2.1.1 椭圆及其标准方程(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦椭圆的定义、标准方程及应用，通过日常生活中的椭圆现象情境导入，对比圆的定义提问，搭建从圆到椭圆的知识支架，引导学生抽象椭圆模型。 其亮点在于融合数学抽象与直观想象，通过“想一想”辨析定义中常数与焦距的关系，典例研析采用一题多解培养逻辑推理，通性通法总结助力教师系统教学，学生能深化概念理解，提升解题能力。

§1　椭圆 1.1　椭圆及其标准方程 第二章　圆锥曲线 1 课标 要求 1.了解椭圆的实际背景（数学抽象）. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程（直观想象）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图1、图2. 我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的 特征是任意一点到圆心的距离都等于半径. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【问题】　椭圆又有着怎样的几何特征呢？它是否与圆一样有自己的定 义、方程？ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点一　椭圆的定义 　平面内到两个定点F1，F2的 ⁠的 点的集合（或轨迹）叫作椭圆.这两个定点F1，F2叫作椭圆的 ，两 个焦点间的距离 叫作椭圆的焦距. 距离之和等于常数（大于｜F1F2｜）　 焦点　 ｜F1F2｜　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【想一想】 定义中，将“大于｜F1F2｜”改为“等于｜F1F2｜”或“小于｜ F1F2｜”，其他条件不变，点的轨迹还是椭圆吗？ 提示：不是.当距离之和等于｜F1F2｜时，点的轨迹是线段F1F2；当距离之 和小于｜F1F2｜时，点的轨迹不存在. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点二　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ⁠ ⁠ 图形 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0） 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点坐标 ⁠ ⁠ ⁠ a，b，c 的关系 c2＝ ⁠ （－c，0），（c， 0） （0，－c），（0，c） a2－b2　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 提醒：椭圆标准方程的特征：（1）几何特征：椭圆的中心在坐标原点， 焦点在x轴或y轴上；（2）代数特征：方程右边为1，左边是关于与 的平方和，并且分母为不相等的正值.x2项和y2项谁的分母大，焦点就在 谁的轴上；（3）在椭圆的标准方程中不一定有a＞b＞c成立，只需a＞b，a ＞c即可，b，c的大小关系不确定. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2. （　√　） （2）平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆. （　×　） （3）方程＋＝1（a＞0，b＞0）表示的曲线是椭圆. （　×　） （4）设F1（－4，0），F2（4，0）为定点，动点M满足｜MF1｜＋｜ MF2｜＝8，则动点M的轨迹是椭圆. （　×　） √ × × × 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值为 （　C　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 3. 若椭圆的焦距为6，a－b＝1，则椭圆的标准方程为 ⁠ . 4. 已知椭圆＋＝1过点（2，），则其焦距为 ⁠. 解析：将点（2，）代入椭圆方程得＋＝1，解得b2＝12，则c2＝12－ 8＝4，c＝2，所以焦距为2c＝4. C ＋＝1或＋ ＝1　 4　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 典例研析>> 目录 14 题型一　椭圆的定义 若△ABC的两个顶点坐标为A（－4，0），B（4，0），△ABC的周长 为18，则顶点C的轨迹方程为 ⁠. ＋＝1（y≠0）　 解析：△ABC的两个顶点坐标为A（－4，0），B（4，0），周长为18， ∵｜AB｜＝8，∴｜BC｜＋｜AC｜＝10.∵｜BC｜＋｜AC｜＞8，∴点C 到两个定点A，B的距离之和为定值，∴点C的轨迹是以A，B为焦点，去除 直线AB上的点的椭圆.∵2a＝10，2c＝8，∴b＝3.∴顶点C的轨迹方程是 ＋＝1（y≠0）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 椭圆的定义在解题中的双向作用 　　椭圆的定义具有双向作用，即若｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a（2a＞｜ F1F2｜），则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距 离之和必为2a. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 〔多选〕已知在平面直角坐标系中，点A（－3，0），B（3，0），P为 一动点，且｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a≥0），下列说法中正确的是（　　） A. 当a＝2时，点P的轨迹不存在 B. 当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C. 当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D. 当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 √ √ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　对于A，当a＝2时，2a＝4＜｜AB｜＝6，故点P的轨迹不存 在，故A正确；对于B、C，当a＝4时，2a＝8＞｜AB｜，故点P的轨迹是椭 圆，且焦距为｜AB｜＝6，故B错误，C正确；对于D，当a＝3时，2a＝6 ＝｜AB｜，故点P的轨迹为线段AB，故D错误. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两 点.若｜F2A｜＋｜F2B｜＝12，则｜AB｜＝ ⁠. 解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知｜AB｜＝｜F1A｜＋｜F1B｜， 所以在△F2AB中，｜F2A｜＋｜F2B｜＋｜AB｜＝4a＝20，又｜F2A｜＋｜ F2B｜＝12，所以｜AB｜＝8. 8　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型二　求椭圆的标准方程 〔一题多解〕求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为F1（－4，0），F2（4，0），并且椭圆上一点 P与两焦点的距离之和等于10； 解： 因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝ ＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1. （2）焦点分别为（0，－2），（0，2），经过点（4，3）； 解：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1（a＞b ＞0）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 法一　由椭圆的定义知2a＝＋ ＝6＋＋6－＝12，解得a＝6. 又c＝2，所以b＝＝4. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 法二　因为所求椭圆过点（4，3），所以＋＝1. 又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解：法一　若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. （3）经过两点（2，－），（－1，）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 由已知条件得解得 则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去. 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 法二　设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B）.分别将两 点的坐标（2，－），（－1，）代入椭圆的一般方程，得 解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 　　主要步骤可归纳为“先定位，再定量”. 提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况 讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 已知点A（－3，0），B（0，2）在椭圆＋＝1上，则椭圆的标准方 程为（　　） A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋y2＝1 D. ＋＝1 √ 解析：由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋ ＝1. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 求满足过点（，－），且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标 准方程. 解：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2 ＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.　① 又点（，－）在椭圆上，所以＋＝1， 即＋＝1.　② 由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型三　椭圆方程的简单应用 若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为（　　） A. （5，6） B. （5，7） C. （6，7） D. （5，6）∪（6，7） √ 解析： 由题意知解得5＜k＜7且k≠6，所以实数k的取 值范围是（5，6）∪（6，7）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【母题探究】 　（变条件）若本例条件变为“若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭 圆”，则实数k的取值范围为 ⁠. 解析：由题意知解得5＜k＜6. （5，6）　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 1. 判断焦点所在坐标轴其依据是看x2项，y2项的分母哪个大，焦点在分母 大的坐标轴上. 2. 对于方程＋＝1（m＞0，n＞0），当m＞n＞0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n＞m＞0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地，当n＝ m＞0时，方程表示圆心在原点的圆. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 已知椭圆方程为kx2＋3y2－6k＝0（k≠0），焦距为4，则k＝ ⁠. 解析：将方程kx2＋3y2－6k＝0化为＋＝1.∵焦距为4，∴2c＝4，即c＝ 2.当焦点在x轴上时，6－2k＝4，解得k＝1；当焦点在y轴上时，2k－6＝ 4，解得k＝5.综上，k＝1或5. 1或5　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型四　椭圆的焦点三角形 〔一题多解〕已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，2a＝4，且点 在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； 解： ∵椭圆C的焦点在x轴上，且2a＝4， ∴可设椭圆C的方程为＋＝1（0＜b＜2）. ∵点（1，）在椭圆C上，∴＋＝1，解得b2＝1. ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）若点P在椭圆上，∠F2PF1＝60°，求△PF1F2的面积. 解： 法一 由（1）知，c＝＝，｜PF1｜＋｜PF2｜＝4. 在△F2PF1中，由余弦定理，得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋－2｜ PF1｜｜PF2｜·cos∠F1PF2，即4c2＝42－3｜PF1｜｜PF2｜. ∴｜PF1｜｜PF2｜＝， ∴＝｜PF1｜｜PF2｜sin 60°＝××＝. 法二 由（1）知b2＝1，又∵∠F2PF1＝60°， ∴＝b2tan＝tan 30°＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 　　设F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，当P，F1，F2三点不 在同一条直线上时，P，F1，F2构成了一个三角形，这个三角形叫作焦点 三角形.我们可以由三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理和椭圆的定 义等来解决焦点三角形等有关问题，如△PF1F2的面积问题，｜PF1｜·｜ PF2｜的最值问题等. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 　设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上任意一点，已知P， F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，则的 值为 ⁠. 或2　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析：因为椭圆方程为＋＝1，所以a2＝9，b2＝4，c2＝5.所以｜ F1F2｜＝2，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6.由题意知，｜PF1｜＞｜PF2｜，所 以∠PF1F2不可能为直角.若∠PF2F1为直角，则｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜ F1F2｜2，即｜PF1｜2＝（6－｜PF1｜）2＋20，解得｜PF1｜＝.所以｜ PF2｜＝，所以＝.若∠F1PF2为直角，则｜F1F2｜2＝｜PF1｜2 ＋｜PF2｜2，即20＝｜PF1｜2＋（6－｜PF1｜）2，解得｜PF1｜＝4或｜ PF1｜＝2（舍去）.所以｜PF2｜＝2，所以＝2.综上可知， 的值为或2. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 椭圆＋＝1的焦点坐标是（　　） A. （±5，0） B. （0，±5） C. （0，±12） D. （±12，0） √ 解析： ∵c2＝a2－b2＝169－25＝122，∴c＝12.又椭圆的焦点在y轴上， 故焦点坐标为（0，±12）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 过点A（3，－2）且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为 （　　） A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 √ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　由题意，得椭圆的焦点坐标分别为（－，0），（，0）， 即c＝.设所求椭圆的方程为＋＝1（a2＞5且a＞0）.将点A（3，－ 2）的坐标代入＋＝1，得＋＝1，解得a2＝3（舍去）或a2＝ 15，所以所求椭圆的方程为＋＝1.故选A. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 如果x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：椭圆的方程x2＋ky2＝2可化为＋＝1，∵x2＋ky2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，∴＞2，解得0＜k＜1.∴实数k的取值范围是（0，1）. （0， 1）　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆 于A，B两点，则△ABF2的周长是 ⁠. 解析：由椭圆定义知，｜AF1｜＋｜AF2｜＝｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＝8， 故△ABF2的周长为｜AB｜＋｜AF2｜＋｜BF2｜＝｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜ AF2｜＋｜BF2｜＝16. 16　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，若 椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程为 　 ⁠. 解析：由｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝4得a＝2，∴原方程化为＋＝1，将 A代入方程得b2＝3，∴椭圆方程为＋＝1. ＋＝1　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 课时作业 >> 目录 43 1. 椭圆＋＝1上任意一点到两焦点的距离之和为（　　） A. 2 B. 8 C. 2 D. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　因为a2＝16，所以椭圆＋＝1上任意一点到两焦点的距离之 和为2a＝8.故选B. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4的椭圆方程是 （　　） A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 √ 解析： 　由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上， 且c2＝9－4＝5，又2b＝4，所以b＝2，a2＝25，所以所求椭圆方程为 ＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 已知在平面内，F1，F2是两个定点，M是一个动点，则“｜MF1｜＋｜ MF2｜为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 解析： 若｜MF1｜＋｜MF2｜＞｜F1F2｜，则点M的轨迹是以F1，F2为 焦点的椭圆，若｜MF1｜＋｜MF2｜＝｜F1F2｜，则点M的轨迹是线段 F1F2，所以“｜MF1｜＋｜MF2｜为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦 点的椭圆”的必要不充分条件，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线与椭圆 C交于A，B两点，且｜AF1｜＋｜BF1｜＝8，则｜AB｜＝（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 √ 解析： 　由题意，得a＝3，所以｜AF1｜＋｜AF2｜＝｜BF1｜＋｜BF2｜ ＝2a＝6，所以｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝4a＝12，又｜AF1｜＋｜ BF1｜＝8，所以｜AB｜＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 〔多选〕下列叙述正确的是（　　） A. 椭圆x2＋＝1的焦点坐标为（0，1），（0，－1） B. 椭圆＋＝1与＋＝1的焦点相同 C. 椭圆＋＝1上点P到两焦点的距离之和为6 D. 方程2 025x2＋2 026y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　因为椭圆方程x2＋＝1中，a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝ 1，椭圆的焦点在y轴上，得焦点坐标为（0，1），（0，－1），选项A正 确.椭圆＋＝1与＋＝1的焦点相同，都是（1，0），（－1，0）， 选项B正确.由椭圆方程＋＝1，得a2＝9，b2＝3，所以椭圆上的点P到 两焦点的距离之和为2a＝6，选项C正确.方程2 025x2＋2 026y2＝1，即 ＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆，选项D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 6. 〔多选〕（2026·周口月考）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在椭 圆C上，且△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的方程可能为（　　） A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 √ √ √ 解析： 　因为△F1MF2是等边三角形，所以｜MF1｜＝｜MF2｜，所以 点M在坐标轴上，∠MF1F2＝60°，所以＝sin 60°，则＝，椭圆C的焦 点可以在x轴或y轴上，则＋＝1，＋＝1，＋＝1满足条件.故选 A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 7. 已知椭圆的标准方程为＋＝1（m＞0），并且焦距为6，则实数m的 值为 ⁠. 解析：∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2 ＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4. 当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋ c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝.综上可知，实数m的值为4或 . 4或　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 8. 已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的 中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是 ⁠. 解析：设椭圆的另一个焦点为E，则｜MF｜＋｜ME｜＝10，又∵｜MF｜ ＝2，∴｜ME｜＝8，又ON为△MEF的中位线，∴｜ON｜＝｜ME｜＝4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 9. 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则｜ MF1｜·｜MF2｜的最大值为 ⁠. 解析：由椭圆C：＋＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝2×3＝6，则｜ MF1｜·｜MF2｜≤（）2＝32＝9，当且仅当｜MF1｜＝｜ MF2｜＝3时，等号成立. 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 10. 〔一题多解〕求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）过点Q（2，1），且与椭圆＋＝1有公共的焦点； 解： 法一 设所求椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）， 由＋＝1，得c2＝5，即a2－b2＝5.　① 又点Q（2，1）在所求椭圆上，所以＋＝1.　② 由①②得a2＝＋5，b2＝， 所以所求椭圆的标准方程是＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 法二 设所求椭圆的方程为＋＝1（λ＞－4）. 因为点Q（2，1）在所求椭圆上， 所以＋＝1，解得λ＝－4＋， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）焦点在坐标轴上，且经过两点P，Q. 解： 法一 当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1 （a＞b＞0）. 依题意有得 由a＞b＞0知，不符合题意，故舍去. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. 依题意有得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）. 依题意有解得 所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，其标准方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 11. 设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是圆A：（x＋4）2＋y2＝1和圆 B：（x－4）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值、最大值分别 为（　　） A. 9，12 B. 8，11 C. 8，12 D. 10，12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为 椭圆的两个焦点.由椭圆的定义知｜PA｜＋｜PB｜＝2a ＝10，连接PA，PB，分别与圆相交于M，N两点，此 时｜PM｜＋｜PN｜最小，最小值为｜PA｜＋｜PB｜－2r＝8.延长PA，PB，分别与圆相交于M'，N'两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最大，最大值为｜PA｜＋｜PB｜＋2r＝12.即最小值和最大值分别为8，12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 12. 〔多选〕已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P为椭圆 C上异于椭圆C与x轴两个交点的动点，则下列结论正确的是（　　） A. △PF1F2的周长为10 B. △PF1F2面积的最大值为2 C. 当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为 D. 存在点P使得·＝0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　由椭圆C：＋＝1的方程可得a＝3，b＝，c＝2，△PF1F2 的周长为2a＋2c＝10，故A正确；当点P位于y轴与椭圆C的交点时， △PF1F2的面积最大，最大值为×2c×b＝2，故B正确；当∠F1PF2＝ 60°时，由余弦定理可得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜PF1｜·｜PF2｜＝16，所 以（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－3｜PF1｜·｜PF2｜＝16，所以（2a）2－3｜ PF1｜·｜PF2｜＝16，可得｜PF1｜·｜PF2｜＝，所以△PF1F2的面积为 ｜PF1｜·｜PF2｜sin 60°＝，故C错误；设P（x0，y0），则＋＝1，由·＝0可得＋＝4，从而可得＝－，＝，不成立，故D错误，故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 13. 已知椭圆C：＋＝1（m＞4）的右焦点为F，点A（－2，2）为椭 圆C内一点.若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则实数m的 取值范围是 ⁠. 解析：由题知椭圆C的右焦点为F（2，0），设左焦点为F'（－2，0），由 椭圆的定义可得2＝｜PF｜＋｜PF'｜，即｜PF'｜＝2－｜PF｜，可 得｜PA｜－｜PF'｜＝8－2.由｜｜PA｜－｜PF'｜｜≤｜AF'｜＝2，可 得－2≤8－2≤2，解得3≤≤5，所以9≤m≤25.又因为点A在椭圆C 内，所以＋＜1，所以8m－16＜m（m－4），解得m＜6－2或m＞6 ＋2.综上，实数m的取值范围是（6＋2，25]. （6＋2，25]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 14. 已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在椭圆E上，∠F1PF2＝2θ. （1）求△F1PF2的面积S； 解： 如图所示，由椭圆的定义，可得｜PF1｜＋｜ PF2｜＝2a. 由余弦定理，可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2· ｜PF1｜·｜PF2｜·cos 2θ＝（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－2· ｜PF1｜·｜PF2｜－2·｜PF1｜·｜PF2｜·cos 2θ＝4a2－ 2｜PF1｜·｜PF2｜·（1＋cos 2θ）＝4c2， ∴｜PF1｜·｜PF2｜＝. ∴S＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin 2θ＝··sin 2θ＝·b2＝b2·tan θ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）研究∠F1PF2的变化规律. 解： ∵2θ为△PF1F2的内角，∴2θ∈（0，π），即θ∈（0，）. 令点P由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高在逐渐增 大，故S逐渐变大，从而tan θ逐渐变大，由θ∈（0，）可知，θ也逐渐 变大.由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点P与点B重 合时，∠F1PF2达到最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 $