2.2.2 双曲线的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版 数学 选择性必修第一册 第二章　圆锥曲线 2.2　双曲线的简单几何性质 课标定位 素养阐释 1.掌握双曲线的范围、对称性、中心、顶点、轴、渐近线、离心率等几何性质,能够应用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质.通过学习双曲线的几何性质,培养直观想象、数学运算等素养. 2.掌握根据双曲线的几何性质解决有关问题的方法.借助双曲线几何性质的应用,提升直观想象及数学运算、逻辑推理等素养. 自主预习 新知导学 一、双曲线的几何性质 【问题思考】 1.类比椭圆的几何性质,结合图象(图略),思考以下问题: (1)从图象上可以看出双曲线是向两端无限延伸的,那么它是否与椭圆一样有范围限制? (2)观察双曲线,它是不是轴对称图形?对称轴是哪条直线?是不是中心对称图形?对称中心是哪个点? 提示:关于x轴、y轴和原点都是对称的,x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫作双曲线的中心. (3)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点,这种说法对吗?为什么? 提示:不对,双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点,只有在标准形式下,坐标轴才是双曲线的对称轴,此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点. 2.双曲线的几何性质 表2-2-1 3.中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　). 答案:B 二、双曲线的离心率 【问题思考】 1.(1)如何用a,b表示双曲线的离心率? (2)椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度.那么,双曲线的离心率与开口大小有关系吗?怎样反映这种关系? 答案:C 三、双曲线的渐近线 【问题思考】 1.(1)双曲线的两支在向外无限延伸的过程中会不会与它的渐近线相交? 提示:双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交. (2)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗? 提示:渐近线相同的双曲线有无数条,不一定是同一条双曲线,但它们实轴长与虚轴长的比值相同. (3)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系? 答案:C 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.(　　) (2)双曲线有四个顶点,分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.(　　) × × × √ 合作探究 释疑解惑 探究一 利用双曲线的标准方程研究其几何性质 【例1】 求双曲线9x2-16y2+144=0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程,并大致画出这个双曲线. 答图2-2-1 探究一 探究二 探究三 规范解答 利用双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤 (1)先把双曲线方程化为标准形式. (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值. (3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质. 注意:求性质时一定要注意焦点的位置. 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练1】 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究二 根据几何性质求双曲线标准方程 【例2】 分别求出适合下列条件的双曲线的标准方程: 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 1.求双曲线的标准方程的方法 (1)解决此类问题的常用方法是先定型(焦点在哪条轴上),再定量(确定a2,b2的值).要特别注意a2+b2=c2的应用,并注意不要与椭圆中的关系相混淆. (2)如果已知双曲线的方程为标准方程,但不知焦点所处的位置,也可把双曲线方程设为mx2-ny2=1(m,n同号),然后由条件求m,n. 探究一 探究二 探究三 规范解答 2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练2】 求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)以直线2x±3y=0为渐近线,经过点(1,2); 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究三 求双曲线的渐近线或离心率 【例3】 如图如图2-2-2,已知F1,F2为双曲线 (a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°,求双曲线的渐近线方程. 图2-2-2 分析:由于PF2⊥x轴,因而可先求得点P的纵坐标,即可知|PF2|的值,再结合△PF1F2为直角三角形及双曲线的定义,求得a,b间的关系,进而求得渐近线的斜率. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 若本例条件不变,求此双曲线的离心率. 探究一 探究二 探究三 规范解答 1.求双曲线渐近线方程的两种方法 探究一 探究二 探究三 规范解答 2.求双曲线离心率的方法 (2)若求离心率e的取值范围,则应由题意寻求a,b,c的不等关系,由此得出关于e的不等式,再进行求解. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 规范解答 与双曲线的离心率有关的问题 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 在求双曲线离心率的的齐次方程,若得到的是关于a,c的方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0 求解. 本题可能会出现因不会对等式c2-2ac-a2=0变形,而求不出e,导致此情形的原因是欠缺对等式进行变形的能力. 探究一 探究二 探究三 规范解答 随堂练习 1.实轴长等于虚轴长的双曲线叫作等轴双曲线.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是(　　). A.x2-y2=8 B.x2-y2=4 C.y2-x2=8 D.y2-x2=4 解析:在3x-4y+12=0中,令y=0,得x=-4,则等轴双曲线的一个焦点坐标为(-4,0).于是c=4, 答案:A 2.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ,则m=(　　). A.1 B.2 C.3 D.4 答案:D 答案:B 答案:BCD 答案:(-12,0) (1)求双曲线C的标准方程; (2)求双曲线C的渐近线方程. 提示:有限制,对于双曲线=1(a>0,b>0),因为≥1,即x2≥a2,所以x≥a或x≤-a.对于双曲线=1(a>0,b>0),因为≥1,即y2≥a2,所以y≥a或y≤-a. 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 =1(a>0,b>0) =1(a>0,b>0) 图形 焦点坐标 (±c,0) (0,±c) 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦距 2c 2c 范围 x≥a或x≤-a y≥a或y≤-a 对称性 以坐标轴为对称轴,以原点为对称中心的对称图形 顶点坐标 (±a,0) (0,±a) 轴 实轴A1A2,虚轴B1B2 离心率 e>1 渐近线方程 y=±x y=±x A.=1 B.=1或=1 C.=1 D.=1或=1 提示:e=. 提示:e=,当e越大时,双曲线开口越大;当e越小, 越接近于1时,双曲线开口越小. 2.我们把叫作双曲线=1(a>0,b>0)的离心率,用e表示.因为c>a>0,所以e= > 1(填“>”“<”或“=”). 3.若双曲线=1的离心率为,则实数k的值为(　　). A.- B. C.-6 D.6 解析:由题意可知k<0,a=,b=,c=,则e=,得k=-6. 提示:e2==1+是渐近线斜率的绝对值或其斜率的绝对值的倒数. 2.一般地,直线y=x和y=-x称为双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线. 同理,直线y=x和y=-x称为双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线. 3.双曲线=1的渐近线方程是(　　). A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解析:令=0,得y=±x. (3)双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.(　　) (4)双曲线x2-y2=m(m≠0)的离心率为,渐近线方程为y=±x.(　　) 解:把方程9x2-16y2+144=0化为标准方程为=1. 由此可知,实半轴长a=3,虚半轴长b=4,c==5,焦点坐标为(0,-5),(0,5); 离心率e=;渐近线方程为y=±x=±x. 大致双曲线如答图2-2-1所示. 解:将9y2-4x2=-36化为标准方程为=1,则a=3,b=2,c=. 因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(-,0),(,0),实轴长为2a=6,虚轴长为2b=4,离心率e=,渐近线方程为y=±x=±x. (1)虚轴长为12,离心率为; (2)顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x; (3)与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线且过点M(2,-2). 解:(1)设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0)或=1(a>0,b>0). 由题意知2b=12,e=. ∵c2=a2+b2,∴b=6,c=10,a=8. ∴所求双曲线的标准方程为=1或=1. (2)当焦点在x轴上时,∵,a=3, ∴b=.∴所求双曲线的标准方程为=1. 当焦点在y轴上时,∵,a=3,∴b=2. ∴所求双曲线的标准方程为=1. (3)设与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为-y2=k(k≠0),将点M(2,-2)的坐标代入得k=-(-2)2=-2,则所求双曲线的标准方程为=1. (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0). (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0). (3)与双曲线=1共焦点的双曲线方程可设为=1(λ≠0,-b2<λ<a2). (4)与双曲线=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0). (5)渐近线方程为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0). (6)渐近线方程为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0). (2)经过点(2,0),与双曲线=1的离心率相等; (3)与椭圆=1有公共焦点,离心率为. 解:(1)(方法一)由题意可设所求双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),将点(1,2)的坐标代入方程,解得λ=-32.因此所求双曲线的标准方程为=1. (方法二)由题意可设所求双曲线方程为=1(mn>0).由题意,得解得 因此所求双曲线的标准方程为=1. (2)由题意,设其方程为=λ(λ>0),将点(2,0)的坐标代入方程得λ=,故所求双曲线的标准方程为-y2=1. (3)(方法一)由椭圆方程可得焦点坐标为(-3,0),(3,0),即c=3且焦点在x轴上. 设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0). 因为e=,所以a=2,所以b2=c2-a2=5, 故所求双曲线的标准方程为=1. (方法二)因为椭圆焦点在x轴上,所以可设双曲线的标准方程为 =1(16<λ<25). 因为e=,所以,即,解得λ=21. 故所求双曲线的标准方程为=1. =1 解法一:设F2(c,0)(c>0),P(c,y0), 则=1,解得y0=±.于是|PF2|=. 在Rt△PF2F1中,∵∠PF1F2=30°, ∴|F1F2|=|PF2|,即2c=,将b2=c2-a2代入并整理,解得c=a或c=-a(舍去),∴b2=2a2, ∴. 故双曲线的渐近线方程为y=±x. 解法二:设F2(c,0)(c>0),P(c,y0), 则=1,解得y0=±.于是|PF2|=. 在Rt△PF2F1中,∵∠PF1F2=30°, ∴|PF1|=2|PF2|.① 由双曲线的定义,可知|PF1|-|PF2|=2a.② 由①②,得|PF2|=2a. 又|PF2|=,∴2a=,即b2=2a2.∴. 故双曲线的渐近线方程为y=±x. 解:设F2(c,0)(c>0),P(c,y0), 则=1,解得y0=±.于是|PF2|=. 在Rt△PF2F1中,∵∠PF1F2=30°, ∴|F1F2|=|PF2|,即2c=. 将b2=c2-a2代入并整理,得2ac=c2-a2. ∴3e2-2e-3=0,解得e=,或e=-(舍去). 因此双曲线的离心率为. (1)当已知标准方程的焦点所在坐标轴时,用公式法y=±x(焦点在x轴)或y=±x(焦点在y轴)求解. (2)把双曲线标准方程右端的“1”换为“0”即得渐近线方程. (1)求双曲线离心率的常见方法:一是依据条件求出a,c,再计算e=;二是依据条件建立参数a,b,c的关系式,然后消去b转化成关于离心率e的方程求解或消去c转化成含的方程,求出后利用e=求解. 【变式训练3】已知双曲线=1(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围. 解:由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为=1,即bx+ay-ab=0. 由点到直线的距离公式,且a>1,b>0,得到点(1,0)到直线l的距离d1=. 同理得到点(-1,0)到直线l的距离d2=, 则s=d1+d2=. 由s≥c,得c,即5a≥2c2.于是得5≥2e2,即4e4-25e2+25≤0.解不等式,得≤e2≤5.又因为e>1,所以e∈. 【典例】 已知F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点,PQ是经过点F1且垂直于x轴的双曲线的弦,如果∠PF2Q=90°,求双曲线的离心率. 规范展示　不妨设F1(c,0) (c>0),将x=c代入双曲线的方程得 =1,y=±. 由|PF2|=|QF2|,∠PF2Q=90°, 知|PF1|=|F1F2|,即=2c, 所以b2=2ac. 于是c2-2ac-a2=0. -1=0. 即e2-2e-1=0,解得e=1+或e=1-(舍去). 故所求双曲线的离心率为1+. 因而a2=b2=c2=×16=8.故选A. 解析:双曲线9y2-m2x2=1(m>0)可化为=1(m>0),则a=,b=,取一个顶点为点,一条渐近线为直线mx-3y=0, 则, 所以m2+9=25. 所以m=4. 3.设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1||PF2|=ab,则双曲线的离心率为(　　). A. B. C. D.3 解析: 根据双曲线的定义||PF1|-|PF2||=2a,可得|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2=4a2.由已知可得|PF1|2+2|PF1||PF2|+|PF2|2=9b2.两式作差得-4|PF1||PF2|=4a2-9b2.又|PF1||PF2|=ab,所以4a2+9ab-9b2=0,即(4a-3b)·(a+3b)=0,得4a=3b.两边平方得16a2=9b2,即16a2=9(c2-a2),即25a2=9c2, 所以,所以双曲线的离心率e=.故选B. 4.(多选题)已知在等边三角形ABC中,D,E分别是CA,CB的中点,以A,B为焦点且过点D,E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则下列关于e1,e2的关系式正确的有(　　). A.e2+e1=2 B.e2-e1=2 C.e1e2=2 D.=2+ 5.已知双曲线=1的离心率e∈(1,2),则m的取值范围是　　　　　.  解析:由题意,可得a=2,b=,c=,则离心率e=.又因为e∈(1,2),所以1<<2,解得-12<m<0. 6.已知双曲线C与椭圆=1的焦点相同,且离心率为2. 解:(1)因为椭圆的焦点坐标为(4,0),(-4,0),所以c=4.设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0). 因为e==2,所以a=2.所以b2=c2-a2=12. 故双曲线C的标准方程为=1. (2)由(1)知,双曲线C的渐近线方程为=0, 即y=±x. $$