2.1.2 椭圆的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版 数学 选择性必修第一册 第二章　圆锥曲线 1.2　椭圆的简单几何性质 课标定位 素养阐释 1.掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴和离心率的概念,理解椭圆的范围和对称性. 2.掌握椭圆的离心率及a,b,c的几何意义.通过对椭圆性质的学习与应用,提升数学运算素养. 3.会应用椭圆的简单几何性质解题.借助求解离心率问题,提升直观想象与逻辑推理素养. 自主预习 新知导学 一、椭圆的几何性质 【问题思考】 1.如图2-1-2,观察焦点在x轴上的椭圆 =1(a>b>0)的图形,思考以下问题: (1)如何从方程形式判断曲线的对称性? 提示:在曲线的方程里, ①如果把x换成-x而方程不变,那么曲线关于y轴对称. ②如果把y换成-y而方程不变,那么曲线关于x轴对称. ③如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种,那么它一定具有第三种对称. 图2-1-2 提示:与x轴的交点坐标为(±a,0),与y轴的交点坐标为(0,±b). (3)借助椭圆图形,你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些? 提示:短轴端点B1和B2到中心O的距离最近;长轴端点A1和A2到中心O的距离最远. (4)借助椭圆图形,你认为椭圆上的点到焦点F1的距离的最大值和最小值各是何值? 提示:点(a,0),(-a,0)与焦点F1(-c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离,即a+c和a-c. (2)椭圆与坐标轴的交点坐标是什么? 表2-1-1 2.椭圆的几何性质 答案:(1)D　(2)[-5,5] 二、椭圆的离心率 【问题思考】 1.(1)如何用a,b表示离心率? (2)在a不变的情况下,随c的变化,椭圆的形状如何变化?若c不变,随a的变化,椭圆的形状又如何变化呢? 提示:①a不变,c越小,椭圆越圆;c越大,椭圆越扁. ②c不变,a越大,椭圆越圆;a越小,椭圆越扁. 2.规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的 离心率 .用e表示,即 =e.显然 0<e<1 .e越接近于1,椭圆就越 扁 ;反之,e越接近于0,椭圆就越接近于圆. 3.椭圆x2+4y2=1的离心率为(　　). 答案:A 三、共焦点的椭圆的标准方程 【问题思考】 提示:两个椭圆有公共焦点. (2)有公共焦点的椭圆的标准方程中a2,b2有怎样的关系? 提示:a2-b2为常数. 2.共焦点的椭圆系方程 答案:A 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点.(　　) (2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c.(　　) (3)椭圆的离心率e越接近于1,椭圆越圆.(　　) (5)有公共焦点的椭圆的标准方程一定相同.(　　) √ √ × × × 合作探究 释疑解惑 探究一 根据椭圆的方程研究其几何性质 【例1】 设椭圆mx2+4y2=4m(m>0)的离心率为 ,试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 用椭圆的标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式. (2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论). (3)求出长半轴长a、短半轴长b、半焦距c. (4)写出椭圆的几何性质. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率; (2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究二 根据椭圆的几何性质求方程 【例2】分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程: (3)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤如下: ①确定焦点位置; ②设出相应椭圆的标准方程(焦点位置不确定的椭圆可能有两个标准方程); ③根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数,列方程(组)时常用的关系式有b2=a2-c2,e= 等. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 (2)在椭圆的简单几何性质中,轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【变式训练2】 分别求出适合下列条件的椭圆的标准方程: 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究三 椭圆的离心率问题 答案:D 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 1.若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1=75°, ∠PF1F2=45°”,其他条件不变,求椭圆C的离心率. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 解:如答图2-1-2,在△PF1F2中,因为∠PF1F2=45°,∠PF2F1=75°,所以∠F1PF2=60°,设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,椭圆的长轴长为2a,则m+n=2a, 答图2-1-2 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 2.若将本例中“P是椭圆C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“椭圆C上存在点P,使∠F1PF2为钝角”,其他条件不变,求椭圆C的离心率的取值范围. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 求椭圆离心率及其取值范围的两种方法 (1)直接法:若已知a,c,可直接利用e= 求解.若已知a,b或b,c,可借助于a2=b2+c2,求出c或a,再代入公式e= 求解. (2)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 图2-1-3 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 解析:由题意知直线AB的斜率存在, |AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a. 设BF1=k(k>0),则|AF1|=3k,|AB|=4k, ∴|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究四 共焦点的椭圆系方程 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 根据已知条件巧设椭圆的标准方程对求出椭圆的标准方程是很重要的,但必须要注意写明参数的取值范围. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 因忽视焦点位置的讨论而致误 答案 4 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:上述解法的错误在于默认焦点在x轴上,没有对焦点的位置进行讨论,仅根据椭圆的离心率不能确定焦点的位置. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 椭圆的几何性质分为两类:第一类是与坐标系无关的性质,如长轴长、短轴长、焦距、离心率;第二类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标.仅根据第一类的性质不能确定焦点的位置,必须分类讨论. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 随堂练习 1.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　). 答案:B 答案:A 答案:A A.a2=15,b2=16 B.a2=9,b2=25 C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25 D.a2=25,b2=9 答案:D 答案:AD 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0) 图形 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 对称性 对称轴为坐标轴,对称中心为原点 范围 x∈[-a,a],y∈[-b,b] x∈[-b,b],y∈[-a,a] 顶点坐标 (±a,0),(0,±b) (±b,0),(0,±a) 轴长 长轴长|A1A2|=2a,短轴长|B1B2|=2b 焦点坐标 (±c,0) (0,±c) 焦距 |F1F2|=2c 3. (1)已知椭圆的方程为=1,则此椭圆的长轴长为(　　). A.3 B.4 C.6 D.8 (2)设P(m,n)是椭圆=1上任意一点,则m的取值范围是　　　　　.  解析:(1)该椭圆的标准方程为=1,则a=4,2a=8. (2)因为a2=25,所以a=5,故m∈[-5,5]. 提示:由e=,得e2=, 则e=. A. B. C. D. 1.(1)椭圆=1与=1有怎样的共同特征? (1)与椭圆=1(a>b>0)的焦点相同的椭圆方程可设为 =1(a>b>0,k>-b2). (2)与椭圆=1(a>b>0)的焦点相同的椭圆方程可设为 =1(a>b>0,k>-b2) . 3.过点(-3,2)且与椭圆=1有相同焦点的椭圆的方程是(　　). A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 (4)椭圆=1(a>b>0)的长轴长等于a.(　　) 解:椭圆方程可化为=1. 当0<m<4时,a=2,b=,c=, ∴e=,解得m=3. 于是b=,c=1. 故椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2,焦点坐标为(-1,0),(1,0),顶点坐标为(-2,0),(2,0),(0,-),(0,). 当m>4时,a=,b=2,c=, ∴e=. 解得m=.于是a=,c=, 故椭圆的长轴长和短轴长分别为,4,焦点坐标为(0,-),,顶点坐标为(0,-),(0,),(-2,0),(2,0). 【变式训练1】 已知椭圆C1:=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上. 解:(1)由椭圆C1:=1可得其长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率e=. (2)椭圆C2:=1. 性质:①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10; ②对称性:关于x轴、y轴、原点对称; ③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0); ④离心率:e=. (1)焦点在x轴上,a=4,e=; (2)焦点在y轴上,c=6,e=; 解:(1)由a=4,e=,得c=2,b2=16-4=12.因为焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为=1. (2)由c=6,e=,得a=9,b2=81-36=45. 因为焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为=1. (3)由题意知c=3,b2=25-9=16,a==5,焦点所在坐标轴可为x轴,也可为y轴,故椭圆的标准方程为=1或=1. 提醒:与椭圆=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为=k1(k1>0,焦点在x轴上)或=k2(k2>0,焦点在y轴上). (1)一个焦点坐标为(3,0),离心率e=; (2)求经过点M(1,2),且与椭圆=1有相同离心率的椭圆的标准方程. 解:(1)依题意,c=3,e=,则a=4,∴b2=a2-c2=42-32=7.∵焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为=1. (2)(方法一)由题意知e2=1-,∴,即a2=2b2,∴当焦点在x轴上时,所求椭圆的标准方程为=1.将点M(1,2)的坐标代入得=1,解得b2=.∴所求椭圆的标准方程为=1.当焦点在y轴上时,所求椭圆的标准方程为=1.将点M(1,2)的坐标代入得=1,解得b2=3.∴所求椭圆的标准方程为=1.综上所述,所求椭圆的标准方程为=1或=1. (方法二)设所求椭圆的标准方程为=k1(k1>0)或=k2(k2>0), 将点M的坐标分别代入可得=k1或=k2,解得k1=,k2=,即,故所求椭圆的标准方程为=1或=1. 【例3】 设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆 C上的点,且PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为(　　). A. B. C. D. 解析:由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=m,故离心率e=. 在△PF1F2中,有, 所以, 所以e=. 解:由题意,知c>b,c2>b2.因为b2=a2-c2,所以c2>a2-c2,即2c2>a2.所以e2=,e>.故椭圆C的离心率的取值范围为. 【变式训练3】 如图2-1-3,设F1,F2分别是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|BF1|.若cos∠AF2B=,则椭圆E的离心率为　　　　　.  ∵cos∠AF2B=,在△ABF2中,由余弦定理得,|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B, ∴(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k), 化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a=3k, ∴|AF2|=|AF1|=3k,|BF2|=5k, ∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2,∴AF1⊥AF2, ∴△AF1F2是等腰直角三角形,∴c=a, ∴椭圆的离心率e=. 答案: 【例4】 求过点Q(2,1)且与椭圆=1有公共焦点的椭圆C的标准 方程. 分析:设椭圆C的方程为=1(a>b>0),由已知的椭圆方程求出c,根据已知条件找出a,b的关系,然后由点Q在椭圆C上得到a,b的关系,解方程组求a,b,也可以直接设所求椭圆的方程是=1(k>-4),把点Q的坐标代入确定k的值,从而求出椭圆C的标准方程. 解法一:由题意知椭圆的焦点在x轴上,设椭圆C的方程为=1(a>b>0),由=1,得c2=1,则a2-b2=1. ① 又点Q(2,1)在椭圆C上,则=1. ② 联立①②,解得a2=+3,b2=2+, 故椭圆C的标准方程是=1. 解法二:设与椭圆=1有公共焦点的椭圆C的方程为 =1(k>-4). 将点Q(2,1)的坐标代入椭圆C的方程,得=1,解得k=-2+或 k=-2-(舍去). 故椭圆C的标准方程为=1. 【变式训练4】 已知椭圆=1上一点M的纵坐标为2. (1)求点M的横坐标; (2)求过点M且与椭圆=1共焦点的椭圆的标准方程. 解:(1)把点M的纵坐标代入=1,得=1,解得x2=9,x=±3. 即点M的横坐标为3或-3. (2)对于椭圆=1,焦点在x轴上且c2=9-4=5,则可设所求椭圆的方程为=1(a2>5),把点M的坐标代入方程,得=1,解得a2=15或a2=3(舍去).故所求椭圆的标准方程为=1. 【典例】 已知椭圆=1的离心率e=,则实数k的值等于　　　　　.  错解:因为a2=k+8,b2=9, 所以c2=k+8-9=k-1. 又因为e=,所以, 解得k=4. 正解:根据椭圆标准方程的性质,有如下两种情况: ①若椭圆的焦点在x轴上,则a2=k+8,b2=9,得c2=k-1.由e=,得,解得k=4. ②若椭圆的焦点在y轴上,则a2=9,b2=k+8,得c2=9-(k+8)=1-k.由e=, 得,解得k=-. 综上可知,k=4或k=-. 经检验,k=4或k=-符合题意. 答案:4或- A.=1 B.x2+=1 C.+y2=1 D.=1 解析:椭圆方程9x2+4y2=36可化为=1, 可知焦点在y轴上,焦点坐标为(0,±), 设所求椭圆方程为=1(a>b>0), 则c=. 又2b=2,即b=1, 所以a2=b2+c2=6, 所求椭圆标准方程为x2+=1. 2.椭圆x2+8y2=1的短轴的端点坐标是(　　). A. B.(-1,0),(1,0) C.(2,0),(-2,0) D.(0,2),(0,-2) 解析:椭圆方程可化为x2+=1,焦点在x轴上,b2=,b=,故椭圆的短轴的端点坐标为. 3.若知焦点在x轴上的椭圆=1的离心率是,则实数m的值是(　　). A.4 B. C.1 D. 解析:由题意e=, 解得m=4. 4.已知椭圆=1(a>b>0)与椭圆=1有相同的长轴,椭圆=1(a>b>0)的短轴长与=1的短轴长相等,则(　　). 解析:由题意得,椭圆=1(a>b>0)的焦点在x轴上,且a2=25,b2=9. 5.(多选题)设椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的动点,则下列结论正确的有(　　). A.|PF1|+|PF2|=2 B.离心率e= C.△PF1F2面积的最大值为 D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-=0相切 6.已知椭圆=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(0,-c),F2(0,c)(c>0),离心率e=,焦点到椭圆上的点的最短距离为2-,求椭圆的方程. 解:由题意知解得 所以b2=a2-c2=1.故所求椭圆的方程为+x2=1. $$