2.2.1双曲线及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版 数学 选择性必修第一册 第二章　圆锥曲线 2.1　双曲线及其标准方程 课标定位 素养阐释 1.理解并掌握双曲线的定义,了解双曲线的焦点、焦距. 2.掌握双曲线的标准方程及其推导过程,能利用定义求标准方程及分析解决有关问题,培养学生的数学抽象、直观想象素养. 3.进一步体会用待定系数法求轨迹方程及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用. 自主预习 新知导学 一、双曲线的定义 【问题思考】 1.如图2-2-1,观察下图,思考问题: (1)在点M移动的过程中,||MF1|-|MF2||的值发生变化吗? 提示:不变. (2)动点M的轨迹是什么? 提示:双曲线. (3)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数,若没有绝对值,则动点的轨迹是什么? 提示:双曲线的一支. 图2-2-1 (4)在双曲线的定义中,必须要求“常数大于零且小于|F1F2|”,那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”和“常数为0”时,动点的轨迹分别是什么? 提示:①如果定义中常数等于|F1F2|,此时动点的轨迹是以F1或F2为端点的两条射线(包括端点). ②如果定义中常数大于|F1F2|,此时动点轨迹不存在. ③如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 2.平面内到两个定点F1,F2的距离之 差的绝对值 等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线.这 两个定点F1,F2 叫作双曲线的焦点, 两个焦点间的距离|F1F2| 叫作双曲线的焦距. 3.已知两个定点F1(-3,0),F2(3,0),平面内动点P满足下列条件的轨迹,是双曲线的是(　　). A.||PF1|-|PF2||=5 B.||PF1|-|PF2||=6 C.||PF1|-|PF2||=7 D.||PF1|-|PF2||=0 解析:A中,∵|F1F2|=6,∴||PF1|-|PF2||=5<|F1F2|,故动点P的轨迹是双曲线; B中,∵||PF1|-|PF2||=6=|F1F2|, ∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点); C中,∵||PF1|-|PF2||=7>|F1F2|, ∴动点P的轨迹不存在; D中,∵||PF1|-|PF2||=0,即|PF1|=|PF2|,根据线段垂直平分线的性质,动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.故选A. 答案:A 二、双曲线的标准方程 【问题思考】 1.(1)以直线F1F2为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,类比椭圆标准方程的推导过程,思考怎样求双曲线的标准方程. 提示:设M(x,y)是双曲线上任意一点,F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),由||MF1|-|MF2|| =2a(a>0),可得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2). 提示:若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,则焦点在y轴上. (3)椭圆标准方程和双曲线标准方程中的a,b,c之间的关系有什么区别? 提示:在椭圆中a2=b2+c2,在双曲线中c2=a2+b2. 3.已知点F1(-4,0),F2(4,0),曲线上的动点P到F1,F2的距离之差为6,则曲线方程为(　　). 答案:A 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线. (　　) (2)平面内到两定点F1,F2的距离之差等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线.(　　) × × √ × 合作探究 释疑解惑 探究一 求双曲线的标准方程 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 用待定系数法求双曲线方程的步骤 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 (1)求以椭圆 的短轴的两个端点为焦点,且经过点A(4,-5)的双曲线的标准方程; (2)已知双曲线经过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 由双曲线的标准方程求参数 【例2】 求适合下列条件的参数的值或取值范围: 探究一 探究二 探究三 易错辨析 ②若方程表示焦点在x轴上的双曲线,则1<k<3; ③若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则k<-3. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.题设中k的正负未定,不能误以为 就是双曲线的标准方程,需分类讨论.有时要注意对焦点在x轴、y轴上进行分类讨论,不要漏解. 2.方程Ax2+By2=1(A,B≠0)表示椭圆的充要条件为A>0,B>0,且A≠B.表示双曲线的充要条件为AB<0,若A>0,B<0,则方程表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0,B>0,则方程表示焦点在y轴上的双曲线.即双曲线的焦点位置是由x2,y2的系数的正负决定的. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 (1)求t为何值时,曲线C分别为椭圆、双曲线; (2)求证:不论t为何值,曲线C都有相同的焦点. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 (2)证明:当|t|>1时,曲线C是椭圆,且t2>t2-1, 因此c2=t2-(t2-1)=1. 于是焦点为F1(-1,0),F2(1,0). ∵c2=t2+1-t2=1,∴焦点为F1(-1,0),F2(1,0). 综上所述,无论t为何值,曲线C都有相同的焦点. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 双曲线定义的应用 (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离; (2)若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2的面积. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 (1)由双曲线的定义,得||MF1|-|MF2||=2a=6,又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,假设点M到另一个焦点的距离等于d,则|16-d|=6,解得d=10或d=22.故点M到另一个焦点的距离为10或22. (2)将||PF2|-|PF1||=2a=6两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,则|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.若将本例(1)中条件“距离等于16”改成“距离等于7” ,其他条件不变,求点M到另一个焦点的距离. 得a=3,b=4,c=5. 由双曲线定义,得||MF1|-|MF2||=2a=6. 假设点M到另一个焦点的距离等于d,则|7-d|=6,解得d=1或d=13. 又d≥5-3=2,即双曲线上动点到任一个焦点的最短距离为2,所以d=1舍去.故d=13. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 2.若将本例(2)中条件“|PF1|·|PF2|=32”改成“∠F1PF2=60°”, ,其他条件不变求△F1PF2的面积. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.求双曲线上一点P到某一焦点的距离时,若已知点P的横、纵坐标,则根据两点间距离公式可求得结果;若已知点P到另一焦点的距离,则根据||PF1|-|PF2||=2a求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于c-a). 2.在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,要注意两点:(1)定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a的应用;(2)要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用,如|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在双曲线C上, (1)若|PF1|=2|PF2|,求∠F1PF2的余弦值; 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 易错辨析 因忽视隐含条件导致所求轨迹方程错误 【典例】 已知定点A(-3,0)和定圆C:(x-3)2+y2=16,动圆和圆C相外切,并且过定点A,求动圆圆心M的轨迹方程. 错解:设M(x,y),动圆与圆C的切点为B,则|BC|=4,|MC|=|MB|+|BC|,|MA|=|MB|, 于是|MC|=|MA|+|BC|, 即|MC|-|MA|=|BC|=4<|AC|. 由双曲线的定义知,点M的轨迹是以A,C为焦点的双曲线,且a=2,c=3,b2=5. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何 防范? 提示:上述解法的错误在于把动点的轨迹看成双曲线,忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件,动点轨迹实际上是双曲线的一支. 正解:设M(x,y),动圆与圆C的切点为B, 则|BC|=4,|MC|=|MB|+|BC|,|MA|=|MB|, 于是|MC|=|MA|+|BC|, 即|MC|-|MA|=|BC|=4<|AC|. 由双曲线的定义知,点M的轨迹是以A,C为焦点的双曲线的左支,且a=2,c=3,b2=5. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 在求解与双曲线有关的轨迹问题时,准确理解双曲线的定义,才能保证解题的正确性.当F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且||PF1|-|PF2||= 2a<|F1F2|(a>0),即|PF1|-|PF2|=±2a(0<2a<|F1F2|)时,点P的轨迹是双曲线,其中取正号时轨迹为双曲线的右支,取负号时轨迹为双曲线的左支. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.若双曲线 的两个焦点分别是F1,F2,双曲线上一点P到F1的距离是12,则点P到F2的距离是(　　). A.17 B.7 C.7或17 D.2或22 解析:由双曲线定义知||PF1|-|PF2||=10, 即|12-|PF2||=10,且c-a= -5<2, 所以|PF2|=2或|PF2|=22. 答案:D A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A A.±5 B.±3 C.5 D.9 解析:由题意知,焦点在x轴上,34-n2=n2+16, ∴2n2=18,n2=9.∴n=±3. 答案:B 答案:AC 设b2=c2-a2(b>0),则双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0). (2)如何判断方程=1(a>0,b>0)和=1(a>0,b>0)所表示双曲线的焦点位置? 2.(1)双曲线上的任意一点的坐标满足方程=1(a>0,b>0),方程 =1(a>0,b>0)的每一组解对应的点都在双曲线上,因此,将方程 =1 (a>0,b>0)称为双曲线的标准方程,它的焦点在x轴上,两个焦点分别为F1 (-c,0) ,F2 (c,0) ,其中c2= a2+b2 . (2)如果双曲线的焦点在y轴上,其焦点分别为F1 (0,-c) ,F2 (0,c) ,那么双曲线的标准方程为 =1 (a>0,b>0),其中c2= a2+b2 . A.=1(x>0) B.=1 C.=1(y>0) D.=1 (3)焦点在y轴上的双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0). (　　) (4)在双曲线方程=1(a>0,b>0)中,a2=b2+c2.(　　) 【例1】 根据下列条件求双曲线的标准方程: (1)以椭圆=1的长轴端点为焦点,且经过点(3,); (2)与双曲线=1有公共焦点,且经过点(3,2); (3)双曲线经过两点P,Q. 解:(1)由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且c=2. 设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0), 则有解得a2=3,b2=5. 故所求双曲线的标准方程为=1. (2)设所求双曲线的标准方程为=1(-4<k<16). 将点(3,2)的坐标代入所求双曲线的方程,解得k=4或k=-14(舍去),故所求双曲线的标准方程为=1. (3)设所求双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0). ∵点P,Q在双曲线上, ∴这两点的坐标满足方程,得 解得 故所求双曲线的标准方程为=1. =1 解:(1)由题意知,双曲线的两个焦点分别为F1(0,-3),F2(0,3). 设双曲线方程为=1(a>0,b>0), (方法一)将点A(4,-5)的坐标代入双曲线方程得=1.又a2+b2=9,则a2=5,b2=4.故双曲线的标准方程为=1. (方法二)因为||AF1|-|AF2||=||=2=2a,所以a=,所以b2=c2-a2=9-5=4. 所以双曲线的标准方程为=1. (2)设所求双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0). 将点M(1,1),N(-2,5)的坐标代入上述方程, 得解得 故所求双曲线的标准方程为=1. (1)已知=-1,求当k为何值时,①方程表示双曲线;②方程表示焦点在x轴上的双曲线;③方程表示焦点在y轴上的双曲线. (2)已知双曲线的方程为2x2-y2=k,焦距为6,求k的值. (3)椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点.求a的值. 解:(1)①若方程表示双曲线,则需满足解得k<-3或1<k<3; (2)双曲线方程可化为=1, 若焦点在x轴上,则k>0,且+k=32,得k=6. 若焦点在y轴上,则k<0,且-k+=32,得k=-6. 综上,k的值为6或-6. (3)由双曲线方程可知焦点在x轴上,且c=(a>0). 由椭圆方程可知c=,则a+2=4-a2, 即a2+a-2=0.解得a=1或a=-2(舍去). 故a的值为1. =1 【变式训练2】 已知曲线C:=1(t≠0,t≠±1). (1)解:要使方程=1(t≠0,t≠±1)表示椭圆,需满足解得t>1或t<-1.要使方程=1(t≠0,t≠±1)表示双曲线,需满足t2(t2-1)<0,解得-1<t<0或0<t<1. 当|t|<1且t≠0时,曲线C是双曲线,且方程可化为=1. 【例3】 已知F1,F2分别是双曲线=1的左、右焦点. 解:双曲线的标准方程为=1,则a=3,b=4,c==5. 在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2==0, 且∠F1PF2∈(0°,180°),则∠F1PF2=90°,于是△F1PF2的面积S=|PF1|·|PF2|=×32=16. 解:由双曲线的标准方程=1, 解:由=1得,a=3,b=4,c=5. 由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=6, 由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°, 即102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|, 得|PF1|·|PF2|=64.故△F1PF2的面积为 |PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2 =×64×=16. (2)若=0,求△F1PF2的面积. 解:(1)由题意得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2, 则|PF1|=2|PF2|=4, 于是cos∠F1PF2=. (2)不妨设点P在双曲线的右支上, 则|PF1|-|PF2|=2a=2, 由于=0,因此PF1⊥PF2. 因而在△F1PF2中,有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即|PF1|2+|PF2|2=16,于是|PF1|·|PF2|=4, 故△F1PF2的面积S=|PF1|·|PF2|=2. 故所求圆心M的轨迹方程是=1. 故所求圆心M的轨迹方程是=1(x≤-2). =1 2.k>9是方程=1表示双曲线的(　　). 解析:=1表示双曲线的充要条件是(9-k)(k-4)<0,即k>9或k<4. 因为k>9是k>9或k<4的充分不必要条件,所以k>9是方程=1表示双曲线的充分不必要条件. 3. 若椭圆=1和双曲线=1有相同的焦点,则实数n的值是(　). 4.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为(　　). A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 5.已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线上且横坐标为2,则△MF1F2的面积为　　　　　.  解析:由=1,得c==3,则|F1F2|=2c=6.把x=2代入=1,解得y=±2,故△MF1F2的面积为×6×2=6. 答案:6 6.已知椭圆=1与双曲线-y2=1的公共焦点为F1,F2,点P是两条曲线的一个公共点,则cos∠F1PF2的值为　　　　　.  解析:由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2,① 由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2,② 由①2+②2,整理得|PF1|2+|PF2|2=18, 由①2-②2,整理得|PF1||PF2|=3, 则cos∠F1PF2=. 答案: 7.已知双曲线与椭圆=1有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求双曲线的方程. 解:由题意可知,椭圆=1的焦点为点(0,-3),(0,3),将点A的纵坐标4代入椭圆方程,可得点A的坐标为(,4)或(-,4).设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则解得 故所求双曲线的标准方程为=1. $$