2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版 数学 选择性必修第一册 第二章　圆锥曲线 4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 课标定位 素养阐释 1.掌握直线与圆锥曲线相交弦的长及中点弦问题的解法. 2.掌握圆锥曲线中定点与定值问题的解法. 3.理解和掌握转化与化归思想及数形结合思想在解析几何中的应用. 自主预习 新知导学 一、直线与圆锥曲线的相交弦长 【问题思考】 1.(1)一元二次方程根与系数的关系有哪些? (2)两点间的距离公式是怎样的? 答案:B 二、中点弦 【问题思考】 1.(1)中点坐标公式是什么? (2)经过两点的直线的斜率公式是什么? 答案:x+2y-4=0 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦中最短弦的长是2p.(　　) (3)与双曲线只有一个交点的直线为其切线.(　　) (4)过点(0,1)作直线,使它与曲线y2=4x仅有一个公共点的直线只有2条. (　　) √ √ × × 合作探究 释疑解惑 探究一 弦长问题 【例1】 已知双曲线x2- =1,过点P(2,1)作一直线交双曲线于A,B两点.若P为AB的中点,求: (1)求直线AB的方程; (2)求弦AB的长. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 例题条件不变,试判断A,B两点在双曲线的左支上还是在右支上. 探究一 探究二 探究三 规范解答 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 (1)涉及弦长的问题,应熟练利用根与系数的关系,运用设而不求法计算 (2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系,运用设而不求法简化运算; (3)涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解. 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练1】已知直线y=2x-2交抛物线y2=8x于A,B两点,求线段AB的中点M的坐标及弦AB的长. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究二 中点弦问题 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 解决中点弦问题主要有如下两种方法 (1)根与系数的关系法:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解. (2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B,一般先设出交点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),将两个坐标分别代入曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系式. 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练2】 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,若弦AB恰被点Q平分,求弦AB所在直线的方程. 探究一 探究二 探究三 规范解答 经验证,此时直线与抛物线相交. 故弦AB所在直线的方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究三 定点与定值问题 图2-4-2 (1)求椭圆C的标准方程. (2)设直线x=my+1与椭圆C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为A'(A'与B不重合),则直线A'B与x轴是否交于一个定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 1.求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊值入手,求出表达式,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立b,k等量关系进行消元,借助于直线系方程找出定点. (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明一般情况. 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练3】 已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,并满足OA⊥OB(O为坐标原点),求证: (1)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积均是一个定值; (2)直线AB经过一个定点. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 规范解答 与圆锥曲线有关的综合问题 图2-4-3 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 (2)不存在符合题设条件的直线l.证明如下: ①若直线l垂直于x轴, 因为直线l与椭圆C2只有一个公共点, 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 1.本例(1)是利用待定系数法求方程. 2.本例(2)中情况①不能忽略. 3.本例(2)中利用Δ=0找到参数m与k之间的关系. 探究一 探究二 探究三 规范解答 随堂练习 答案:A 2.已知直线l与抛物线C:y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且满足k1k2= ,则直线l过定点(　　). A.(-3,0) B.(0,-3) C.(3,0) D.(0,3) 答案:A 3.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线与该抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 的最小值是(　　). A.4 B.8 C.12 D.16 答案:B 答案:ABD 答案:3x+4y-7=0 6.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于A,B两点,若另有一条直线l经过P(-2,0)及线段AB的中点Q. (1)求k的取值范围; (2)求直线l在y轴上的截距b的取值范围. 提示:若一元二次方程Ax2+Bx+C=0(A≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=-;x1·x2=. 提示:已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=. 2.设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|= 或=·|y1-y2| =. 3.过椭圆=1的一个焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦,则此弦长为(　　). A. B.3 C.2 D. 解析:不妨设F(1,0),P(1,y0)为弦的一个端点,将(1,y0) 的坐标代入=1得 =1,解得y0=±. 于是所求弦长为3,选B. 提示:已知点A(x1,y1),B(x2,y2), 则线段AB的中点M(x,y)的坐标x=,y=. 提示:已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1≠x2,则经过点P1,P2的直线的斜率k=. 2.直线与椭圆相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),与弦AB中点有关的问题称为中点弦问题.“点差法”是将A,B两点的坐标代入椭圆方程=1中, 则有=1,① =1,② ①-②,得=0, 即=0.③ 设M(x0,y0)为线段AB的中点, 则有 同时有直线AB的斜率kAB=.⑥ 将④⑤⑥代入③中得kAB= - . 3.若过椭圆=1内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是　　　　　　　　　　.  解析:设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1,两式相减并把x1+x2=4,y1+y2=2代入,得=-,故所求直线方程为y-1=-(x-2),即 x+2y-4=0. (2)过椭圆=1的焦点的弦中,最短的弦长为.(　　) 解:(1)设点A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程3x2-y2=3,得3=3,3=3,两式相减得3(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),即=3,则直线AB的斜率kAB==6. 故直线AB的方程为y-1=6(x-2),即6x-y-11=0. (2)将y=6x-11代入3x2-y2=3,得33x2-132x+124=0,则x1+x2=,x1x2=,由弦长公式|AB|= 得|AB|=. 解:由例1解答知,直线AB的方程为y=6x-11,联立直线AB与双曲线的方程,得消去y整理得33x2-132x+124=0. 则x1+x2=>0,x1x2=>0,于是可知x1>0且x2>0, ∴点A,B都在双曲线的右支上. 弦长.弦长公式|AB|=; 解:将y=2x-2代入y2=8x,化简、整理得x2-4x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4,x1x2=1,于是线段AB的中点M的坐标为(2,2). 由弦长公式得|AB|=|x1-x2| = = =2. 【例2】 已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2:=1(a>b>0)的一个焦点坐标为(,0),斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A,B两点,线段AB的中点H的坐标为(2,-1). (1)求椭圆C2的方程. (2)设P为椭圆C2上一点,点M,N在椭圆C1上,O为坐标原点且+2.问:直线OM与直线ON的斜率之积是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 解:(1)设A(xA,yA),B(xB,yB), 则 ∴=-. 又∵直线l的斜率为1,点H的坐标为(2,-1), ∴1=-,即a2=2b2. 又∵a2-b2=5,∴b2=5,a2=10. 故椭圆C2的方程为=1. (2)直线OM与直线ON的斜率之积是定值.理由: 设P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2). ∵+2,∴ 又+2=10,∴(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2=10, 即+2+4(+2)+4x1x2+8y1y2=10, 又+2=2,+2=2, ∴10+4x1x2+8y1y2=10,即x1x2+2y1y2=0. ∴直线OM与直线ON的斜率之积为=-. 解:设以Q为中点的弦AB的两端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则有 由①-②得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2). 将④代入,得y1-y2=4(x1-x2),即4=. 故直线AB的斜率k==4. 【例3】 如图2-4-2,椭圆C:=1(a>b>0)经过点(0,1),离心率e=. 解:(1)依题意,有可得 所以椭圆C的标准方程是+y2=1. (2)由得(m2+4)y2+2my-3=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则A'(x1,-y1), 且y1+y2=-,y1y2=.经过点A'(x1,-y1),B(x2,y2)的直线方程为 ,令y=0, 则x=y1+x1==4.故直线A'B与x轴交于定点(4,0). 证明:(1)设点A(x1,y1),B(x2,y2), 易知直线AB的斜率不为0,∴可设直线AB的方程为my=x+b, 由消去x,得y2-2pmy+2pb=0, 则Δ=(-2pm)2-8pb>0,y1+y2=2pm,y1y2=2pb. ∵OA⊥OB,∴=0,即x1x2+y1y2=0.∴+y1y2=0. ∴b2+2pb=0.∴b+2p=0,即b=-2p. ∴y1y2=-4p2,x1x2=b2=4p2.故A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积,分别是4p2和-4p2. (2)由(1)知,直线AB的方程为my=x-2p,故直线AB过定点(2p,0). 【典例】 如图2-4-3, ,在平面直角坐标系中O为坐标原点,双曲线C1: =1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:=1(a2>b2>0)均过点P(,1),且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1)求曲线C1,C2的方程. (2)是否存在直线l,使得直线l与双曲线C1交于A,B两点, 与椭圆C2只有一个公共点,且||=||?证明你的结论. 规范展示　(1)设椭圆C2的焦距为2c2, 由题意知,2c2=2,2a1=2. 从而a1=1,c2=1. 因为点P在双曲线x2-=1上, 所以=1.所以=3. 又点P(,1)在椭圆上,所以=1,所以=2. 所以=2. 故曲线C1,C2的方程分别为x2-=1,=1. 所以直线l的方程为x=或x=-. 当x=时,易知A(),B(,-), 所以||=2,||=2. 此时,||≠||. 当x=-时,同理可知,||≠||. ②若直线l不垂直于x轴,设直线l的方程为y=kx+m. 由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=. 于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=. 由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0. 因为直线l与椭圆C2只有一个公共点, 所以Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0. 化简得m2=2k2+3, 因此=x1x2+y1y2=≠0,于是+2-2,即||2≠||2,故||≠||. 综合①②可知,不存在符合题设条件的直线. 4.要把条件||=||适当变形以便利用. 1.已知椭圆C:+x2=1,直线l:9x+y-5=0与椭圆C相交于A,B两点,点P为弦AB的中点,则点P的坐标为(　　). A.() B.(-) C.(1,-4) D.(-1,14) 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y). 由整理得45x2-45x+8=0. 则x1+x2=1,y1+y2=5-9x1+5-9x2=1. 故x=,y=. 因此点P的坐标为(). 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),因为k1k2=,所以.又=2x1,=2x2,所以y1y2=6.设直线l的方程为x=my+b,代入抛物线C的方程y2=2x得y2-2my-2b=0,所以y1y2=-2b=6,解得b=-3,即直线l的方程为x=my-3,所以直线l过定点为(-3,0). 解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0). 若直线斜率存在,则设过焦点的直线方程为y=k(x-1)(k≠0).由得y2-y-4=0,则Δ=+4×4>0,y1+y2=,y1y2=-4, 于是=(y1+y2)2-2y1y2=+8>8. 若直线斜率不存在,则直线方程为x=1,将其代入y2=4x,得y=±2,则有=8. 综上可知,≥8.因而的最小值为8. 4.（多选题）已知F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为左顶点,P为双曲线右支上一点.若|PF1|=2|PF2|,且△PF1F2的最小内角为30°,则(　　). A.双曲线的离心率为 B.双曲线的渐近线方程为y=±x C.∠PAF2=45° D.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点 5.已知点P(1,1)是椭圆=1的某条弦的中点,则此弦所在的直线的一般方程为　　　　　　　　.  解析:设过点P(1,1)的直线与椭圆=1的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则=1,=1,两式相减得=0, 化简得=-,即kAB=-,直线AB的方程为y-1=-(x-1), 所以直线AB的一般方程为3x+4y-7=0. 解:(1)联立直线与双曲线的方程,得 消去y,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0. 由题设条件,得 解得-<k<-1.故k的取值范围为(-,-1). (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y), 由(1)得x=,y=. 于是直线l的方程为y=(x+2). 令x=0,得b=. 设u=2k2+k-2,因为-<k<-1,所以u=2k2+k-2在定义域上为减函数,所以-1<u<2-. 又因为u≠0,所以b<-2或b>2+. 故直线l在y轴上的截距b的取值范围是(-∞,-2)∪(2+,+∞). $$