精品解析：浙江省宁波市江北区宁波大学青藤书院2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题

培优卷 一、选择题（每小题4分，共24分．1-5每题给出的四个选项中，只有一项是正确的．） 1. 已知不等式恒成立，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分类讨论、去绝对值和求一次函数的最小值，将原式变为，①当时，则，令，且，在时求得最小值即可；②当时，则，令，且，在时求得其最小值即可，结合上述求得公共最小值即可． 【详解】解：将原式变为， ①当时，则， 令， ∵， ∴在时有最小值，且为， 则； ②当时，则， 令， ∵， ∴在时有最小值，且为， 则； 综上所述，， 故选：C． 2. 有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（ ） A. 10元 B. 9元 C. 8元 D. 6元 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元，则，再解方程组即可得到答案． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元， 由题意得， 得：， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴， ∴黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款6元， 故选：D． 3. 若实数x，y，z之满足等式：，则值（ ） A. 等于3 B. 等于6 C. 等于8 D. 不确定，与x，y，z有关 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，因式分解的应用，先利用完全平方公式把所给条件式因式分解为，再利用非负数的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，在中，D，E是内的两点，且，若，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和与角平分线，设，则，即，判定点E为三条角平分线的交点，且和，则． 【详解】解：设， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴点E为三条角平分线的交点， ∴． 故选：B． 5. 在中，三边长分别为，，，若三条中线的和、高的和、角平分线的和分别为，记，给出以下三个结论：①，②，③，其中，正确结论的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的三边关系即可判断①③，利用举反例可判断②． 【详解】解：如图，、、是的中线， ∵，，，，，， ∴ 即 ∴即，故①正确； 如图，如图，、、是的高，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， 如图，在上取一点使得， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得即 ∴，， ∵，， ∴ ∴ ， ∴，故②错误， ∵，，，，，， ∴ 即 ∴即，故①正确； 如图，、、是的角平分线， ∵，，，，，， ∴ 即 ∴即，故③正确； ∴正确的个数为2个， 故选；B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及三角形内的特殊线段，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键， 6. （多选题）关于平行四边形的判断，以下四个结论中正确的是（ ） A. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 B. 一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 D. 一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，利用平行四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项． 【详解】A.一组对边平行，一组对角相等的四边形，可以利用平行线的性质证明另一组对角也相等，可以判定是平行四边形，正确； B.一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形，只能得到“边边角”对应相等，不能证明全等得到平分另一组对角线，不能证明平行四边形，错误； C.一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线四边形，可以结合平行线得到角相等进而证明三角形全等，可以得到对角线互相平分，能判定是平行四边形，正确； D.一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形，不能证明三角形全等，也就不能证明是平行四边形，错误； 故选：AC． 二、填空题（每小题4分，共24分） 7. 若x，y满足等式：，且，则的值等于__________． 【答案】18 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用换元法变形后，即可求出解即可． 【详解】设，， 则可变形为， 两个方程相减得，即， 把代入得， 解得， ∴， 故答案为：18． 8. 已知不等式恒成立，则实数m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数的性质和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意求得x的取值范围，再结合已知不等式确定其随x的增大而增大即可求得其最小值，m小于其最小值即可． 【详解】解：由题意知，解得，则， ∵在是随x的增大而增大的， ∴的最小值为， 故答案为：． 9. 已知实数x满足：，若函数的最大值为m，最小值为n，则的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式和去绝对值、一次函数的性质，解题的关键是分类讨论思想的应用，先解得不等式的解，再结合不等式求得各自的最大值和最小值，即可求得答案． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号合并同类项得，，解得， 当，，此时最大值为，最小值为， 当，， 则函数的最大值为，最小值为，， 故答案为：． 10. 若多项式是某一个关于x的二次三项式的完全平方，则这个二次三项式为__________． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，令，把展开后根据次数相等的项系数相等解出m，n的值即可． 【详解】解：令 ， ∴，， 解得：，， ∴这个二次三项式为或． 故答案为：或． 11. 已知正整数a，b，c满足：，则的值等于__________． 【答案】10或14 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，把平方后，根据正整数a，b，c求解即可． 【详解】∵， ∴， 整理得， ∵正整数a，b，c， ∴， ∴或或或， ∴或， 故答案为：10或14． 12. 已知正方形，为对角线，在边的延长线上取一点E，以为边在正方形的同侧作正方形，为对角线，的延长线与交于点H，若，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质和勾股定理，以及相似三角形的判定和性质，根据题意证得，有，可得，，结合正方形的性质得，利用，求得和，在中，利用求得，即可求得． 详解】解：如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴，即，解得， ∴， 在中，，则，解得，(负值舍去) ∴， 故答案为：8． 三、解答题（13-14题各12分，15题14分，共38分） 13. 已知实数a满足：， （1）求的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式利用和二次根式的化简， 利用完全平方公式求得其值，再开方即可； 根据已知求得，进一步求得a的值，迭代化简并求得其值，即可结合分母有理化即可求得的值． 【小问1详解】 解：， 则； 【小问2详解】 解：∵， ∴，则， ∴ ， ∵， ∴（负值舍去）， 则， 那么， =11． 14. 设a，b都是正整数，且满足， （1）若a是质数，b是奇数，求的值； （2）若a是偶数，b是奇数，求的值， 【答案】（1）21 （2）21或27 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，求一个数的算术平方根： （1）根据题意可得也是奇数，则是偶数，再由a是质数，得到，进而得到，则，据此求解即可； （2）设（m、n都为正整数），则可推出，再由得到，再讨论n的值，进而确定m的值即可． 【小问1详解】 解：∵b是奇数， ∴也是奇数， ∵， ∴是偶数， 又∵a是质数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设（m、n都为正整数）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，或（舍去），符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 当时，，此时方程无正整数解，不符合题意； 综上所述，或， ∴或， ∴或． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个正实数根，，且． （1）求k关于n的表达式； （2）若n为正整数，求k的取值范围． 【答案】（1） （2），且（n为正整数） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程： （1）根据根与系数的关系得到 ，，再由得到，，则，据此可得答案； （2）根据，结合n为正整数进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个正实数根，， ∴ ，， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵n为正整数， ∴， ∴， ∴，且（n为正整数）． 四、综合实践类试题（14分） 16. 已知P是等腰的斜边所在直线上的一动点，以为直角边作等腰，且，探究并解决以下问题： （1）若动点P在线段上，且，求，并猜想三者之间的数量关系；（可利用图①） （2）若动点P在线段的延长线上，问（1）中的“数量关系”是否仍然成立？为什么？请说明理由：（可利用图②） （3）若动点P满足：（），求k的值．（可利用图③） 【答案】（1），， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用； （1）在中，可求得，由可求得，过作于点，则可求得，可求得的长，在中可求得的长；把和都用和表示出来，结合中，可找到和和的关系，从而可找到，，三者之间的数量关系； （2）过作于点，由（1）中②的方法，可证得结论； （3）分点在线段上和线段的延长线上，分别利用可找到和的关系，从而可找到和的关系，在和中，利用勾股定理可分别找到、和的关系，从而结合求得的值． 【小问1详解】 是等腰直角三角形，， ， ， ， 如图1，过作于点，则， ， 在中，， ∴, 如图1，为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在中，由勾股定理可得， ， 为等腰直角三角形，且， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 如图2，过作于点， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在中，由勾股定理可得， ， 为等腰直角三角形，且， ， ； 【小问3详解】 过点作于点， ， 点只能在线段上或在线段的延长线上， ①如图3，当点在线段上时， ， ， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得， ； ②如图4，当点在线段的延长线上时， ， ， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得， ； 综上可知的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优卷 一、选择题（每小题4分，共24分．1-5每题给出的四个选项中，只有一项是正确的．） 1. 已知不等式恒成立，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（ ） A. 10元 B. 9元 C. 8元 D. 6元 3. 若实数x，y，z之满足等式：，则的值（ ） A. 等于3 B. 等于6 C. 等于8 D. 不确定，与x，y，z有关 4. 如图，在中，D，E是内的两点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，三边长分别为，，，若三条中线的和、高的和、角平分线的和分别为，记，给出以下三个结论：①，②，③，其中，正确结论的个数为（ ） A 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 6. （多选题）关于平行四边形的判断，以下四个结论中正确的是（ ） A. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 B. 一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线四边形是平行四边形 D. 一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 二、填空题（每小题4分，共24分） 7. 若x，y满足等式：，且，则值等于__________． 8. 已知不等式恒成立，则实数m的取值范围为__________． 9. 已知实数x满足：，若函数的最大值为m，最小值为n，则的值等于__________． 10. 若多项式是某一个关于x的二次三项式的完全平方，则这个二次三项式为__________． 11. 已知正整数a，b，c满足：，则值等于__________． 12. 已知正方形，为对角线，在边的延长线上取一点E，以为边在正方形的同侧作正方形，为对角线，的延长线与交于点H，若，则__________． 三、解答题（13-14题各12分，15题14分，共38分） 13. 已知实数a满足：， （1）求的值； （2）当时，求的值． 14. 设a，b都是正整数，且满足， （1）若a是质数，b是奇数，求的值； （2）若a是偶数，b是奇数，求的值， 15. 已知关于x的一元二次方程有两个正实数根，，且． （1）求k关于n的表达式； （2）若n为正整数，求k的取值范围． 四、综合实践类试题（14分） 16. 已知P是等腰的斜边所在直线上的一动点，以为直角边作等腰，且，探究并解决以下问题： （1）若动点P在线段上，且，求，并猜想三者之间数量关系；（可利用图①） （2）若动点P在线段的延长线上，问（1）中的“数量关系”是否仍然成立？为什么？请说明理由：（可利用图②） （3）若动点P满足：（），求k的值．（可利用图③） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$