹣AF＝8﹣4＝4， 故答案为：4． 15．【解答】解：∵EF垂直平分AB于点F， ∴AE＝BE， ∵BE+CE＝20cm， ∴AE+CE＝20cm， 即AC＝20cm， ∵AD垂直平分BC于点D， ∴AB＝AC＝20cm， 故答案为：20cm． 16．【解答】解：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE，则AE＝2m， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ADB和△EDC中， ∵， ∴△ADB≌△EDC， ∴EC＝AB＝5， 在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC， 即5﹣3＜2m＜5+3， ∴1＜m＜4， 故答案为：1＜m＜4． 17．【解答】解：如图，延长AP交BC于点D， ∵BP平分∠ABC ∴∠ABP＝∠DBP，且BP＝BP，∠APB＝∠DPB ∴△ABP≌△DBP（ASA） ∴AP＝PD， ∴S△ABP＝S△BPD，S△APC＝S△CDP， ∴S△PBC＝S△ABC＝9， 故答案为：9． 18．【解答】解：作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN．此时△PMN的周长最小． ∵PD⊥AC，PG⊥BC， ∴∠PEC＝∠PFC＝90°， ∴∠C+∠EPF＝180°， ∵∠C＝50°， ∴∠EPF＝130°， ∵∠D+∠G+∠EPF＝180°， ∴∠D+∠G＝50°， 由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM， ∴∠GPN+∠DPM＝50°， ∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°， 故答案为：80°． 三．解答题（共6小题） 19．【解答】（1）①证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ADB和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）； ②解：由①知，△ABD≌△ECD， ∴CE＝AB， ∵AB＝5， ∴CE＝5， ∵ED＝AD，AD＝x， ∴AE＝2AD＝2x， 在△ACE中，AC＝3， 根据三角形的三边关系得，5﹣3＜2x＜5+3， ∴1＜x＜4， 故答案为：1＜x＜4； （2）证明：如图2，延长FD，截取DH＝DF，连接BH，EH， ∵DH＝DF，DE⊥DF， 即∠EDF＝∠EDH＝90°，DE＝DE， ∴△DEF≌△DEH（SAS）， ∴EH＝EF， ∵AD是中线， ∴BD＝CD， ∵DH＝DF，∠BDH＝∠CDF， ∴△BDH≌△CDF（SAS）， ∴CF＝BH， ∵BE+BH＞EH， ∴BE+CF＞EF． 20．【解答】解：（1）如图1中， ∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∵BE是高， ∴∠AEB＝∠BEC＝90°， ∴∠EAO+∠ACD＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°， ∴∠EAO＝∠EBC， 在△AOE和△BCE中， ， ∴△AOE≌△BCE， ∴AO＝BC＝5． （2）∵BD＝CD，BC＝5， ∴BD＝2，CD＝3， 由题意OP＝t，BQ＝4t， ①当点Q在线段BD上时，QD＝2﹣4t， ∴S＝•t（2﹣4t）＝﹣2t2+t（0＜t＜）． ②当点Q在射线DC上时，DQ＝4t﹣2， ∴S＝•t（4t﹣2）＝2t2﹣t（＜t≤5）． （3）存在． ①如图2中，当OP＝CQ时，∵OB＝CF，∠POB＝∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ． ∴CQ＝OP， ∴5﹣4t＝t， 解得t＝1， ②如图3中，当OP＝CQ时，∵OB＝CF，∠POB＝∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ． ∴CQ＝OP， ∴4t﹣5＝t， 解得t＝． 综上所述，t＝1或s时，△BOP与△FCQ全等． 21．【解答】解：（1）结论：AE⊥BE． 理由：∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， 又∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC， ∴∠DAE＝∠EAF＝∠BAD，∠ABE＝∠CBE＝∠ABC， ∴∠EAB+∠EBA＝（∠BAD+∠ABC）＝×180°＝90°， ∵∠EAB+∠ABE+∠AEB＝180°， ∴∠AEB＝90°， ∴AE⊥BE； （2）∵AF＝AD，AB＝AD+BC， ∴BF＝BC， 在△AED和△AEF中， ， ∴△AED≌△AEF（SAS）， ∴S四边形ADEF＝2S△AEF， 同理△BEF≌△BEC， ∴S四边形BCEF＝2S△BEF， ∴S四边形ABCD＝S四边形ADEF+S四边形BCEF＝2S△AEF+2S△BEF＝2S△ABE＝2××5×3＝15． ∴四边形ABCD的面积为15． 22．【解答】（1）证明：连接BD， ∵DE垂直平分BC， ∴BD＝CD， ∵AD平分∠CAM，DF⊥AC，DG⊥AM， ∴DG＝DF， 在Rt△BDG和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL）， ∴BG＝CF； （2）解：在Rt△ADG和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL）， ∴AG＝AF， ∵AC＝AF+CF，BG＝AB+AG，BG＝CF， ∴AC＝AF+AB+AG， ∴AC＝2AG+AB， ∵AB＝10cm，AC＝14cm， ∴AG＝＝2cm． 23．【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3， 又∠A＝∠B＝90°， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）． ∴∠ACP＝∠BPQ， ∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°． ∴∠CPQ＝90°， 即线段PC与线段PQ垂直． （2）存在， 理由：①若△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP，AP＝BQ， 则， 解得； ②若△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ，AP＝BP， 则， 解得：； 综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等． 24．【解答】（1）解：∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD， ∴∠CAE＝∠BAD， 在△CAE和△BAD中， ∴， ∴△CAE≌△BAD（SAS）， ∴BD＝CE， 故答案为：BD＝CE； （2）证明：由（1）得：△CAE≌△BAD， ∴∠ADB＝∠AEC， ∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC， ∴∠ADM＝∠AEN， 在△ADM和△AEN中， ， ∴△ADM≌△AEN（SAS）， ∴∠DAM＝∠EAN， ∴∠DAM+∠MAE＝∠EAN+∠MAE， ∴∠MAN＝∠DAE， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠MAN＝∠BAC， 过点M作关于BN的对称点M′，连接AM′，如图， 则∠MAN＝∠M′AN＝∠BAC， ∵∠BAC+∠CAN＝180°， ∴∠M′AN+∠CAN＝180°， ∴C、A、M′三点共线， 即M′C交直线BN于点A， ∴点A为点C，M关于直线BN的“等角点． 学科网（北京）股份有限公司 $$