专题6.2 数列求通项的常见方法（八大题型）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精练（新高考专用）

专题6.2 数列求通项的常见方法 题型一 累加法、累乘法 题型五 待定系数法 题型二 公式法（消） 题型六 取倒法、取对数法 题型三 公式法（消） 题型七 因式分解法 题型四 “和”型和“积”型 题型八 奇偶递推关系不同 知识点1累加累乘法 1.累加法：形如且 当时. 2.累乘法：形如且 当时,.注意:不一定满足上述形式,所以需要检验. 题型一 累加法、累乘法 例1．在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 例2．已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 练习1．若数列满足，数列的前n项和为，则 练习2．数列满足，且，则等于（    ） A．148 B．149 C．152 D．299 练习3．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，……是一阶等比数列，则该数列的第10项是（   ） A． B． C． D． 练习4．在数列中，，且，则 . 知识点2公式法 形如或或 已知求的三个步骤： ①先利用求出；②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；③对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写． 题型二 公式法（消） 例3．已知数列的各项均为正数，表示数列的前n项和，且，则数列的通项公式为 . 例4．已知数列的前n项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 练习1．已知数列的前n项和为，且满足，则该数列的通项公式为 ． 练习2．（多选）数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．不可能为常数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 练习3．已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 练习4．已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 题型三 公式法（消） 例5．设是数列的前项和，且.若对满足，数列的前项和为 ． 例6．已知正项数列中且，其中为数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若是和的等比中项，求k值； (3)令，求数列前n项和. 练习1．数列的各项均为正数，已知前n项和且，求的通项公式． 练习2．已知首项为2的正项数列的前n项和为，且当时，则值为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 练习3．已知数列的前项和为，且满足． (1)求的值； (2)试猜想的通项公式，并证明． 练习4．已知数列的各项均为正数，为的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，求证：． 题型四 “和”型和“积”型 例7．（多选）已知数列的前n项和为，且满足：，则下列结论正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前100项和为 D．数列的前10项和为 例8．已知正项数列的前项积为，且满足，则 . 练习1．在等差数列中，且，，构成公比不为1的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前n项和． 练习2．已知数列的前项之积为，且．求数列和的通项公式； 练习3．已知数列的前项的积 (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求. 练习4．已知数列的前项和为，且满足，数列的前项积，求数列和的通项公式. 知识点3待定系数法 ①形如且 方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. ②形如且 方法:两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求若为常数,则为等差数列,从而求得数列的通项公式. 题型五 待定系数法 例9．（多选）已知数列的首项，前n项和为，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 例10．设数列的前项和为，若，，则 ． 练习1．已知数列中，，求的通项公式． 练习2．已知数列满足，，求数列的通项公式． 练习3．已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列中，，对任意的，都有，求数列的前n项和． 练习4．数列满足，则数列的通项公式为 . 知识点4分式及高次 ①形如整式或分式 整式：两边同时除以 分式：两边同时取倒数 ②形如 分析：这种类型一般是等式两边取对数后得：，再进行求解。 题型六 取倒法、取对数法 例11．已知数列的首项,且,则满足条件的最大整数 . 例12．已知为正项数列的前项的乘积，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：． 练习1．已知数列，，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 练习2．已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求． 练习3．在数列中，已知，且满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 练习4．已知数列满足，记，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列，若数列中的第项是数列中的第项. (1)求数列及的通项公式. (2)求数列的前项和. 题型七 因式分解法 例13．设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式是 ． 例14．已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列，求数列中前40项的和. 练习1．（多选）已知首项为1的正项数列的前项和为，且，设数列的前项和为，则（    ） A．为等比数列 B． C． D． 练习2．已知数列的各项均为正数，且满足，且，，成等比数列，则数列的前2019项和为（    ）. A． B． C． D． 练习3．已知各项均为正数的数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，试比较与9的大小，并加以证明． 练习4．已知正项数列满足，设． (1)求，； (2)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (3)的通项公式，并求其前项和为． 题型八 奇偶递推关系不同 例15．已知数列满足. ①；②是等差数列；③是等比数列；④数列前项和为. 上述语句正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例16．（多选）已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．是递增数列 C．是等比数列 D．是递增数列 练习1．已知数列满足，，则 ． 练习2．已知数列的前项和为，且满足，则 . 练习3．已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 练习4．已知数列满足， (1)记，证明：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和． 一、单选题 1．已知数列的前n项和为，且满足，（），则当时，（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的前项和为，首项，且满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知等比数列的前项和为，且，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 4．数列、满足：，，，则数列的最大项是（    ） A．第7项 B．第9项 C．第11项 D．第12项 5．已知数列的前n项和为，，，则（    ） A．20 B．19 C．18 D．17 二、多选题 6．已知各项均为正数的数列满足，（），，数列的前项和为，则下面说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．是递减数列 B．是等差数列 C． D． 三、填空题 8．设数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为 ． 9．已知数列满足，，设，则 ；的最小值为 . 10．已知数列满足，则 . 四、解答题 11．已知数列满足. (1)写出; (2)证明:数列为等比数列; 12．求下列数列的通项公式： (1)已知数列满足（），且，求数列的通项公式． (2)已知数列的前项和为，且．求数列的通项公式； 13．已知数列满足，，求. 14．已知数列的前n项之积为，且．求数列和的通项公式； 15．已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.求数列的通项公式 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 数列求通项的常见方法 题型一 累加法、累乘法 题型五 待定系数法 题型二 公式法（消） 题型六 取倒法、取对数法 题型三 公式法（消） 题型七 因式分解法 题型四 “和”型和“积”型 题型八 奇偶递推关系不同 知识点1累加累乘法 1.累加法：形如且 当时. 2.累乘法：形如且 当时,.注意:不一定满足上述形式,所以需要检验. 题型一 累加法、累乘法 例1．在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则 ， ， ， ， … ， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 故选：B. 例2．已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，，． 由累乘法，得， 即， 又，所以． 故选：C． 练习1．若数列满足，数列的前n项和为，则 【答案】/ 【详解】当时，， 而满足上式，因此，， . 故答案为： 练习2．数列满足，且，则等于（    ） A．148 B．149 C．152 D．299 【答案】B 【详解】由题意得，因为，， 所以， 所以． 故选：B． 练习3．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，……是一阶等比数列，则该数列的第10项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设数列为，且为一阶等比数列， 设，所以为等比数列，其中，，公比， ， 则，， . 故选：D. 练习4．在数列中，，且，则 . 【答案】5 【详解】 ， ， … ， 各式累加得. 故答案为：5. 知识点2公式法 形如或或 已知求的三个步骤： ①先利用求出；②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；③对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写． 题型二 公式法（消） 例3．已知数列的各项均为正数，表示数列的前n项和，且，则数列的通项公式为 . 【答案】， 【详解】∵，∴当时， 当时， 当时，上式也成立，故． 故答案为：. 例4．已知数列的前n项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，，解得 因 ①， 当时，②              ①-②得，，即， 则，即，，又 所以是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）法一、由（1）可得，即，        法二、由（1）可知，即， 又由题知： 代入可得 练习1．已知数列的前n项和为，且满足，则该数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】当时，， 当时，有， 当时，不满足上式，所以. 故答案为： 练习2．（多选）数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．不可能为常数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 【答案】AC 【详解】当时，， 当时，， 显然时，上式也成立，所以. 对A，因为， 所以是以为公差的等差数列，A正确； 对B，由上可知，当时，为常数列，B错误； 对C，若为递增数列，则公差，即，C正确； 对D，若为递增数列，由函数性质可知，解得，D错误. 故选：AC 练习3．已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2). 【详解】（1）因为，且， 当时，， 得， 整理得：， 所以为首项是，公差为的等差数列， 所以. （2）由，所以当时，，当时，； 所以当，， 当时，， 而， 所以. 练习4．已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，，， 当时，，解得，（舍去）. 当时，由得， 两式相减得， 即，由于， 所以，所以数列是首项为， 公差为的等差数列，所以（也符合）. （2）由（1）得， 所以 . 题型三 公式法（消） 例5．设是数列的前项和，且.若对满足，数列的前项和为 ． 【答案】 【详解】由题知，. 因为，所以, 两边同时除以得，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以所以， 因为， 所以数列的前项和为 . 故答案为： 例6．已知正项数列中且，其中为数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若是和的等比中项，求k值； (3)令，求数列前n项和. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在数列中，又，且， 两式相除得，， 所以数列是以2为首项，公差为2的等差数列，则， 所以， 当，，当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）得，，因为是和的等比中项， 所以，即，解得或（舍去）； （3）， 所以数列前n项和. 练习1．数列的各项均为正数，已知前n项和且，求的通项公式． 【答案】 【详解】解：由题设， 当时，，代入上式得， 化简得，结合可知： 则是以1为首项，1为公差的等差数列，即. 由， 因此时，， 特别地，当时，亦符合上述通项公式， 综上所述，. 练习2．已知首项为2的正项数列的前n项和为，且当时，则值为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】B 【详解】当时， 所以，两式相减得：， 所以，即， 由于正项数列，所以，即， 所以是首项为2，公差为的等差数列， 所以. 故选：B 练习3．已知数列的前项和为，且满足． (1)求的值； (2)试猜想的通项公式，并证明． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【详解】（1）由题知，，解得， 同理，，解得； （2）由（1）可猜想，证明如下： 已知，当时，有， 化简得，即， 则有， 又，故， 则， 当时，上式仍成立，则． 练习4．已知数列的各项均为正数，为的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，得，即； 又， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，又是正项数列，所以． 当时，， 又当时，不符合时的形式． 所以 （2）证明： ， ． 题型四 “和”型和“积”型 例7．（多选）已知数列的前n项和为，且满足：，则下列结论正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前100项和为 D．数列的前10项和为 【答案】BC 【详解】由可得，，即， 当时， 两式相减得，，化简得， 显然，当时符合题意，故. 对于A，由不是常数，故A错误； 对于B，由上分析，可知即是等比数列， 因，故B正确； 对于C，数列的前100项和为 ，故C正确； 对于D，由可得，故数列的前10项和为： ,故D错误. 故选：BC 例8．已知正项数列的前项积为，且满足，则 . 【答案】 【详解】由题意，且，所以， 又，且， 所以，则，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故， 所以. 故答案为：. 练习1．在等差数列中，且，，构成公比不为1的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 为等差数列，且， ， 构成公比不为1的等比数列， ， ， 解得或(舍). ∴. （2）因为， 当时，即， 当时， 所以， 由（1）知，， 当时也成立， 所以， 所以， ， 两式相减得， ， 所以. 练习2．已知数列的前项之积为，且．求数列和的通项公式； 【答案】， 【详解】①， ②， ①-②可得，也满足上式， ③． 数列的前项之积为当时，， 代入③可得， ． 练习3．已知数列的前项的积 (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 当时，. 当时，，满足上式， . （2） . 练习4．已知数列的前项和为，且满足，数列的前项积，求数列和的通项公式. 【答案】，. 【详解】当时，， 当时，，化简得， 因为，所以，故， 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以； 当时，， 当时，， 显然也满足上式， 所以. 知识点3待定系数法 ①形如且 方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. ②形如且 方法:两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求若为常数,则为等差数列,从而求得数列的通项公式. 题型五 待定系数法 例9．（多选）已知数列的首项，前n项和为，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 【答案】ABD 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 则，即. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：因为，所以是递增数列，故B正确； 对于选项C：因为数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 所以不是等差数列，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：ABD. 例10．设数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】1536 【详解】因为，，则， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 则. 故答案为： 练习1．已知数列中，，求的通项公式． 【答案】 【详解】化为，即， ，可得或，（所得两组数值代入上式等价）， 不妨令，， 所以是以1为首项，为公比的等比数列，则， 累加法可得：， 又符合上式，故. 练习2．已知数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】解法一：因为， 设， 所以， 则，解得， 即， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； 解法二：因为，两边同时除以得， 所以，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则，所以. 练习3．已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列中，，对任意的，都有，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，∴，∴， 又∵，故是以2为首项，2为公比的等比数列． ，则． （2）由题意可得： 对任意的，都有，所以 是以4为首项，3为公差的等差数列， 则． 故①， ②， ①-②得 ， ∴． 练习4．数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 知识点4分式及高次 ①形如整式或分式 整式：两边同时除以 分式：两边同时取倒数 ②形如 分析：这种类型一般是等式两边取对数后得：，再进行求解。 题型六 取倒法、取对数法 例11．已知数列的首项,且,则满足条件的最大整数 . 【答案】2024 【详解】因为，所以，所以， 所以数列是等比数列，首项为,公比为， 所以,即， 所以 ， 而当时，单调递增， 又因为,且， 所以满足条件的最大整数. 故答案为：2024. 例12．已知为正项数列的前项的乘积，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），， 所以，即， 两边取常用对数得， 得，所以， 所以数列为常数列，所以， 所以. （2）证明：由（1）知，所以， 则    又因为， 所以 故. 练习1．已知数列，，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，知，， 所以，又， 所以， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以，； （2）由（1）得， 所以， ， 所以 ， 所以． 练习2．已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求． 【答案】(1)证明见详解； (2). 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，得， 所以 练习3．在数列中，已知，且满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且易知， 所以，所以，所以． 因为，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以，所以． （2）因为， 所以． 练习4．已知数列满足，记，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列，若数列中的第项是数列中的第项. (1)求数列及的通项公式. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，所以，因为， 所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以.所以.由题意知.所以，即， 又，则. 所以.又，则，则. （2） ，① ，② ①-②得， . 所以. 题型七 因式分解法 例13．设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式是 ． 【答案】 【详解】由可得， 所以（舍），， 当时，， 当时，， 将代入得， 所以的通项公式是 故答案为：． 例14．已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列，求数列中前40项的和. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）由题设得：， ∵，则，故是首项，公差为2的等差数列， ∴， 当时，得：， 当，由①，②， 由①－②整理得：，， ∴，故， ∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故. （2）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项． 由，（）得：， ∴新数列中含有数列的前8项：，，……，，含有数列的前32项：，，，……，； ∴． 练习1．（多选）已知首项为1的正项数列的前项和为，且，设数列的前项和为，则（    ） A．为等比数列 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意可得，即，得或， 若，则，则，这与矛盾，所以不成立； 若，则，所以数列是首项为1，公比为9的等比数列，即，故A正确； 由，可得，两式相减得，，且时，，即，得， 那么，故故B错误； 当时，， 当时，， 当时，符合上式，故，即，故C正确； 易得时，，故D正确. 故选：ACD. 练习2．已知数列的各项均为正数，且满足，且，，成等比数列，则数列的前2019项和为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题得，，，是公差为的等差数列，又成等比数列，，解得，的通项公式为，，的前2019项和为. 故选：C 【点睛】本题考查求数列的通项公式，以及用裂项相消法求数列前n项和，难度不大，有一定的综合性。 练习3．已知各项均为正数的数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，试比较与9的大小，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）因为， 所以， 因为的各项均为正，所以，故，即， 所以是以2为公比的等比数列， 因为，又公比为2， 所以，所以. （2），证明如下： 令，则， 当时，，即在上单调递减， 所以，则，即， 设，所以， 所以， 记，则， 所以， 即，则，所以，所以. 练习4．已知正项数列满足，设． (1)求，； (2)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (3)的通项公式，并求其前项和为． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 (3)， 【详解】（1），当时，，， 可得， 则或，因为为正项数列，所以. 数列为首项为1，公比为2的等比数列， 可得； ， ，； （2）数列为等差数列，理由：， 则数列为首项为0，公差为1的等差数列； （3）， 前项和为． 题型八 奇偶递推关系不同 例15．已知数列满足. ①；②是等差数列；③是等比数列；④数列前项和为. 上述语句正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】对于①， ，故①正确； 对于②，令，由①知，， ， 所以，是公比为2的等比数列，即是公比为2的等比数列，故不是等差数列，故②错误； 对于③，令， 由①知，，所以， ， 所以是等比数列，即是等比数列，故③正确； 对于④，由②知，，， 数列前项和为数列前n项的和与数列前n项的和的和，即所求和为. 又， ， 所以，故④正确； 故选：D. 例16．（多选）已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．是递增数列 C．是等比数列 D．是递增数列 【答案】ACD 【详解】对于AB，依题意，，，A正确，B错误； 对于C，， 而，因此是以为首项，为公比的等比数列，C正确； 对于D，由选项C知，，显然数列是递增数列， 因此数列是递增数列，D正确. 故选：ACD 练习1．已知数列满足，，则 ． 【答案】 【详解】由数列满足，， 可得， 又由，所以 因为，可得， 所以. 故答案为： 练习2．已知数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以，，且， 所以， 记，则，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 记的前项和为， 则 . 故答案为： 练习3．已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以 ， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列； （2）由（2）可得，即， ， 所以， 前项和， ， 两式相减可得， 化简可得． 练习4．已知数列满足. (1)写出; (2)证明:数列为等比数列; 【答案】(1)4；8；5 (2)证明见解析 【详解】（1）由 可得；；； （2）证明：由题可得， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列； 一、单选题 1．已知数列的前n项和为，且满足，（），则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由（），得， 两式相减得（）． 又因为，，所以，可得（）， 即（）． 易知，即满足上式， 所以（）． 故选：C 2．已知数列的前项和为，首项，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 所以可得， . 故选：D 3．已知等比数列的前项和为，且，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为，所以当时，，两式相减，得， 因为数列是等比数列，所以． 由，解得，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，即，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列， 所以数列的前项和为． 故选：A． 4．数列、满足：，，，则数列的最大项是（    ） A．第7项 B．第9项 C．第11项 D．第12项 【答案】B 【详解】时，，，，，将上式累加，得，解得（对于同样成立），故， 令，即， 解得，，故，即第九项最大. 故选：B. 5．已知数列的前n项和为，，，则（    ） A．20 B．19 C．18 D．17 【答案】B 【详解】因为，所以① ， 当时，② ， ①-②得，， 所以，又，得， 所以是等差数列，公差，又， 所以，则. 故选：B 二、多选题 6．已知各项均为正数的数列满足，（），，数列的前项和为，则下面说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：，，正确； 选项B：，，而，所以，故， 所以数列为首项为3，公比为3的等比数列，故，错误； 选项C：， 所以， 设，则， 两式作差可得， 所以，所以，正确； 选项D：， 所以，正确. 故选：ACD. 7．已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．是递减数列 B．是等差数列 C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以.因为，所以. 当时，因为，所以， 所以，所以是首项为1，公差为的等差数列，故D正确； 因为，所以，故B错误； 因为（也满足）， 所以， 所以是递减数列，故A正确； 因为，即，所以C正确. 故选：ACD 三、填空题 8．设数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，所以． 当时，． 而也符合该式，故数列的通项公式为． 故答案为：. 9．已知数列满足，，设，则 ；的最小值为 . 【答案】 【详解】由，得，而，则， 因此数列是首项为，公差为2的等差数列，， ，所以当时，取得最小值. 故答案为：； 10．已知数列满足，则 . 【答案】 【详解】因为，， 则， 因为，显然， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，则. 故答案为： 四、解答题 11．已知数列满足， (1)记，证明：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）由题意可得：，且， 则， 所以数列是以首项，公比的等比数列. （2）由（1）可知：，即， 可得： ， 所以， 即，则， 可得， 则， 两式相减得：， 所以. 12．求下列数列的通项公式： (1)已知数列满足（），且，求数列的通项公式． (2)已知数列的前项和为，且．求数列的通项公式； 【答案】(1)（）． (2) 【详解】（1）因为，且，所以，所以， 所以（）即，，，， 将个式子相乘得（）， 因为，所以（）， 又当时，，所以（）． （2）由两边同时除以，可得， 所以， 故数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即. 13．已知数列满足，，求. 【答案】， 【详解】因为， 所以. 所以 . 又也符合上式， 所以，. 14．已知数列的前n项之积为，且．求数列和的通项公式； 【答案】， 【详解】∵①， ∴②， 由①②可得，由①也满足上式， ∴③， ∴④， 由③④可得， 即， ∴， ∴． 15．已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.求数列的通项公式 【答案】 【详解】∵，∴ 当时，，解得. 当时，， 即， ∵，∴， ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$