2.1.1 椭圆及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版 数学 选择性必修第一册 第二章　圆锥曲线 1.1　椭圆及其标准方程 课标定位 素养阐释 1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,理解椭圆、焦点、焦距的定义.理解椭圆标准方程的推导与化简. 2.掌握椭圆的标准方程及几何图形.理解参数a,b,c的几何意义,会求一些简单的椭圆的标准方程.学好数形结合数学思想的运用. 3.通过对椭圆定义的归纳和标准方程的推导,培养发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力,提高探索数学的兴趣,激发学习热情. 自主预习 新知导学 一、椭圆的定义 【问题思考】 1.(1)将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点F1,F2上,用笔尖将细绳拉紧并运动,在纸上能得到怎样的图形? 提示:得到一个椭圆. (2)笔尖在移动的过程中,笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗? 提示:是.其距离之和始终等于细绳的长度. 2.平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于 常数 (大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作 椭圆 . 这两个定点F1,F2叫作椭圆的 焦点 ,两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的 焦距 . 3.(多选题)下列命题是真命题的有(　　). A.已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2|= 的点P的轨迹为椭圆 B.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的轨迹为线段 C.到定点F1(-3,0),F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆 D.若点P到定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离的和等于点M(5,3)到定点F1(-4,0), F2(4,0)的距离的和,则点P的轨迹为椭圆 BD 解析: A项,因为 <2,所以点P的轨迹不存在;B项,因为|F1F2|=4,所以点P的轨迹是线段F1F2;C项,到定点F1(-3,0),F2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴);D项,因为点M(5,3)到定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离的和为4 >8,所以点P的轨迹为椭圆.故选BD. 二、椭圆的标准方程 【问题思考】 1.(1)根据椭圆的几何特征,如何建立坐标系求椭圆的方程? 提示:以两定点F1,F2所在的直线为x轴,F1F2的中点为坐标原点建立平面直角坐标系,然后按照直接法求轨迹方程的步骤求出椭圆方程. (2)在推导椭圆的标准方程的过程中,如何处理等式中的两个根式? 提示:将其中一个根式移到另一端,两边平方然后再次平方即可. 3.两个焦点坐标分别为(2,0)和(-2,0),且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为(　　). 答案:C 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹就是椭圆.(　　) × × × √ 合作探究 释疑解惑 探究一 用待定系数法求椭圆的标准方程 【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-3,0),(3,0),并且椭圆上一点P与两个焦点的距离的和等于10; (2)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),且经过点(4,3 ); 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 求椭圆标准方程的步骤 (1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,还是在两条坐标轴上都有可能. (2)设方程: ②在不能确定焦点位置的情况下也可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n). (3)找关系:依据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组. (4)得方程:解方程组,代入所设方程即为所求. 其主要步骤可归纳为“先定型,再定量”. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 用定义法求椭圆的标准方程 【例2】 已知一动圆M与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心M的轨迹方程. 解:由已知,得两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),R1=1,Q2(3,0),R2=9. 设动圆圆心为M(x,y),半径为R. 由题设有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R, 所以|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6. 由椭圆的定义,知点M在以Q1,Q2为左、右焦点的椭圆上,且a=5,c=3. 所以b2=a2-c2=25-9=16. 故动圆圆心M的轨迹方程为 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.先根据动点满足的条件,验证是否符合椭圆的定义,即动点到两定点的距离之和是不是一个常数,且该常数(定值)是不是大于两定点间的距离. 2.若符合,则动点的轨迹为椭圆,且两定点间的距离为焦距2c,动点到两定点的距离之和是常数2a.从而可以确定椭圆的方程. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练2】 一动圆过定点A(2,0),且与圆B:x2+4x+y2-32=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程. 解:将圆B的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=62,可知圆心为B(-2,0),半径为6, 如答图2-1-1,设动圆圆心M的坐标为(x,y),切点为C. ∵|BC|-|MC|=|BM|,|BC|=6,|CM|=|AM|, ∴|BM|+|AM|=6>|AB|=4. 由椭圆定义知,A,B为椭圆的两个焦点, ∴a=3,c=2,b2=a2-c2=5, 答图2-1-1 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 椭圆定义的应用 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.若将本例中“∠F1PF2=60°”变为“∠F1PF2=90°”,其他条件不变,求△F1PF2的面积. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 2.若将本例中“∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”,其他条件不变,求△F1PF2的面积. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.椭圆的定义具有双向作用,即若点P到两定点F1,F2的距离之和|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|),则点P的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点P到两焦点F1,F2的距离之和必为常数(大于|F1F2|). 2.椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2,称为焦点三角形.在处理椭圆中的焦点三角形问题时,可结合椭圆的定义|PF1|+|PF2|=常数(大于|F1F2|)及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 图2-1-1 探究一 探究二 探究三 易错辨析 |AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,|AF2|+|BF2|=|AB|. 所以△AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=20. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 易错辨析 因考虑不全面而致误 【典例】 已知椭圆两焦点间的距离为16,且椭圆上某点到两焦点的距离分别等于9和15,求椭圆的标准方程. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:上述解法的错误在于忘记本题没有说明焦点在哪条坐标轴上,解题时易主观地认为焦点在x轴上,应考虑焦点在x轴、y轴上两种情形,这是初学者易犯的错误. 正解:由题意知,2c=16,2a=9+15=24,所以c=8,a=12. 所以b2=a2-c2=122-82=80. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 在求解椭圆问题时,要注意以下常见错误: (1)忽略椭圆定义中的条件2a>|F1F2|. (2)忽略椭圆标准方程的隐含条件(a>b>0). (3)主观地认为焦点在x轴上而忽略讨论焦点在y轴上的情况. (4)忽略对方程的限制条件. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点的坐标是(0,1),则实数k的值是(　　). A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B A.(3,+∞) B.(-∞,-2) C.(-∞,-2)∪(3,+∞) D.(-6,-2)∪(3,+∞) 答案:D 3.已知点P在焦点为F1(-4,0)和F2(4,0)的椭圆上,若△PF1F2面积的最大值为16,则椭圆的标准方程为(　　). 答案:C 答案:AB 6.已知椭圆的中心在原点,两个焦点F1,F2在x轴上,且过点A(-4,3).若F1A⊥F2A,求椭圆的标准方程. 2.(1)椭圆上任意一点的坐标都是方程=1(a>b>0)的解;以方程 =1(a>b>0)的解为坐标的点都在椭圆上.我们将方程 =1 (a>b>0)叫作椭圆的标准方程,它的焦点在x轴上,两个焦点分别是 F1 (-c,0) ,F2 (c,0) ,其中b2= a2-c2 . (2)同样地,我们将方程 =1 (a>b>0)叫作椭圆的标准方程,它的焦点在y轴上,两个焦点分别是F1 (0,-c) ,F2 (0,c) ,其中b2= a2-c2 . A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 (2)在椭圆的标准方程=1(a>b>0)和=1(a>b>0)中,a,b的大小是不确定的. (　　) (3)方程=1(m>0,n>0)必定表示椭圆. (　　) (4)已知椭圆的标准方程为+x2=1,F1,F2分别为它的两个焦点,则它的焦点在y轴上,其坐标为(0,±). (　　) (3)经过两点(2,-),. 解:(1)由题意可知,椭圆的焦点在x轴上, 所以可设它的标准方程为=1(a>b>0). 由c=3,2a=10,则a=5,b==4. 故椭圆的标准方程为=1. (2)(方法一)由题意可知,椭圆的焦点在y轴上, 所以可设它的标准方程为=1(a>b>0). 由椭圆的定义知2a==12,所以a=6. 又c=2,所以b2=a2-c2=32. 所以椭圆的标准方程为=1. (方法二)因为椭圆的焦点在y轴上, 所以可设它的标准方程为=1(a>b>0). 由题意得解得 所以椭圆的标准方程为=1. (3)若椭圆的焦点在x轴上, 设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为=1. 同理: 经计算知,焦点在y轴上的椭圆不存在. 综上,所求椭圆的标准方程为=1. ①依据上述判断设方程为=1(a>b>0)或=1(a>b>0). (3)经过点A(,-2)和点B(-2,1). 解:(1)由题意可知,椭圆的焦点在x轴上, 则可设它的标准方程为=1(a>b>0). 易知,a=5,c=4. ∴b2=a2-c2=25-16=9. 故所求椭圆的标准方程为=1. (2)由题意可知,椭圆的焦点在y轴上, 则可设它的标准方程为=1(a>b>0). 由题意可知,a=2,b=1. 故所求椭圆的标准方程为+x2=1. (3)(方法一)①当焦点在x轴上时, 设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 依题意有解得 故所求椭圆的标准方程为=1. ②当焦点在y轴上时, 设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 依题意有解得 因为a>b>0,所以无解. (方法二)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).依题意有解得 所以所求椭圆的标准方程为=1. =1. ∴动圆圆心M的轨迹方程为=1. 【例3】 已知P为椭圆=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积. 解:由题意可得,c==3,则|F1F2|=2c=6. 在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°, 即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4, 所以48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|=4. 所以△F1PF2的面积S=|PF1|·|PF2|·sin 60°=. 解:由椭圆=1知|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=6. 因为∠F1PF2=90°, 所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=36. 则|PF1|·|PF2|=6. 故△F1PF2的面积S=|PF1|·|PF2|=3. 解:由已知得a=2,b=,所以c==3. 从而|F1F2|=2c=6. 在△PF1F2中,由勾股定理可得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2,即|PF2|2=|PF1|2+36, 又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2×2=4, 所以|PF2|=4-|PF1|. 从而有(4-|PF1|)2=|PF1|2+36, 解得|PF1|=. 所以△F1PF2的面积S=·|PF1|·|F1F2|=×6=. 【变式训练3】 如图2-1-1,已知过椭圆=1的右焦点F2的直线垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.求△AF1B的周长. 解:由题意知,点A,B在椭圆=1上,且a=5,则有 错解:设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 由题意知,2c=16,2a=9+15=24, 所以c=8,a=12. 所以b2=a2-c2=122-82=80. 故椭圆的标准方程为=1. 所以所求椭圆的标准方程为=1或=1. 解析:椭圆方程可化为x2+=1.由题意知,焦点在y轴上,则解得k=2. 2.若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是(　). 解析:因为椭圆的焦点在x轴上,所以解得a>3或-6<a<-2,故选D. A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 解析:由题意可设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).易知焦距2c=8,所以c=4.因为△PF1F2面积的最大值为16,所以·2c·b=16,所以4b=16,b=4.所以a2=b2+c2=42+42=32. 故所求椭圆的标准方程为=1. 4.(多选题)已知F1,F2分别是椭圆C:=1的左、右焦点,P为椭圆C上异于椭圆C与x轴的交点的动点,则下列结论正确的有(　　). A.△PF1F2的周长为10 B.△PF1F2面积的最大值为2 C.当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为 D.存在点P使得=0 5.中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过点P,Q的椭圆的标准方程是　　　　　.  解析:设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).依题意有解得 故所求椭圆的方程为5x2+4y2=1, 化成标准方程为=1. 答案:=1 解:设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0).设两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)(c>0). ∵F1A⊥F2A,∴=0. 又=(-4+c,3),=(-4-c,3), ∴(-4+c)(-4-c)+32=0,解得c2=25, ∴c=5. ∴2a=|F1A|+|F2A|==4. ∴a=2.∴b2=a2-c2=(2)2-52=15. 故所求椭圆的标准方程为=1. $$