浙江省宁波市宁海县潘天寿中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷

2023-2024学年浙江省宁波市宁海县潘天寿中学九年级(上)月考数学试卷(10月份) 一.选择题(共10小题,每小题3分) 1.(3分)下列事件是必然事件的是( ) A.在学校操场上抛出的篮球会落下 B.买奖券中特等奖 C.明天会下雨 D.打开电视,正在播放动画片 2.(3分)二次函数y=2(x﹣3)2﹣1的图象的对称轴是( ) A.直线x=﹣3 B.直线x=3 C.直线x=﹣1 D.直线x=1 3.(3分)如图,点A、B、C是⊙O上的点,∠AOB=50 ,则∠ACB的度数是( ) A.25 B.30 C.35 D.70 4.(3分)已知⊙O直径为6,线段OP的长度为2,则点P与⊙O的位置关系是( ) A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.无法确定 5.(3分)若A(﹣4,y1),B(﹣3,y2),C(1,y3)为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y1<y3<y2 6.(3分)下列说法中,正确的是( ) A.平分弦的直径必垂直弦且平分弦所对的弧 B.三点确定一个圆 C.相等圆周角所对的弧相等 D.同弧所对的圆周角相等 7.(3分)在一个不透明的布袋中,红球、黑球、白球共有若干个,除颜色外,形状、大小、质地等完全相同,小新从布袋中随机摸出一球,记下颜色后放回布袋中,摇匀后再随机摸出一球,记下颜色,…如此大量摸球试验后,小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%,摸出黑球的频率稳定于50%,对此试验,他总结出下列结论:①若进行大量摸球试验,摸出白球的频率稳定于30%,②若从布袋中任意摸出一个球,该球是黑球的概率最大;③若再摸球100次,必有20次摸出的是红球.其中说法正确的是( ) A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 8.(3分)如图,AB为⊙O的直径,点C是弧BE的中点.过点C作CD⊥AB于点G,交⊙O于点D,若BE=8,BG=2,则⊙O的半径长是( ) A.5 B.6.5 C.7.5 D.8 9.(3分)一块含45 角的直角三角板和一块量角器如图摆放(三角板顶点A与量角器0刻度处重合),量角器与三角板交于点D,经测量知AD=18cm,点E为AD中点,点F为弧AD上一动点,则EF的最小值为( ) A.9 B. C. D. 10.(3分)定义:我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图,在正方形OABC中,点A(0,2),点C(2,0),则互异二次函数y=(x﹣m)2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是( ) A.4,﹣1 B.,﹣1 C.4,0 D.,﹣1 二.填空题(共6小题,每小题4分) 11.(4分)将抛物线y=﹣2x2先向右平移2个单位,再向下平移3个单位得到新的抛物线 . 12.(4分)如图,有五张背面完全相同的纸质卡片,其正面分别标有数:6,,,﹣2,.将它们背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张卡片,则其正面的数比3小的概率是 . 13.(4分)直角三角形的两直角边长分别为8和6,则此三角形的外接圆半径是 . 14.(4分)如图,五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,则∠ODC的度数是 . 15.(4分)如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A,B,C,D分别是“果圆”与坐标轴的交点,抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣6,AB为半圆的直径,则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 . 16.(4分)如图,等腰Rt ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为 . 三.解答题(共8题,共66分) 17.(6分)如图,在⊙O中,弦AB、CD交于点E,且AB=CD.求证:DE=BE. 18.(6分)将如图所示的牌面数字分别是1,2,3,4的四张扑克牌背面朝上,洗匀后放在桌面 (1)从中随机抽出一张牌,试求出牌面数字是偶数的概率; (2)先从中随机抽出一张牌,将牌面数字作为十位上的数字,然后将该牌放回并重新洗匀,再随机抽取一张,将牌面数字作为个位上的数字,请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率. 19.(6分)如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,n). (1)求m、n的值和抛物线的解析式; (2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集.(直接写出答案) 20.(6分)如图,在扇形AOB中,∠AOB=90 ,正方形CDEF的顶点C是的中点,点D在OB上,点E在OB的延长线上,当正方形CDEF的边长为2时,求阴影部分的面积. 21.(8分)如图所示,把 ABC置于平面直角坐标系中,请你按下列要求分别画图: (1)画出 ABC绕着原点O逆时针旋转90 得到的 A1B1C1; (2)在(1)的基础上求点C经过的路径长. 22.(8分)某网店销售一种儿童玩具,进价为每件30元,物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%.在销售过程中发现,这种儿童玩具每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足函数关系y=﹣10x+700. (1)求该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润w(元)与x之间的函数关系式; (2)当销售单价为多少时,该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大,最大利润是多少? 23.(12分)如图,抛物线y=ax2+3x+c经过A(﹣1,0),B(4,0)两点,并且与y轴交于点C. (1)求此抛物线的解析式; (2)直线BC的解析式为 ; (3)若点M是第一象限的抛物线上的点,且横坐标为t,过点M作x轴的垂线交BC于点N,设MN的长为h,求h与t之间的函数关系式及h的最大值; (4)在x轴的负半轴上是否存在点P,使以B,C,P三点为顶点的三角形为等腰三角形?如果存在,请证明;如果不存在,说明理由. 24.(14分)如图1,AB是⊙O的直径,且AB=8,过点B作直线CB⊥AB,连接AC交⊙O于点D,连接BD,点E是AD的中点,连接BE交AC于点F. (1)比较大小:∠CBD ∠CAB(填“<”、“=”、“>”中的一个); (2)求证:CB=CF; (3)若AF=4,求CB的值; (4)在图1的基础上,作∠ADB的平分线交BE于点I,交⊙O于点G,连接OI(如图2),写出OI的最小值,并说明理由, 2023-2024学年浙江省宁波市宁海县潘天寿中学九年级(上)月考数学试卷(10月份) 参考答案与试题解析 一.选择题(共10小题,每小题3分) 1.【分析】根据必然事件的概念逐项判断即可得到答案. 【解答】解:A、在学校操场上抛出的篮球会落下,是必然事件,符合题意; B、买奖券中特等奖,是随机事件,不符合题意; C、明天会下雨,是随机事件,不符合题意; D、打开电视,正在播放动画片,是随机事件,不符合题意; 故选:A. 【点评】本题考查事件的判断,涉及事件的概念、必然事件的判定,熟练掌握必然事件的概念是解决问题的关键. 2.【分析】已知抛物线的顶点式,可知顶点坐标和对称轴. 【解答】解:∵y=2(x﹣3)2﹣1是抛物线的顶点式, 根据顶点式的坐标特点可知, 对称轴为直线x=3. 故选:B. 【点评】考查了二次函数的性质,顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h. 3.【分析】根据圆周角定理得出,即可求出答案. 【解答】解:∵∠AOB=50 , ∴, 故选:A. 【点评】本题考查了圆周角定理,能熟记圆周角定理是解此题的关键. 4.【分析】当点P与圆心的距离大于半径时,点P在圆外;当点P与圆心的距离等于半径时,点P在圆上;当点P与圆心的距离小于半径时,点P在圆内.根据点与圆的位置关系即可判断. 【解答】解:∵⊙O直径为6, ∴⊙O半径为3, ∵OP=2<3, ∴点P在圆内, 故选:A. 【点评】本题考查了点与圆的位置关系,掌握点与圆的位置关系是关键. 5.【分析】分别计算x=﹣4、﹣3、1时的函数值,然后比较大小即可. 【解答】解:当x=﹣4时,y1=(﹣4)2+4 (﹣4)﹣5=﹣5; 当x=﹣3时,y2=(﹣3)2+4 (﹣3)﹣5=﹣8; 当x=1时,y3=12+4 1﹣5=0, 所以y2<y1<y3. 故选:B. 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式. 6.【分析】利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及相等的圆心角所对的弧相等分别判断后即可确定正确的选项. 【解答】解:A、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧,故原命题错误,不符合题意; B、不在同一直线上的三个点确定一个圆,故原命题错误,不符合题意; C、同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故原命题错误,不符合题意; D、同弧或等弧所对的圆周角相等,正确,符合题意; 故选:D. 【点评】考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理难度不大. 7.【分析】根据大量重复试验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率,分别分析得出即可. 【解答】解:∵在一个不透明的布袋中,红球、黑球、白球共有若干个,其中摸出红球的频率稳定于20%,摸出黑球的频率稳定于50%, ∴①若进行大量摸球试验,摸出白球的频率稳定于:1﹣20%﹣50%=30%,故此选项正确; ∵摸出黑球的频率稳定于50%,大于其它频率, ∴②从布袋中任意摸出一个球,该球是黑球的概率最大,故此选项正确; ③若再摸球100次,不一定有20次摸出的是红球,故此选项错误; 故正确的有①②. 故选:B. 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率,根据频率与概率的关系得出是解题关键. 8.【分析】连接OD,如图,设⊙O的半径为r,根据垂径定理得=,CG=DG,则=,所以CD=BE=8,则DG=CD=4,利用勾股定理得到42+(r﹣2)2=r2,然后解方程即可. 【解答】解:连接OD,如图,设⊙O的半径为r, ∵CD⊥AB, ∴=,CG=DG, ∵点C是弧BE的中点, ∴=, ∴=, ∴CD=BE=8, ∴DG=CD=4, 在Rt ODG中,∵OG=r﹣2,OD=r, ∴42+(r﹣2)2=r2,解得r=5, 即⊙O的半径为5. 故选:A. 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.也考查了垂径定理和勾股定理. 9.【分析】设量角器180 刻度处为点G,则AG为半圆的直径,设AG的中点为O,则点O为圆心,连接OE,利用垂径定理的推论得到OE⊥AD,则 OAF为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质求得圆的半径,利用当点O,E,F在一条直线上时,EF取得最小值解答即可得出结论. 【解答】解:设量角器180 刻度处为点G,如图, 则AG为半圆的直径,设AG的中点为O,则点O为圆心,连接OE, ∵点E为AD中点, ∴OE⊥AD,AE=DE=AD=9cm, ∵∠A=45 , ∴ OAF为等腰直角三角形, ∴AE=OE=9cm, ∴OA=OE=9(cm), ∵点F为弧AD上一动点, ∴当点O,E,F在一条直线上时,EF取得最小值. ∴EF的最小值为(9﹣9)cm. 故选:C. 【点评】本题主要考查了圆的有关性质,垂径定理,等腰直角三角形的性质,掌握当点O,E,F在一条直线上时,EF取得最小值是解题的关键. 10.【分析】画出图象,从图象可以看出,当函数图象从左上向右下运动时,当跟正方形有交点时,先经过点A,再逐渐经过点O,点B,点C,最后再经过点B,且在运动的过程中,两次经过点A,两次经过点O,点B和点C,只需算出当函数经过点A及点B时m的值,即可求出m的最大值及最小值. 【解答】解:如图,由题意可得,互异二次函数y=(x﹣m)2﹣m的顶点(m,﹣m)在直线y=﹣x上运动, 在正方形OABC中,点A(0,2),点C(2,0), ∴B(2,2), 从图象可以看出,当函数图象从左上向右下运动时,若抛物线与正方形有交点,先经过点A,再逐渐经过点O,点B,点C,最后再经过点B,且在运动的过程中,两次经过点A,两次经过点O,点B和点C, ∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值,即可求出m的最大值及最小值. 当互异二次函数y=(x﹣m)2﹣m经过点A(0,2)时,m=2或m=﹣1; 当互异二次函数y=(x﹣m)2﹣m经过点B(2,2)时,m=或m=. ∴互异二次函数y=(x﹣m)2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是,﹣1. 故选:D. 【点评】本题为二次函数综合题,考查了二次函数图象性质.解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化,从而得到临界值. 二.填空题(共6小题,每小题4分) 11.【分析】根据“左加右减,上加下减”的规律进行解答即可. 【解答】解:将抛物线y=﹣2x2先向右平移2个单位,再向下平移3个单位得到新的抛物线为:y=﹣2(x﹣2)2﹣3, 故答案为:y=﹣2(x﹣2)2﹣3. 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减是解题的关键. 12.【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率. 【解答】解:根据题意可知,共有5张卡片,比3小的数有无理数有2个和一个负数,总共有3个. 故抽到正面的数比3小的概率为, 故答案为:. 【点评】本题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种可能,那么事件A的概率P(A)=. 13.【分析】根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点,由勾股定理求得斜边,即可得出答案. 【解答】解:如图,∵AC=8,BC=6, ∴AB==10, ∴外接圆半径为5. 故答案为:5. 【点评】本题考查了三角形的外接圆以及外心,注意:直角三角形的外心是斜边的中点. 14.【分析】根据正多边形的中心角的计算公式:计算即可求得中心角,然后利用等腰三角形的性质求得底角即可. 【解答】解:∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形, ∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为=72 , ∴∠ODC===54 , 故答案为:54 . 【点评】本题考查的是正多边形和圆,掌握正多边形的中心角的计算公式:是解题的关键. 15.【分析】由题意可求点A,点B,点D坐标,即可求AB的长,OD的长,根据勾股定理可求CO的长,即可得CD的长. 【解答】解:如图:连接CM, 当y=0时,y=x2﹣2x﹣6=0, 解得x1=﹣2,x2=6, ∴A(﹣2,0),B(6,0), ∴AB=8, 又∵M为AB的中点, ∴M(2,0), ∴OM=2,CM=4, ∴CO==2, 当x=0时,y=﹣6, ∴OD=6, ∴CD=6+2, 故答案为:6+2. 【点评】本题考查了二次函数的性质,抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征,熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键. 16.【分析】连接OC,OM、CM,如图,利用斜边上的中线性质得到OM=PQ,CM=PQ,则OM=CM,于是可判断点M在OC的垂直平分线上,则点M运动的轨迹为 ABC的中位线,然后根据三角形中位线性质求解. 【解答】解:连接OC,OM、CM,如图, ∵M为PQ的中点, ∴OM=PQ,CM=PQ, ∴OM=CM, ∴点M在OC的垂直平分线上, ∴点M运动的轨迹为 ABC的中位线, ∴点M所经过的路线长=AB=1. 故答案为1. 【点评】本题考查了轨迹:通过计算确定动点在运动过程中不变的量,从而得到运动的轨迹.也考查了等腰直角三角形的性质. 三.解答题(共8题,共66分) 17.【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到,结合图形得到,进而得到AD=CB,根据全等三角形的判定即可证明结论. 【解答】证明:∵AB=CD, ∴, ∴, 即, ∴AD=CB, 在 AED和 CEB中, , ∴ AED≌ CEB(AAS), ∴DE=BE. 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理的推论,解题的关键是掌握在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 18.【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率即可. 【解答】解:(1)从中随机抽出一张牌,牌面所有可能出现的结果有4种,且它们出现的可能性相等,其中出现偶数的情况有2种, ∴P(牌面是偶数)==; (2)根据题意,画树状图: 由树状图可知,共有16种等可能的结果:其中恰好是4的倍数的共有4种, ∴P(4的倍数)==. 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 19.【分析】(1)先把点A坐标代入直线解析式,求出直线解析式,进而求出点B坐标,再把A、B坐标代入抛物线解析式求出抛物线解析式即可; (2)利用图象法求解即可. 【解答】解:(1)把A(1,0)代入y=x+m中得:1+m=0, ∴m=﹣1, ∴一次函数解析式为y=x﹣1, 把B(3,n)代入y=x﹣1中得n=3﹣1=2, ∴B(3,2), 把A(1,0),B(3,2)代入y=x2+bx+c中得:, ∴, ∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+2; (2)由函数图象可知,当x<1或x>3时抛物线的函数图象在一次函数图象上方, ∴不等式x2+bx+c>x+m的解集为x<1或x>3. 【点评】本题主要考出来的待定系数法求函数解析式,二次函数与不等式之间的关系,正确求出对应的函数关系式是解题的关键. 20.【分析】连接OC,得出∠COD=45 ,阴影部分的面积等于扇形OBC的面积﹣三角形ODC的面积. 【解答】解:∵在扇形AOB中∠AOB=90 ,正方形CDEF的顶点C是的中点, ∴∠COD=45 , ∴OC==4, ∴S阴影=S扇形BOC﹣S ODC= 42﹣ (2)2 =2 ﹣4. 【点评】本题考查了扇形面积的计算以及正方形的性质,掌握扇形的面积公式以及正方形的性质是解题的关键. 21.【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1再连接各点即可得出答案; (2)先计算出OC的长,然后利用弧长公式求解即可. 【解答】解:(1)如图: A1B1C1即为所求; (2), ∴点C经过的路径长为. 【点评】本题考查了作图﹣旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形;也考查了弧长公式. 22.【分析】(1)根据题意得到函数解析式w=(﹣10x+700)(x﹣30)=﹣10x2+1000x﹣21000; (2)列不等式得到x≤48,将(1)中函数关系式化成顶点式w=﹣10(x﹣50)2+4000,根据二次函数的性质即可得到结论. 【解答】解:(1)根据题意得,w=(﹣10x+700)(x﹣30) =﹣10x2+1000x﹣21000; (2)∵x≤30 (1+60%)=48, ∴x≤48, ∴w=﹣10x2+1000x﹣21000 =﹣10(x﹣50)2+4000, ∵a=﹣10<0,对称轴x=50, ∴当x=48时,w最大=﹣10 (48﹣50)2+4000=3960, 答:当销售单价为48时,该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大,最大利润是3960元. 【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件. 23.【分析】(1)将点A(﹣1,0),B(4,0)代入抛物线解析式,解方程即可; (2)由抛物线解析式得出点C坐标,利用待定系数法求出直线BC的解析式; (3)由题意知M(t,﹣t2+3t+4),N(t,﹣t+4),则MN=(﹣t2+3t+4)﹣(﹣t+4)=﹣t2+4t,从而得出答案; (4)分当PC=BC或PB=BC或PC=BC三种情形,分别求解. 【解答】解:(1)∵物线y=ax2+3x+c经过A(﹣1,0),B(4,0)两点, ∴, 解得, ∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+3x+4; (2)当x=0时,y=4, ∴C(0,4), 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0), 将点B(4,0)、C(0,4)代入得: , 解得, ∴直线BC的解析式为y=﹣x+4, 故答案为:y=﹣x+4; (3)如图, ∵点M是第一象限的抛物线上的点,且横坐标为t, ∴M(t,﹣t2+3t+4), ∵MN⊥x轴, ∴N(t,﹣t+4), ∴MN=(﹣t2+3t+4)﹣(﹣t+4)=﹣t2+4t, ∴h=﹣t2+4t=﹣(t﹣2)2+4(0<t<4), ∴当t=2时,h的值最大,最大值为4; (4)存在,理由如下: 当PC=BC时, ∵OC⊥BP, ∴OP=OB, ∵B(4,0),点P在x轴的负半轴上, ∴P(﹣4,0), 当PB=BC时, ∵B(4,0),C(0,4), ∴OC=OB=4, ∴BP=BC==4, ∴OP=BP﹣OB=4﹣4, ∵点P在x轴的负半轴上, ∴P(4﹣4,0); 当PC=PB时,点P位于BC的垂直平分线上, ∵OB=OC=4, ∴点O位于BC的垂直平分线上, ∴此时点P与点O重合,不合题意,舍去; 综上,在x轴的负半轴上存在点P(﹣4,0)或(4﹣4),使以B,C,P三点为顶点的三角形为等腰三角形. 【点评】本题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式,二次函数的性质,等腰三角形的性质,坐标与图形的性质,勾股定理等知识,运用分类思想、数形结合思想是解题的关键. 24.【分析】(1)先由CB⊥AB得到∠ABC=90 ,即∠CBD+∠ABD=90 ,然后由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90 ,即可得到∠ABD+∠CAB=90 ,从而得到∠CBD=∠CAB; (2)先由点E是的中点得到∠DBE=∠ABE,然后结合∠ADB=∠ABC=90 得到∠CFB=90 ﹣∠DBE,∠CBF=90 ﹣∠ABE,从而得到∠CFB=∠CBF,即可得到CF=CB; (3)设CB=CF=x,然后得到AC=4+x,再利用勾股定理列出方程得到x的值,即可得到CB的长; (4)连接AI、AG、OG,先由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90 ,然后由DG平分∠ADB得到∠ADG=∠BDG=45 ,再结合同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠BAG=∠BDG=45 ,∠AOG=2∠ADG=90 ,进而得到OG、AG的长,再结合BE平分∠ABD、DG平分∠ADB得到AI是∠BAD的角平分线,从而得到∠IAD=∠IAB,进而得到∠GAI=∠GIA,从而得到AG=IG,然后结合三角形的三边关系求OI的最小值. 【解答】(1)解:∵CB⊥AB, ∴∠ABC=90 , ∴∠CBD+∠ABD=90 , ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90 , ∴∠ABD+∠CAB=90 , ∴∠CBD=∠CAB, 故答案为:=. (2)证明:∵点E是的中点, ∴∠DBE=∠ABE, ∵∠ADB=∠ABC=90 , ∴∠CFB=90 ﹣∠DBE,∠CBF=90 ﹣∠ABE, ∴∠CFB=∠CBF, ∴CF=CB. (3)解:设CB=CF=x,则AC=4+x, 在Rt ABC中,AB2+BC2=AC2, ∴82+x2=(4+x)2, 解得:x=6, ∴CB=6. (4)解:OI的最小值为4﹣4,理由如下, 如图,连接AI、AG、OG, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90 , ∵DG平分∠ADB, ∴∠ADG=∠BDG=45 , ∴∠BAG=∠BDG=45 ,∠AOG=2∠ADG=90 , ∴OG=AO=AB=4, ∴AG=4, ∵BE平分∠ABD、DG平分∠ADB, ∴AI是∠BAD的角平分线, ∴∠IAD=∠IAB, ∵∠GAI=∠GAB+∠IAB=45 +∠IAB,∠GIA=∠IAD+∠ADB=45 +∠IAD, ∴∠GAI=∠GIA, ∴AG=IG=4, 当点I、O、G三点共线时,OI的值最小, 此时,OI=GI﹣OG=4﹣4. 【点评】本题考查了与圆有关的性质和计算、与圆有关的位置关系、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形的内心的性质,解题的关键是熟知与圆有关的性质定理的应用. 学科网(北京)股份有限公司 $$