专题04 整式的除法重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2024）

专题04 整式的除法重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优） 题型一 计算单项式除以单项式 题型二 用科学记数法表示数的除法 题型三 多项式除以单项式 题型四 整式四则混合运算 题型五 整式四则混合运算的应用 题型六 整式四则混合运算的规律题 知识点01 单项式除以单项式 定义和计算法则：单项式除以单项式时，需要将系数相除，同底数的幂相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 例：(8a^3b^2)÷(2a^2b) 的计算过程如下：首先，系数8除以2得4；其次，a的三次方除以二次方得a的一次方，b的二次方除以一次方得b的一次方；最后，由于没有额外字母，结果为 4ab。 知识点02 多项式除以单项式 定义和计算法则：多项式除以单项式的运算可以视为多项式的每一项分别除以单项式。具体方法是先将被除式的每一项单独除以除式，然后将所得的结果累加。 【经典例题一 计算单项式除以单项式】 【例1】下列运算不正确的是（  ） A． B． C． D． 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．一圆柱形桶内装满了水，已知桶的底面半径为，高为，又知另一长方体容器的长为，宽为，若把圆柱形桶中的水倒入长方体形容器中（水不溢出），则水面高度是 （结果保留）． 3．计算 (1)； (2)． 【经典例题二 用科学记数法表示数的除法】 【例2】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．纳米是非常小的长度单位，，把的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，的空间可以放（    ）个的物体（物体之间的空隙忽略不计）． A． B． C． D． 2．计算： ． 3．细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 【经典例题三 多项式除以单项式】 【例3】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．计算的正确结果是（      ） A． B． C． D． 2．已知长方形的面积为，宽为2a，则长方形的长为 ． 3．计算： (1)； (2)． 【经典例题四 整式四则混合运算】 【例4】调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式为（    ） A． B． C． D． 1．若代数式的值与无关，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D．4 2．小明在计算时，把括号内前的减号不小心看成了乘号，最后计算的错误结果是，那么正确的结果是 ． 3．先化简，再求值，其中，． 【经典例题五 整式四则混合运算的应用】 【例5】如图，将7 张长为，宽为的小长方形纸片，按图 2 的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则满足（    ）    A． B． C． D． 1．如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（    ） A． B． C． D． 2．图1的小长方形纸片的长为，宽为，将7张小长方形纸片按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，它们的周长与面积分别记为，当的值一定时，下列四个式子：①；②；③；④；其中一定为定值的式子的序号是 ． 3．手工课上，小新将一张正方形纸片沿对角线，剪开（如图1），得到四个全等的等腰直角三角形，然后将四个等腰直角三角形拼接成风车图案（如图2）．此时，四边形是正方形，连接，通过探索，小新发现四边形也是正方形（如图3）．设，． (1)请用含的代数式表示图3中阴影部分的面积 (2)若图3中空白部分面积为168，，求． 【经典例题六 整式四则混合运算的规律题】 【例6】有n个依次排列的整式：第1项是 ，用第1项加上 得到，将乘以x得到第2项，再将第2项加上得到，将乘以x得到第3项，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为（     ） ①方程的实数解为 ；② ；③第2023项 ；④当 时，则的值为． A．1 B．2 C．3 D．4 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知，，．根据前面各式的规律，可得：的值为 ，的值的个位数字是 ． 3．著名数学教育家G·波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察、发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请观察下列算式，再解答后面的问题． ①；②；③； ④__________；…… (1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母n的式子表示出来（其中n为正整数，且）； (3)你认为（2）中所写的式子一定成立吗？并说明理由． 1．一个长方形的面积是，长是，则这个长方形的宽是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 5．4张长为m，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则m，n满足的关系是（    ） A． B． C． D． 6． ． 7．已知长方形的面积为，宽为2a，则长方形的长为 ． 8．一个三角形的底边长为，该边上的高为，将其底边长增加1，高减少1，面积不变，则和满足的关系是 ． 9．若定义知识树表示运算，则知识树表示的运算结果为 ． 10．如图，四边形ABCD与EFGD都是长方形，点E、G分别在AD与CD上．若cm，长方形EFGD的周长为24cm，则图中阴影部分的面积为 ． 11．计算： 12．先化简，再求值：，其中． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 14．观察下列式：； ； ； ； (1)猜想：______；______； (2)根据（1）猜想的结论计算出下列式子的结果：． 15．【阅读理解】在一次数学活动课上，何老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图所示的一个大正方形． (1)观察图，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：______，利用等式解决问题：若，，则的值为______； (2)【拓展探究】若，求的值； (3)【实际运用】如图，将正方形与正方形叠放，重叠部分是一个长方形，，，沿着、所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为，求长方形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 整式的除法重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优） 题型一 计算单项式除以单项式 题型二 用科学记数法表示数的除法 题型三 多项式除以单项式 题型四 整式四则混合运算 题型五 整式四则混合运算的应用 题型六 整式四则混合运算的规律题 知识点01 单项式除以单项式 定义和计算法则：单项式除以单项式时，需要将系数相除，同底数的幂相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 例：(8a^3b^2)÷(2a^2b) 的计算过程如下：首先，系数8除以2得4；其次，a的三次方除以二次方得a的一次方，b的二次方除以一次方得b的一次方；最后，由于没有额外字母，结果为 4ab。 知识点02 多项式除以单项式 定义和计算法则：多项式除以单项式的运算可以视为多项式的每一项分别除以单项式。具体方法是先将被除式的每一项单独除以除式，然后将所得的结果累加。 【经典例题一 计算单项式除以单项式】 【例1】下列运算不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，不符合题意； B、，则此项不正确，符合题意； C、，则此项正确，不符合题意； D、，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项、整式的乘法、除法，根据合并同类项、整式的乘法、除法运算法则逐项判断即可解答即可；掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：A.，故本选项符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．一圆柱形桶内装满了水，已知桶的底面半径为，高为，又知另一长方体容器的长为，宽为，若把圆柱形桶中的水倒入长方体形容器中（水不溢出），则水面高度是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除单项式的应用，利用圆柱求出水的体积，再根据长方体即可求解，解题的关键是理解圆形形容器、长方体容器中水的体积不变． 【详解】解：由题意可得，水的体积为， ∴把圆柱形桶中的水倒入长方体形容器中（水不溢出），水面高度是， 故答案为：． 3．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据单项式的除法法则计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【经典例题二 用科学记数法表示数的除法】 【例2】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 1．纳米是非常小的长度单位，，把的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，的空间可以放（    ）个的物体（物体之间的空隙忽略不计）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，求出1立方米立方纳米，即可求解． 【详解】解：1纳米米， 1立方米立方纳米， 的空间可以放个的物体， 故选：D． 【点睛】本题考查了单位之间的转化，解题的关键是：要掌握纳米与米之间的转化． 2．计算： ． 【答案】 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案，最后结果用科学记数法表示． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了整式的除法，正确运用整式的除法运算法则是解题关键． 3．细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 【答案】后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍 【分析】先求出，细菌分裂的次数，再根据一个细菌在分裂次后，数量变为个，用细菌的数量乘以，即可得到总数，同理求出2h后细菌的个数，两数相除即可得出结果． 【详解】解：次， ∴后，盘子里有细菌：（个）； （次）， ∴后，盘子里有个细菌； ， 答：后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍． 【点睛】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． 【经典例题三 多项式除以单项式】 【例3】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式的除法计算，根据多项式除以单项式法则依次计算并判断 【详解】解：A.除不尽，故错误； B.除不尽，故错误； C.，故正确； D.，故错误； 故选：C 1．计算的正确结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式除以单项式，根据运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故选：D． 2．已知长方形的面积为，宽为2a，则长方形的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法运算，熟悉掌握多项式除单项式的运算法则是解题的关键． 根据多项式除单项式的运算法则运算即可． 【详解】解：∵长方形面积长宽， ∴长， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘除法，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据多项式乘多项式的运算法则进行运算即可； （2）根据多项式除以单项式的运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【经典例题四 整式四则混合运算】 【例4】调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键；根据整式的运算法则计算即可； 【详解】解：根据题意可得： 故选：D 1．若代数式的值与无关，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查整式的四则混合运算，先将题目中的式子化简，然后根据此代数式的值与y的取值无关，可知关于y的项的系数为0，从而可以求得k的值． 【详解】解： ∵关于y的代数式：的值与y无关， ∴， 解得， 即当时，代数式的值与y的取值无关． 故选：A. 2．小明在计算时，把括号内前的减号不小心看成了乘号，最后计算的错误结果是，那么正确的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，更根据题意求得，再将其代入原式计算是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，， 则，正确的结果为：， 故答案为：． 3．先化简，再求值，其中，． 【答案】，20 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先进行多项式乘以单项式和多项式除以单项式的运算，再合并同类项，然后代值计算即可． 【详解】解：原式； 当，时，原式． 【经典例题五 整式四则混合运算的应用】 【例5】如图，将7 张长为，宽为的小长方形纸片，按图 2 的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则满足（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与无关即可求出与的关系式． 【详解】解：如图所示：    ， 左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ， ，， ，即， 阴影部分的面积之差为： ， ， 原式 ， 当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变， ，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意，表示出面积之差是解本题的关键． 1．如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形，解题的关键是根据图形得到几何图形的面积．根据图形可直接进行求解后作出判断． 【详解】解：由图可得： 阴影部分的面积为或或； ∴不能正确表示阴影部分的面积的是C选项； 故选：C． 2．图1的小长方形纸片的长为，宽为，将7张小长方形纸片按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，它们的周长与面积分别记为，当的值一定时，下列四个式子：①；②；③；④；其中一定为定值的式子的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了整式的加减，设，根据图形可得左上角矩形的长为，宽为，右下角矩形的长为，宽为，再根据矩形周长公式和面积公式将分别表示出来，可得①，不是定值；②，是定值；③，不是定值，④，是定值，即可进行解答．解题的关键是正确理解题意，根据图形得出的表达式． 【详解】解：设， 由图可知： ， ， ， ， ①，不是定值，不符合题意； ②，是定值，符合题意； ③，不是定值，不符合题意； ④，是定值，符合题意； 综上，是定值的有②④； 故答案为：②④． 3．手工课上，小新将一张正方形纸片沿对角线，剪开（如图1），得到四个全等的等腰直角三角形，然后将四个等腰直角三角形拼接成风车图案（如图2）．此时，四边形是正方形，连接，通过探索，小新发现四边形也是正方形（如图3）．设，． (1)请用含的代数式表示图3中阴影部分的面积 (2)若图3中空白部分面积为168，，求． 【答案】(1) (2)25 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，得出阴影部分的面积等于四个小直角三角形的面积加上小正方形的面积是解此题的关键． （1）根据阴影部分的面积等于四个小直角三角形的面积加上小正方形的面积即可得出答案； （2）由空白部分的面积得出，根据，结合完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：阴影部分的面积等于四个小直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴； （2）解：∵空白部分面积为168， ∴，即， ∵， ∴    ∴． 【经典例题六 整式四则混合运算的规律题】 【例6】有n个依次排列的整式：第1项是 ，用第1项加上 得到，将乘以x得到第2项，再将第2项加上得到，将乘以x得到第3项，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为（     ） ①方程的实数解为 ；② ；③第2023项 ；④当 时，则的值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可以得出规律，，，根据规律逐项求解判断即可． 【详解】解∶∵，用第1项加上得到，将乘以x得到第2项， ∴， ∴， ∵将第2项加上得到，将乘以x得到第3项， ∴， 以此类推，则，， ∴， ∴当方程时，有，解方程，得 或，故结论①错误； ∵， ∴，故结论②正确； ∵， ∴第2023项，故结论③正确； ∵， ∴， 当 时，则，故结论④正确． ∴正确的结论为∶②③④，共3个． 故选∶C． 【点睛】本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律，，是解答此题的关键，． 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据每组数据的变化规律，可以设其中一列数为x，代换后进行计算即可求得结论． 【详解】解：设， 则原式= = = 故选D． 【点睛】本题考查了数字变化规律和整式混合运算，解决本题的关键是用x代换一组数据的和． 2．已知，，．根据前面各式的规律，可得：的值为 ，的值的个位数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查规律问题，整式的混合运算，有理数的乘方．仿照阅读材料中的等式可得再进一步得出的个位数字与的个位数字相同，即得答案．解题的关键是学会或转化的思想思考问题，学会从特殊到一般的探究规律的方法． 【详解】解：由题意可得：， ∴； ， ∵，个位数字为，，个位数字为， ，个位数字为，，个位数字为， ，个位数字为，，个位数字为， ，个位数字为，，个位数字为， ，个位数字为，，个位数字为， ，个位数字为，，个位数字为， ，个位数字为，，个位数字为， ，个位数字为，，个位数字为， ， ∴的个位数字与的个位数字相同，都是， ∴的个位数字与的个位数字相同，都是， ∴的值的个位数字是． 故答案为：；． 3．著名数学教育家G·波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察、发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请观察下列算式，再解答后面的问题． ①；②；③； ④__________；…… (1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母n的式子表示出来（其中n为正整数，且）； (3)你认为（2）中所写的式子一定成立吗？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查数字规律知识，熟练找出各个等式中的规律，通过整式的运算法则计算是解题的关键； （1）根据以上规律写出第4个算式即可； （2）用含字母n的式子即可； （3）通过整式运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 故，结论成立； 1．一个长方形的面积是，长是，则这个长方形的宽是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据长方形的宽等于面积除以长列出式子，再根据单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方法则计算即可得． 【详解】解：由题意得：这个长方形的宽是 ， 故选：B． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式除以单项式法则、多项式乘以多项式法则、单项式乘以多项式法则、多项式除以单项式法则，进行逐一计算即可求解． 【详解】解：A. ，运算正确，符合题意； B. ，故运算不正确，不符合题意； C. ，故运算不正确，不符合题意； D. ，故运算不正确，不符合题意． 故选：A． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式的除法计算，根据多项式除以单项式法则依次计算并判断 【详解】解：A.除不尽，故错误； B.除不尽，故错误； C.，故正确； D.，故错误； 故选：C 4．如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了整式混合运算的实际应用； 设，，可得，，，，然后分别求出和，结合已知列式，求出，进而计算即可． 【详解】解：设，，则，， ∴， ， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴长方形的周长为：， 故选：C． 5．4张长为m，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则m，n满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，数形结合并熟练运用完全平方公式是解题的关键．根据正方形，以及，建立关于m，n的等式，即可解题． 【详解】解：由图知，正方形， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 6． ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据相关运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．已知长方形的面积为，宽为2a，则长方形的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法运算，熟悉掌握多项式除单项式的运算法则是解题的关键． 根据多项式除单项式的运算法则运算即可． 【详解】解：∵长方形面积长宽， ∴长， 故答案为：． 8．一个三角形的底边长为，该边上的高为，将其底边长增加1，高减少1，面积不变，则和满足的关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式运算的应用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据三角形面积公式计算变化前后三角形的面积，结合“面积不变”建立等式并整理即可获得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的底边长为，该边上的高为， 则面积为， 将其底边长增加1，高减少1，则面积为， ∵底和高变化后面积不变， ∴， 整理可得． 故答案为：． 9．若定义知识树表示运算，则知识树表示的运算结果为 ． 【答案】m 【分析】本题考查了新定义运算，单项式除以单项式及积的乘方，根据新定义得，即可求解；理解新定义是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，表示，， 故答案为：m． 10．如图，四边形ABCD与EFGD都是长方形，点E、G分别在AD与CD上．若cm，长方形EFGD的周长为24cm，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】45 【分析】由面积关系列出关系式可求解． 【详解】解：∵矩形EFGD的周长为24cm， ∴DE+DG=12cm， ∵CD=DG+CG，AD=DE+AE，AE=GC=3cm， ∴阴影部分的面积=CD×AD-DE×DG =(DG+3)(DE+3)-DE×DG =DG×DE+3DG+3DE+9-DE×DG =3(DG+DE)+9 =36+9 =45（cm2）， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了整式混合运算的应用，利用面积和差关系列出关系式是解题的关键． 11．计算： 【答案】 【分析】本题考查整式乘除混合运算，熟练掌握积的乘方，单项式相乘除法法则是解题的关键．先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】解： ． 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，原式去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 ． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】此题考查了单项式除以单项式，解题的关键是掌握单项式除以单项式运算法则． （1）根据单项式除以单项式运算法则求解即可； （2）首先将转化成a，然后根据单项式除以单项式运算法则求解即可； （3）根据单项式除以单项式运算法则求解即可； （4）根据单项式除以单项式运算法则求解即可； （5）根据单项式除以单项式运算法则求解即可； （6）把或看成整体，然后根据单项式除以单项式运算法则求解即可； 【详解】（1） ； （2）解法一： ； 解法二： ； （3）解法一： ； 解法二： ； （4）解法一： ； 解法二： ． （5） ； （6）解法一： ； 解法二： ． 14．观察下列式：； ； ； ； (1)猜想：______；______； (2)根据（1）猜想的结论计算出下列式子的结果：． 【答案】(1) ； ； (2) 【分析】本题考查的是整式的运算及数字规律探索问题，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据上述的式子计算结果，可以得出规律，由此答题即可； （2）根据（1）猜想的结论计算即可． 【详解】（1）； ； 故答案为：；； （2）根据（1）猜想的结论计算： ． 15．【阅读理解】在一次数学活动课上，何老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图所示的一个大正方形． (1)观察图，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：______，利用等式解决问题：若，，则的值为______； (2)【拓展探究】若，求的值； (3)【实际运用】如图，将正方形与正方形叠放，重叠部分是一个长方形，，，沿着、所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为，求长方形的面积． 【答案】(1) (2)17 (3)192 【分析】利用面积法可得：，然后进行计算即可解答； 设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算即可解答； 设正方形的边长为，从而可得，，然后设，，则，，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：观察图，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：， ，，， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）设，， ， ， ， ， 即； （3）设正方形的边长为， ，， ，， 设，， ， 四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为， ， ， ， ， 长方形的面积为． 【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，完全平方式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$