2.3.1 抛物线及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版 数学 选择性必修第一册 第二章　圆锥曲线 3.1　抛物线及其标准方程 课标定位 素养阐释 1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 3.明确p的几何意义,并能解决简单的求抛物线标准方程问题,提升逻辑推理和数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、抛物线的定义 【问题思考】 1.如图2-3-1,我们在黑板上画一条直线EF,然后取一个三角板和一条拉链,拉链的长度与三角板的一条直角边AB相等.将三角板的另一条直角边贴在直线EF上,拉链的一端固定在三角板顶点B处,另一端固定在黑板上的点C处.在拉链D处放置一支粉笔,沿着直线EF上下拖动三角板,粉笔会画出一条曲线. 图2-3-1 (1)画出的曲线是什么形状? 提示:抛物线. (2)|DA|是点D到直线EF的距离吗?为什么? 提示:是.因为AB是直角三角形的一条直角边. (3)点D在移动过程中,到直线EF的距离和到点C的距离在数量上满足什么关系?. 提示:相等. 2.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作 抛物线 .这个定点F叫作抛物线的 焦点 ,这条定直线l叫作抛物线的 准线 . 3.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上且恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点(　　). A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) 解析:直线x+2=0为抛物线的准线,所以动圆过抛物线的焦点(2,0).故选B. 答案:B 二、抛物线的标准方程 【问题思考】 1.(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么? 提示:p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)到定点A(3,0)和定直线l:x=-3距离相等的点的轨迹是什么?轨迹方程又是什么? 提示:轨迹是抛物线,轨迹方程为y2=12x. (3)如何确定抛物线的焦点位置和开口方向? 提示:一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(或y轴)上;若系数为正,则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半轴上,焦点确定,开口方向也随之确定. 2.抛物线的标准方程 表2-3-1 3.抛物线y2=2x的焦点坐标是　　　　　,准线方程是　　　　　.  【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)并非所有二次函数的图象都是抛物线.(　　) (2)抛物线是双曲线的一支.(　　) (3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线. (　　) (4)抛物线y2=20x的焦点坐标是(0,5).(　　) × × × × 合作探究 释疑解惑 探究一 求抛物线的焦点或准线 【例1】 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. (1)y2=40x;(2)4x2=y;(3)6y2+11x=0. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程的方法 先将所给方程化为标准形式,由标准方程得到参数p,从而得焦点坐标和准线方程.需注意p>0,焦点所在位置由标准方程一次项的系数确定,系数为正,焦点在正半轴;系数为负,焦点在负半轴. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线的开口方向. (1)y= x2; (2)x=ay2(a≠0). 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 求抛物线的标准方程 【例2】 根据下列条件确定抛物线的标准方程. (1)关于y轴对称且过点(-1,-3); (2)过点(4,-8); (3)焦点在直线x-2y-4=0上; (4)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为 . (2)由题意,可设所求抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p'y(p'>0).将点(4,-8)的坐标代入y2=2px,得p=8.将点(4,-8)的坐标代入x2=-2p'y,得p'=1. 故所求抛物线方程为y2=16x或x2=-2y. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.求抛物线方程,先判断焦点位置,通常用待定系数法. (1)若能确定抛物线的焦点位置,则直接设出抛物线的标准方程,求出p的值即可; (2)若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论. 2.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0),焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2=ay(a≠0). 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练2】 求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)过点M(-6,6); (2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上. 解:(1)∵点M(-6,6)在第二象限, ∴过点M的抛物线开口向左或开口向上. 若抛物线开口向左,则焦点在x轴上,设其方程为y2=-2px(p>0),将点M(-6,6)的坐标代入,可得36=-2p×(-6),解得p=3.∴抛物线的方程为y2=-6x. 若抛物线开口向上,则焦点在y轴上,设其方程为x2=2py(p>0),将点M(-6,6)的坐标代入,可得36=2p×6,解得p=3,∴抛物线的方程为x2=6y. 综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 抛物线定义的应用 【例3】 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,求点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值. 分析:利用抛物线的定义,把点P到抛物线准线的距离转化为到焦点的距离. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 如答图2-3-1 ,设抛物线的准线为l,过点P向直线l作垂线,垂足为Q,连接PF,AF. 由抛物线的定义知,|PA|+|PQ|=|PA|+|PF|≥|AF|, 当且仅当点P在AF上时取等号. 答图2-3-1 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.若将本例中的“点A(0,2)”改为“点A(3,2)”,其他条件不变,求点P到点A(3,2)的距离与点P到该抛物线焦点的距离之和的最小值. 解:由题意可知,抛物线y2=2x的焦点坐标为 ,设为F. 如如答图2-3-2,设抛物线的准线为l,过点P向直线l作垂线,垂足为Q,过点A向直线l作垂线,垂足为Q'. 由抛物线的定义知,|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|≥|AQ'|, 当且仅当点P在AQ'上时取等号. 答图2-3-2 探究一 探究二 探究三 易错辨析 2.若将本例中的“点A(0,2)”改为“直线l1:3x-4y+ =0”,其他条件不变,求点P到直线l1的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 答图2-3-3 探究一 探究二 探究三 易错辨析 抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题. (2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 (1)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为(　　). A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对 探究一 探究二 探究三 易错辨析 答图2-3-4 探究一 探究二 探究三 易错辨析 答案:(1)C　(2)C 探究一 探究二 探究三 易错辨析 易错辨析 因考虑问题不全面而致误 【典例】已知抛物线上一点(-5,-2 )到焦点F(x,0)的距离是6,则抛物线的标准方程是(　　). A.y2=-2x或y2=-18x B.y2=-4x或y2=-36x C.y2=-4x D.y2=-18x,y2=-36x 探究一 探究二 探究三 易错辨析 x=-9,则F(-1,0)或F(-9,0). 若F(-1,0),则p=2,方程为y2=-4x; 若F(-9,0),则p=18,方程为y2=-36x.故选B. 答案:B 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:上述解法的错误在于忘记检验是否符合抛物线的定义.由已知求出F(-1,0)或F(-9,0),只说明这两点到点(-5,-2 )的距离为6,并不代表点 (-5,-2 )一定在以F(-1,0)或F(-9,0)为焦点的抛物线上. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 整理得x2+10x+9=0,即(x+1)(x+9)=0, 解得x=-1或x=-9. 则F(-1,0)或F(-9,0). 若F(-1,0),则p=2,y2=-4x; 若F(-9,0),则p=18,y2=-36x.显然,若抛物线的方程为y2=-36x,则它的准线方程为x=9. 由抛物线的定义,点(-5,-2 )到直线x=9的距离应该是6,而点(-5,-2 )到直线x=9的距离为14,矛盾. 故所求抛物线的标准方程为y2=-4x. 答案:C 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.求抛物线的标准方程,常用待定系数法.用待定系数法求抛物线标准方程时,一定要先确定焦点位置与开口方向,如果开口方向不确定时,可设所求抛物线方程为y2=ax(a≠0),或者x2=ay(a≠0). 2.应用分类讨论的思想解题时,应注意验证分类的结果是否都符合题意. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 答案:B 2.已知抛物线y2=24ax(a>0)上有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为(　　). A.y2=8x B.y2=12x C.y2=16x D.y2=20x 解析:由题意知6a+3=5,解得a= .因此抛物线的方程为y2=8x. 答案:A 3.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l.设l与x轴的交点为K,P为抛物线C上异于O的任意一点,点P在l上的射影为点E,∠EPF的邻补角的平分线交x轴于点Q,过点Q作QM⊥PF交PF于点M,过点Q作QN⊥EP交线段EP的延长线于点N,则(　　). A.|PE|=|PF| B.|PF|=|QF| C.|PN|=|MF| D.|PN|=|KF| 答案:ABD 4.已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)上一点A到焦点F的距离为4,点M为抛物线C准线上的动点.若 则p=　　　　　.  答案:3 (第3题答图) 5.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离是5. (1)求抛物线的方程和实数m的值; (2)求抛物线的焦点坐标和准线方程. 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px (p>0) x=- y2=-2px (p>0) x= 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 x2=2py (p>0) y=- x2=-2py (p>0) y= 解析:抛物线y2=2x的焦点坐标是,准线方程是x=-. 答案:　x=- 解:(1)焦点坐标为(10,0),准线方程为x=-10. (2)由4x2=y得x2=y.∵2p=,∴p=. ∴焦点坐标为(0,),准线方程为y=-. (3)由6y2+11x=0,得y2=-x, 故焦点坐标为(-,0),准线方程为x=. 解:(1)抛物线y=x2的标准形式为x2=4y,则p=2,故焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1.抛物线开口向上. (2)抛物线方程的标准形式为y2=x,则2p=. ①当a>0时,,抛物线开口向右, 焦点坐标是,准线方程是x=-; ②当a<0时,=-,抛物线开口向左, 焦点坐标是,准线方程是x=-. 综上所述,当a≠0时,抛物线x=ay2的焦点坐标为,准线方程为x=-.a>0时,开口向右;a<0时,开口向左. 解:(1)由题意,可设所求抛物线方程为x2=-2py(p>0).将点(-1,-3)的坐标代入方程,得(-1)2=-2p·(-3),解得p=.故所求抛物线方程为x2=-y. (3)由由 所以所求抛物线的焦点坐标为(0,-2)或(4,0). 当焦点坐标为(0,-2)时,由=2,得p=4,所以所求抛物线方程为x2=-8y;当焦点坐标为(4,0)时,由=4,得p=8,所以所求抛物线方程为y2=16x. 综上所述,所求抛物线方程为x2=-8y或y2=16x. (4)由焦点到准线的距离为,可知p=. 故所求抛物线方程为y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y. (2)①∵直线l与x轴的交点坐标为(2,0),∴当抛物线的焦点在x轴上时,坐标是(2,0).设抛物线方程为y2=2px(p>0),则=2,p=4.此时抛物线的标准方程是y2=8x. ②∵直线l与y轴的交点坐标为(0,-3), ∴当抛物线的焦点在y轴上时,坐标是(0,-3). 设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则=3,p=6, 故抛物线的标准方程是x2=-12y. 综上所述,所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y. 解:由题意可知,抛物线y2=2x的焦点坐标为,设为F. 又|AF|=, 故所求距离之和的最小值为. 又|AQ'|=3+,故所求距离之和的最小值为. 解:由题意知,抛物线y2=2x的焦点坐标为,设为F,准线为直线l:x=-. 如答图2-3-3,过点P分别向直线l1,l作垂线,垂足分别为Q,Q1,过点F向直线l1作垂线,垂足为Q2,连接PF. 由抛物线的定义知,|PQ|+|PQ1|=|PQ|+|PF|≥|FQ2|, 当且仅当点P在FQ2上时取等号. 又|FQ2|==1, 故所求距离之和的最小值为1. A. B.1 C. D. (2)已知动点M(x,y)的坐标满足方程5=|3x+4y-12|,则动点M的轨迹是(　　). 由抛物线的定义知|AD|+|BC|=|AF|+|BF|=3,所以|MN|=. 又因为准线l的方程为x=-, 所以点M到y轴的距离为,故选C. 解析:(1)设抛物线的准线为l,AB的中点为M,如答图2-3-4,过A,B,M分别作准线l的垂线AD,BC,MN,垂足分别为D,C,N,由于MN是梯形ABCD的中位线,所以|MN|=. (2)由已知得,,即动点M(x,y)到坐标原点的距离等于它到直线3x+4y-12=0的距离,且直线不过坐标原点,根据抛物线的定义知,动点M的轨迹是抛物线,故选C. 错解:由已知得=6,整理得x2+10x+9=0,解得x=-1或 正解:由已知得=6, 1.已知抛物线y=的焦点坐标为(0,-1),则实数a的值等于(　　). A.4 B.-4 C. D.- 解析:如答图,作AE垂直准线于点E,设EM与x轴的交点为N. 由抛物线的定义可得|AE|=|AF|=4.因为=3,所以|MF|=3|FA|=12,|MA|=16.由三角形相似可得, 即,所以|NF|=3,故p=3. =3, 解:(1)∵抛物线的焦点在x轴上且过点M(-3,m), ∴设抛物线方程为y2=-2px(p>0),则不妨设焦点为F.由题意知 ∴ ∴所求抛物线方程为y2=-8x,m=±2. (2)∵p=4,∴抛物线的焦点坐标为(-2,0),准线方程是x=2. $$