2025年中考数学二轮复习专题：瓜豆原理轨迹最值问题（直线型）

2025中考数学二轮专题-瓜豆原理轨迹最值问题（直线型）-专项训练 1．如图，已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，DF．若AB＝，DE＝BF，则AE+DF的最小值为 2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，D是BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转45°得AE，连接CE，则线段CE长的最小值为 3．如图，AD是等边三角形ABC的BC边上的高，点E是AD上的一个动点（点E不与点A重合），连接CE．将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到EF，连接DF、CF，若AB＝6，则线段DF长度的最小值是 4．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），点B是y轴正半轴一动点，以AB为边在AB的下方作等腰直角△ABP，且∠ABP＝90°．点B在y轴上运动时，OP的最小值为 　 　． 5．如图，∠AOB＝60°，点C，D在射线OA上，且OC＝4，CD＝2，P是射线OB上的动点，Q是线段DP的中点，则线段CQ长的最小值为　 　． 6．如图，∠AOB＝60°，点C，D在射线OA上，且OC＝2CD＝4，P是射线OB上的动点，Q是线段DP的中点，则线段CQ长的最小值为 　 　． 7．如图，已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，DF．若，DE＝BF，则AE+DF的最小值为 　 　． 8．如图，AD是等边△ABC的BC边上的高，点E是AD上的一个动点（点E不与点A重合），连接CE，以CE为边构造等边△CEF．若AB＝6，则线段DF+CF长度的最小值是 　 　． 9．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝8，E、F分别为AD、BC上两个动点，且∠EFC＝60°，连接AF，CE，当AF+EF+CE最小时，BF的长为 　 　． 10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　 　． 11．如图，腰长为8的等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转45°，得到线段AE，连接CE，则线段CE长的最小值是 　 　． 12．如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段FE，连接AF，若AB＝4，，则CF的长为 　 　． 13．如图，边长为12的等边三角形ABC中，E是高AD上的一个动点，连结CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到CF，连结DF．则在点E运动过程中，线段DF长度的最小值是 　 　． 14．如图，边长为2的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 　 　． 15．如图，边长为6的等边三角形ABC中，AD⊥BC，E是AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接EF，则△CEF面积的最大值与最小值之比为　 　． 16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E为AD所在直线上的一个动点．连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转120°后得到对应的线段CF，连接DF，则线段DF的最小值为　 　． 17．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D在边AB上，AD＝2，点E是BC上一点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转60°得DF，连接CF，则CF的最小值是　 　． 18．如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为 　 　． 19．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，OP的最小值为 　 　． 三．解答题（共5小题） 20．同学们准备研究“最值问题”，回顾已有知识，发现涉及到“最值”的有“两点之间，线段最短”“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，同学们进行了如下探究： （1）最值初体验 如图1，∠AOC＝60°，D是∠AOC角平分线上一点，点E在OC上，EO＝ED＝2．P为射线OA上一动点，连接DP，则线段DP的最小值为 　 　； （2）探究与迁移 如图2，小明发现如果△ABC是边长为4的等边三角形，点O是AC边上的中点，P是BC边上的一个动点（点P不与B，C重合），连接AP，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接OP′，此时线段OP′的长度有一个最小值，请你画出图形并帮助小明同学求出此最小值； （3）拓展与应用 如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5．点P是射线AC上的一个动点，连接PB，将线段PB绕点B逆时针旋转60°得到BP′，连接CP′，请直接写出线段CP′的最小值． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA＝4，OC＝3．点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE，当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是多少？ 22．问题提出 （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M为△ABC内一点，将线段AM绕点A按逆时针方向旋转∠BAC的度数得到AN，连接NC，BM，则∠NCA与∠MBA的数量关系为 　 　，MB与CN的数量关系为 　 　． 问题解决 （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝75°，AB＝AC＝8，过B点的射线BD交AC边于点D，且∠ABD＝45°，M为射线BD上一动点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转75°，得到AN，连接NC，当△ANC为直角三角形时，求BM的长． 拓展探究 （3）如图3，矩形ABCD中，CD＝2，∠DAC＝30°，E为直线AC上一动点．将DE绕D逆时针旋转90°，得到DF，连接BF，则BF的最小值为 　 　．（直接写出结果） 23．如图，∠AOB＝60°，点C、D分别在射线OA、OB上，且满足OC＝4．将线段DC绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE．过点E作OC的平行线，交OB反向延长线于点F． （1）根据题意完成作图； （2）猜想DF的长并证明； （3）若点M在射线OC上，且满足OM＝3，直接写出线段ME的最小值． 24．如图，AD是等边三角形ABC的高，点E是AD上的一个动点（点E不与点A重合），连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到EF，连接BF、CF． （1）猜想：△CEF是　 　三角形； （2）求证：AE＝BF； （3）若AB＝4，连接DF，在点E运动的过程中，请直接写出DF的最小值　 　． 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 1．如图，已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，DF．若AB＝，DE＝BF，则AE+DF的最小值为（　　） A．4 B．5 C．4 D．4 【解答】解：如图，延长DC到P使CD＝CP，连接AP，交BC于F， 在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴AE＝AF， ∵∠BCD＝90°，CD＝CP， ∴DF＝PF， ∴AE+DF＝AF+PF＝AP， ∵点A、F、P在一条直线上， ∴AP的长为AE+DF的最小值， ∵AB＝， ∴AD＝CD＝，DP＝2AC＝2， ∴AP＝＝5，即AE+DF的最小值为5， 故选：B． 2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，D是BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转45°得AE，连接CE，则线段CE长的最小值为（　　） A． B． C．﹣1 D．2﹣ 【解答】解：如图，在AB上截取AF＝AC＝2， ∵旋转 ∴AD＝AE ∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90° ∴AB＝2，∠B＝∠BAC＝45°， ∴BF＝2﹣2 ∵∠DAE＝45°＝∠BAC ∴∠DAF＝∠CAE，且AD＝AE，AC＝AF ∴△ACE≌△AFD（SAS） ∴CE＝DF， 当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小， ∴DF最小值为＝2﹣ 故选：D． 3．如图，AD是等边三角形ABC的BC边上的高，点E是AD上的一个动点（点E不与点A重合），连接CE．将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到EF，连接DF、CF，若AB＝6，则线段DF长度的最小值是（　　） A．3 B． C．1.5 D．1 【解答】解：如图，连接BF， ∵AD是等边三角形ABC的BC边上的高，AB＝6， ∴BD＝CD＝3，∠CAD＝∠BAD＝30°， ∵将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到EF， ∴CE＝EF，∠CEF＝60°， ∴△EFC是等边三角形， ∴CE＝CF，∠ECF＝60°＝∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCF， 在△ACE和△BCF中， ， ∴△ACE≌△BCF（SAS）， ∴∠CBF＝∠CAE＝30°， ∴点F在射线BF上运动， 当DF⊥BF时，DF有最小值， 此时，∵DF⊥BF，∠CBF＝30°， ∴DF＝BD＝1.5， ∴线段DF长度的最小值是1.5， 故选：C． 二．填空题（共16小题） 4．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），点B是y轴正半轴一动点，以AB为边在AB的下方作等腰直角△ABP，且∠ABP＝90°．点B在y轴上运动时，OP的最小值为 　2　． 【解答】解：过P作PC⊥y轴于C，如图： ∵∠ABP＝90°， ∴∠ABC+∠PBC＝90°， 又∵∠PBC+∠BPC＝90°， ∴∠ABC＝∠BPC， 又∵AP＝BP， ∴△AOB≌△BCP（AAS）， ∴PC＝OB，BC＝OA＝4， 设OB＝PC＝x， 由勾股定理得： OP2＝x2+（4﹣x）2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8， ∴当x＝2时，OP最小，OP＝2． 故答案为：2． 5．如图，∠AOB＝60°，点C，D在射线OA上，且OC＝4，CD＝2，P是射线OB上的动点，Q是线段DP的中点，则线段CQ长的最小值为　　． 【解答】解：如图所示，取OD的中点E，连接EQ， 又∵Q是DP的中点， ∴EQ是△DOP的中位线， ∴EQ∥OP， ∴∠CEQ＝∠AOB＝60°，即点Q在过点E且平行于OB的直线上运动， 如图，当∠CQE＝90°时，CQ⊥EQ，依据垂线段最短可知，此时CQ最短， ∵OC＝4，CD＝2，E是OD的中点， ∴CE＝OC﹣OE＝4﹣OD＝4﹣3＝1， ∴Rt△CEQ中，CQ＝CE×sin∠CEQ＝1×＝， 故答案为：． 6．如图，∠AOB＝60°，点C，D在射线OA上，且OC＝2CD＝4，P是射线OB上的动点，Q是线段DP的中点，则线段CQ长的最小值为 　　． 【解答】解：取OD的中点E，连接EQ， ∵Q是DP的中点， ∴EQ是△DOP的中位线， ∴EQ∥OP， ∴∠CEQ＝∠AOB＝60°， 即点Q在过点E且平行于OB的直线上运动， 当∠CQE＝90°时，CQ⊥EQ， 由垂线段最短可知，此时CQ最短， ∵OC＝2CD＝4， ∴CD＝2， ∴OD＝OC+CD＝6， ∵E是OD的中点， ∴OE＝OD＝3， ∴CE＝OC﹣OE＝4﹣3＝， 在Rt△CEQ中，∠ECQ＝90°﹣∠CEQ＝90°﹣60°＝30°， ∴EQ＝CE＝， ∴CQ＝＝＝， 即线段CQ长的最小值为， 故答案为：． 7．如图，已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，DF．若，DE＝BF，则AE+DF的最小值为 　5　． 【解答】解：如图，延长DC到P使CD＝CP，连接AP，交BC于F， 在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴AE＝AF， ∵∠BCD＝90°，CD＝CP， ∴DF＝PF， ∴AE+DF＝AF+PF＝AP， ∵点A、F、P在一条直线上， ∴AP的长为AE+DF的最小值， ∵AB＝， ∴AD＝CD＝，DP＝2DC＝2， ∴AP＝，即AE+DF的最小值为5． 故答案为：5． 8．如图，AD是等边△ABC的BC边上的高，点E是AD上的一个动点（点E不与点A重合），连接CE，以CE为边构造等边△CEF．若AB＝6，则线段DF+CF长度的最小值是 　　． 【解答】解：如图，连接BF， ∵AD是等边三角形ABC的BC边上的高，AB＝6， ∴BD＝CD＝3，∠CAD＝∠BAD＝30°， ∵△CEF是等边三角形， ∴CE＝CF，∠ECF＝60°＝∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCF， 在△ACE和△BCF中， ， ∴△ACE≌△BCF（SAS）， ∴∠CBF＝∠CAE＝30°， ∴点F在射线BF上运动， 作点C关于直线BF的对称点C'，连接C'F，C'D，C'B， 则C'F＝CF，△BCC'是等边三角形，且C'D是边BC上的高，C'D＝， ∵DF+CF＝DF+C'F≥C'D， ∴DF+CF长度的最小值是C'D的长， ∴线段DF长度的最小值是， 故答案为：． 9．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝8，E、F分别为AD、BC上两个动点，且∠EFC＝60°，连接AF，CE，当AF+EF+CE最小时，BF的长为 　3　． 【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H，则四边形ABHE是矩形， ∴EH＝AB＝2， ∵∠EHF＝90°，∠EFH＝60°， ∴∠FEH＝30°， ∴EF＝2FH， ∴FH＝2，EF＝4， 设BF＝x，则CH＝8﹣x﹣2＝6﹣x， ∴AF+EC＝+， 欲求AF+EC的最小值，相当于在x轴上 寻找一点P（x，0），使得P到M（0，2），N（6，2）的距离和最小（如图1中）， 作点M关于x轴的对称点F，连接FN， ∵F（0，﹣2），N（6，2）， ∴直线FN的解析式为y＝x﹣2， 令y＝0，可得x＝3， ∴x＝3时，PM+PN的值最小，此时BF＝3， 故答案为：3． 10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　． 【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动 将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG 从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上 作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值 作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形， 则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝ 故答案为． 11．如图，腰长为8的等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转45°，得到线段AE，连接CE，则线段CE长的最小值是 　　． 【解答】解：∵腰长为8的等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝45°， 如图，在AB上截取AH＝AC，连接HD， ∵线段AD绕点A逆时针旋转45°，得到线段AE， ∴AD＝AE， ∵∠DAE＝BAC＝45°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC即∠HAD＝∠CAE， 在△HAD与△CAE中， ， ∴△HAD≌△CAE（SAS）， ∴HD＝CE， ∴当HD⊥BC时，HD有最小值，即CE有最小值， ∵AC＝BC＝AH＝8，∠ACB＝90°， ∴，∠ABC＝∠BAC＝45°， ∴， ∵DH⊥BC， ∴∠BHD＝∠DBH＝45°， ∴， 故答案为：． 12．如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段FE，连接AF，若AB＝4，，则CF的长为 　　． 【解答】解：∵将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段FE， ∴CE＝FE，∠CEF＝60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴∠ECF＝60°，CE＝CF， ∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，AB＝4， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝4，∠ADB＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，， ∴，∠ACE+∠ECB＝∠ACB＝60°，∠BCF+∠ECB＝∠ECF＝60°， ∴∠ACE＝∠BCF， 在△ACE和△BCF中， ， ∴△ACE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF，∠CAE＝∠CBF＝30°， ∴∠ABF＝∠ABC+∠CAE＝60°+30°＝90°， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在Rt△CDE中，CD＝2， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，边长为12的等边三角形ABC中，E是高AD上的一个动点，连结CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到CF，连结DF．则在点E运动过程中，线段DF长度的最小值是 　3　． 【解答】解：CD绕C点逆时针旋转60°得到CM，连接BM， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠BCM＝60°， ∵AC＝BC， ∴△ACD≌△BCM（SAS）， ∴BM＝AD，∠ADC＝90°， 当DF⊥BM时，DF有最小值， ∵D是BC的中点， ∴DF＝CM， ∵BC＝12， ∴DF＝3， ∴线段DF长度的最小值为3， 故答案为：3． 14．如图，边长为2的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 　　． 【解答】解：取AC的中点G，则CG＝CD， ∵将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF， ∴CE＝CF，∠ECF＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠DCE＝∠ACF， ∴△CDE≌△CGF（SAS）， ∴∠FGC＝∠EDC＝90°， ∴点F在直线BG上运动， 过点D作DH⊥BG，此时DF的最小值即为DH， ∵BD＝BC＝1， ∴DH＝， 故答案为：． 15．如图，边长为6的等边三角形ABC中，AD⊥BC，E是AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接EF，则△CEF面积的最大值与最小值之比为　4：1　． 【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC， ∴∠CAD＝30°， ∴AC＝2CD． ∵E是AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接EF， ∴点E与A重合时，△CEF面积最大；点E与D重合时，△CEF面积最小． ∵CE＝CF，∠ECF＝60°， ∴△CEF是等边三角形， 而所有的等边三角形都相似， ∴△CEF面积的最大值与最小值之比＝（AC：CD）2＝4：1． 故答案为4：1． 16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E为AD所在直线上的一个动点．连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转120°后得到对应的线段CF，连接DF，则线段DF的最小值为　3　． 【解答】解：连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H， 菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠BCD＝120°． ∵∠ECF＝120°， ∴∠1＝∠2． 由旋转可得：EC＝FC， 在△BEC和△DFC中， ， ∴△DCF≌△BCE（SAS）， ∴DF＝BE， 即求DF的最小值转化为求BE的最小值． ∵在Rt△AHB中，∠BAH＝60°，AB＝2， ∴BH＝2×sin60°＝3， 当E与H重合时，BE最小值是3， ∴DF的最小值是3． 故答案为：3． 17．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D在边AB上，AD＝2，点E是BC上一点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转60°得DF，连接CF，则CF的最小值是　　． 【解答】解：如图，把△CDB绕点D逆时针旋转60°，得到△C′DB′， ∵∠B＝∠BDB′＝60°， ∴B′在BC上，BB′＝BD＝4． ∵∠C′B′D＝60°， ∴∠CB′C′＝60°， ∴B′C′∥AB， 过点C作CF′⊥B′C′时，此时的CF′就是CF最小值的情况． ∵B'C＝BC﹣BB'＝2， ∴CF'＝B'C×cos∠CB'C'＝2×＝ ∴CF最小值为． 故答案为： 18．如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为 　3　． 【解答】解：连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H， 菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠BCD＝120°． ∵∠ECF＝120°， ∴∠BCD＝∠ECF， ∴∠BCE＝∠DCF 由旋转可得：EC＝FC， 在△BEC和△DFC中， ， ∴△DCF≌△BCE（SAS）， ∴DF＝BE， 即求DF的最小值转化为求BE的最小值． ∵在Rt△AHB中，∠BAH＝60°，AB＝2， ∴BH＝2×sin60°＝3， 当E与H重合时，BE最小值是3， ∴DF的最小值是3． 故答案为：3． 19．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，OP的最小值为 　　． 【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F， ∴∠AED＝60°， ∴AO＝OE＝3， ∴OE＝， ∵△ADE和△ABP是等边三角形， ∴AB＝AP，AD＝AE，∠BAP＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠PAE， 在△ADB和△AEP中， ， ∴△AEP≌△ADB（SAS）， ∴∠AEP＝∠ADB＝120°， ∴∠OEF＝60°， ∴OF＝OE＝3，∠OFE＝30°， ∴点P在直线EF上运动， 当OP⊥EF时，OP最小， ∴OP＝OF＝， 则OP的最小值为， 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 20．同学们准备研究“最值问题”，回顾已有知识，发现涉及到“最值”的有“两点之间，线段最短”“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，同学们进行了如下探究： （1）最值初体验 如图1，∠AOC＝60°，D是∠AOC角平分线上一点，点E在OC上，EO＝ED＝2．P为射线OA上一动点，连接DP，则线段DP的最小值为 　　； （2）探究与迁移 如图2，小明发现如果△ABC是边长为4的等边三角形，点O是AC边上的中点，P是BC边上的一个动点（点P不与B，C重合），连接AP，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接OP′，此时线段OP′的长度有一个最小值，请你画出图形并帮助小明同学求出此最小值； （3）拓展与应用 如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5．点P是射线AC上的一个动点，连接PB，将线段PB绕点B逆时针旋转60°得到BP′，连接CP′，请直接写出线段CP′的最小值． 【解答】解：（1）如图1，过点D作DF⊥OA于F，EH⊥OD于H， ∵∠AOC＝60°，OB平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD＝30°， 又∵EO＝ED＝2．EH⊥OD， ∴OH＝HD，HE＝OE＝1，OH＝HE＝， ∴OD＝2OH＝2， ∵∠AOD＝30°，DF⊥OA， ∴DF＝OD＝， 故答案为：； （2）如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝4，∠ABC＝∠BAC＝60°， ∵点O是AC边上的中点， ∴CO＝2， ∵将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′， ∴∠ACP'＝60°， ∴当P'O⊥AB时，OP'有最小值， 此时，OP'⊥CA，∠ACP'＝60°， ∴∠COP'＝30°， ∴CP'＝1，OP'＝CP'＝； （3）取AB的中点H，连接PH，CH， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5， ∴AB＝2BC，∠ABC＝60°， ∵点H是AB的中点， ∴AB＝2BH＝2AH， ∴BH＝BC，AH＝BH＝， ∵将线段PB绕点B逆时针旋转60°得到BP′， ∴BP＝BP'，∠PBP'＝60°＝∠ABC， ∴∠P'BC＝∠PBH， ∴△BCP'≌△BHP（SAS）， ∴CP'＝PH， ∴当PH有最小值时，CP'有最小值， 当PH⊥AC时，PH有最小值为AH＝， ∴CP′的最小值为． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA＝4，OC＝3．点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE，当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是多少？ 【解答】解：如图所示：过点D作DG⊥OA，过点E作HE⊥DG． ∵DG⊥OA，HE⊥DG， ∴∠EHD＝∠DGA＝90°． ∴∠GDA+∠DAG＝90°． ∵四边形ADEF为正方形， ∴DE＝AD，∠HDE+∠GDA＝90°． ∴∠HDE＝∠GAD． 在△HED和△GDA中， ∴△HED≌△GDA． ∴HE＝DG＝3，HD＝AG． 设D（a，3），则DC＝a，DH＝AG＝4﹣a． ∴E（a+3，7﹣a）． ∴OE＝＝． 当a＝2时，OE有最小值，最小值为5． 22．问题提出 （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M为△ABC内一点，将线段AM绕点A按逆时针方向旋转∠BAC的度数得到AN，连接NC，BM，则∠NCA与∠MBA的数量关系为 　∠NCA＝∠MBA　，MB与CN的数量关系为 　MB＝CN　． 问题解决 （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝75°，AB＝AC＝8，过B点的射线BD交AC边于点D，且∠ABD＝45°，M为射线BD上一动点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转75°，得到AN，连接NC，当△ANC为直角三角形时，求BM的长． 拓展探究 （3）如图3，矩形ABCD中，CD＝2，∠DAC＝30°，E为直线AC上一动点．将DE绕D逆时针旋转90°，得到DF，连接BF，则BF的最小值为 　+2　．（直接写出结果） 【解答】解：（1）由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM， ∴∠BAC﹣∠CAM＝∠NAM﹣∠CAM， 即：∠MAB＝∠NAC， ∵AB＝AC， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴MB＝CN，∠NCA＝∠MBA， 故答案为：∠NCA＝∠MBA，MB＝CN； （2）由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM， ∴∠BAC﹣∠CAM＝∠NAM﹣∠CAM， 即：∠MAB＝∠NAC， ∵AB＝AC， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠AMB＝∠ANC， ①当△ANC为直角三角形，∠ANC＝90°时， ∴∠AMB＝∠ANC＝90°， ∵∠ABD＝45°， ∴△ABM为等腰直角三角形， ∵AB＝AC＝8， ∴BM＝AB＝4； ②当△ANC为直角三角形，∠CAN＝90°时， ∴∠BAM＝∠CAN＝90°， ∵∠ABD＝45°， ∴△ABM为等腰直角三角形， ∵AB＝AC＝8， ∴BM＝AB＝8； 综上，BM的长为4或8； （3）如图，作DM⊥AC于M，FH⊥AC于H．DN⊥FH于N， ∴四边形DMHN是矩形， ∴∠DME＝∠DEF＝∠MDN＝90°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠MDE＝∠NDF， ∵DE＝DF， ∴△MDE≌△NDF（AAS）， ∴DM＝DN， ∴点F在直线l上运动，四边形DMHN是正方形， 根据垂线段最短可知，当BF⊥直线l时，BF的值最短， 矩形ABCD中，CD＝2，∠DAC＝30°， ∴∠DCA＝60°，AD＝2，AC＝4，∠BAC＝60°， ∵DM⊥AC， ∴∠CDM＝30°， ∴CM＝1，DM＝， ∴MH＝DM＝，AM＝3， ∴AH＝3+， 作BP⊥AC于P，BG⊥直线l于G， ∴四边形BPHG是矩形， ∴BG＝PH， ∵∠BAC＝60°，AB＝CD＝2， ∴∠ABP＝30°， ∴AP＝1， ∴BG＝PH＝AH﹣AP＝3+﹣1＝+2． 即BF的最小值为+2． 故答案为：+2． 23．如图，∠AOB＝60°，点C、D分别在射线OA、OB上，且满足OC＝4．将线段DC绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE．过点E作OC的平行线，交OB反向延长线于点F． （1）根据题意完成作图； （2）猜想DF的长并证明； （3）若点M在射线OC上，且满足OM＝3，直接写出线段ME的最小值． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）连接CE，OE，在射线OP上截取OP，使得OP＝OC，连接CP． ∵OC＝OP，∠COP＝60°， ∴△COP时等边三角形， ∵DC＝DE，∠CDE＝60°， ∴△CDE是等边三角形， ∴∠PCO＝∠DCE＝60°，CP＝CO，CD＝CE， ∴∠PCD＝∠OCE， 在△PCD和△OCE中， ， ∴△PCD≌△OCE（SAS）， ∴∠CPD＝∠COE＝60°，PD＝OE， ∵EF∥OC， ∴∠EFO＝∠COP＝60°， ∵∠EOF＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴△EOF是等边三角形， ∴OF＝OE＝PD， ∴DF＝OP＝OC＝4； （3）过点M作MH⊥OE于点H． 由（2）可知，∠EOF＝60°， ∴点E在射线OE上运动， ∴当线段ME与MH重合时，ME的值最小， 在Rt△OMH中，∠OMH＝30°， ∴OH＝OM＝， ∴MH＝＝＝． 24．如图，AD是等边三角形ABC的高，点E是AD上的一个动点（点E不与点A重合），连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到EF，连接BF、CF． （1）猜想：△CEF是　等边　三角形； （2）求证：AE＝BF； （3）若AB＝4，连接DF，在点E运动的过程中，请直接写出DF的最小值　1　． 【解答】（1）解：结论：△CEF是等边三角形． 理由：∵CE＝EF，∠CEF＝60°， ∴△CEF是等边三角形， 故答案为：等边． （2）证明：∵△ABC，△CEF都是等边三角形， ∴CA＝CB，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°， ∴∠ACE＝∠BCF， ∴△ACE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF． （3）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝BC＝4， ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°，BD＝CD＝2， ∵△ACE≌△BCF， ∴∠CAE＝∠CBF＝30°， ∴点F使得运动轨迹是射线BF（与BC的夹角为30°）， ∴当DF⊥BF时，DF的值直线，最小值＝BD•sin30°＝2×＝1， 故答案为：1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意， 学科网（北京）股份有限公司 $$