专题03 乘法公式重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2024）

专题03 乘法公式重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 平方差公式与几何图形 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 通过对完全平方公式变形求值 题型五 求完全平方式中的字母系数 题型六 完全平方式在几何图形中的应用 题型七 整式的混合运算 题型八 完全平方公式在几何图形中的应用 知识点01 两数和乘以这两数的差(a + b)(a - b) = a² - b² 公式结构：这个公式的结构特征非常鲜明，它由两个因子组成，第一个因子是两数之和(a + b)，第二个因子是这两数之差(a - b)。这种结构使得公式在数学计算中非常方便。 几何意义：这个公式可以通过几何图形的面积推导出来，比如，可以视为一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积。通过几何解释，学生不仅能加深对公式的理解，还能感受数形结合的思想。 知识点02两数和（差）的平方 (a ± b)² = a² ± 2ab + b² 公式展开：这个公式用于计算两数和或差的平方。具体展开形式为 (a + b)² = a² + 2ab + b²，而 (a - b)² = a² - 2ab + b²。 记忆方法：由于仅中间项的符号有区别，可以通过记忆“和平方中位+，差平方中位-”来快速应用。 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（    ） A． B． C． D． 1．计算的个位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．若，则的值为 ． 3．观察：；． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： （1）的结果是3的______倍； （2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除； 延伸： （3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由． 【经典例题二 平方差公式与几何图形】 【例2】为了美化校园，学校把一个边长为的正方形跳远沙池的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会（　　） A．变小 B．变大 C．没有变化 D．无法确定 1．如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形如图②，上述操作所能验证的数学恒等式是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式 ． 3．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A．    B．    C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】 【例3】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．已知a，b为有理数，则下列说法正确的是（    ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 2．计算： ； ． 3．． 【经典例题四 通过对完全平方公式变形求值】 【例4】已知,那么的值是（    ） A． B． C． D． 1．若，，则的值是（    ） A．13 B．16 C．19 D．22 2．已知x满足，则的值是 ． 3．已知 ，，求下列代数式的值： (1) (2) 【经典例题五 求完全平方式中的字母系数】 【例5】当（ ）时，是完全平方式． A． B．8 C． D．8或 1．若 是一个完全平方式，则k是（   ） A． B． C． D． 2．已知是完全平方式，则 ． 3．课本原题：当k取何值时， 是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式： 的结构特征。因为， 是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． (1)请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征： ； (2)若 是完全平方式，则m的值为 ；若(n为常数) 是完全平方式，则n的值为 ； (3)已知 ，请求出b的值． 【经典例题六 完全平方式在几何图形中的应用】 【例6】如图，长方形的周长为16，以这个长方形的四条边为边分别向外作四个正方形，若四个正方形的面积和等于68，则长方形的面积为（    ） A．20 B．18 C．15 D．12 1．如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（  ） A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2 2．某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为32，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为 ． 3．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 【经典例题七 整式的混合运算】 【例7】已知，则t的值为（   ） A． B． C．或 D． 1．下列计算结果错误的是 （    ） A． B． C． D． 2．若，则 ． 3．先化简，再求值：，其中m，n满足． 【经典例题八 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例8】如图，两个正方形的边长分别为a、b，若，，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 1．若将四张都是长为a，宽为b的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形纸片边长之和为8，图2中阴影部分的面积为6，则图1中阴影部分的面积为 ． 3．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式．如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形）， 请观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：_______； (2)如果图中的a，b（）满足，，求的值． 1．若，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 2．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．设x，y是实数，定义@的一种运算如下：，则下列结论：①若，则x，y均为0；②；③存在实数x，y，满足；④设x，y是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当时，最大．其中正确的个数（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 5．将边长为a的正方形的右下角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，再将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），由图1到图2的操作，能够验证下列等式中从左到右的变形的是（    ） A． B． C． D． 6．计算： ． 7．若是一个完全平方式，则 ． 8．已知，，则代数式的值为 ． 9．如图，大正方形和小正方形面积之差是16，则阴影部分的面积是 . 10．用四个长为，宽为的小长方形构成如图的大正方形．根据图形面积的关系，写出一个含，的等式 ． 11．先化简，再求值：，其中，． 12．计算： (1)； (2)． 13．当k取何值时，是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成根据多项式对应项的系数相等，得到． (1)若是完全平方式，则m的值为 ；若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； (2)已知：，请求出b的值． 14．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述操作能验证的等式是__________； A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①①已知，，求的值． ②计算：． 15．如图①是一个长为，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：方法一： ；方法二： ； (2)【得出结论】根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为 ； (3)【知识迁移】根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 乘法公式重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 平方差公式与几何图形 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 通过对完全平方公式变形求值 题型五 求完全平方式中的字母系数 题型六 完全平方式在几何图形中的应用 题型七 整式的混合运算 题型八 完全平方公式在几何图形中的应用 知识点01 两数和乘以这两数的差(a + b)(a - b) = a² - b² 公式结构：这个公式的结构特征非常鲜明，它由两个因子组成，第一个因子是两数之和(a + b)，第二个因子是这两数之差(a - b)。这种结构使得公式在数学计算中非常方便。 几何意义：这个公式可以通过几何图形的面积推导出来，比如，可以视为一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积。通过几何解释，学生不仅能加深对公式的理解，还能感受数形结合的思想。 知识点02两数和（差）的平方 (a ± b)² = a² ± 2ab + b² 公式展开：这个公式用于计算两数和或差的平方。具体展开形式为 (a + b)² = a² + 2ab + b²，而 (a - b)² = a² - 2ab + b²。 记忆方法：由于仅中间项的符号有区别，可以通过记忆“和平方中位+，差平方中位-”来快速应用。 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：D． 1．计算的个位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，数字类规律探究，将变为，利用平方差公式进行计算，再探究出的尾数规律，进行求解即可． 【详解】解：原式 ； ∵的尾数为3，的尾数为9，的尾数为7，的尾数为1，的尾数为3； ∴的尾数以3，9，7，1四个为一组，进行循环， ∵， ∴的尾数为1， ∴的尾数为5； 故选C． 2．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行求解即可得出结果． 【详解】解：∵，且， ∴； 故答案为：． 3．观察：；． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： （1）的结果是3的______倍； （2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除； 延伸： （3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）3 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用； （1）计算出92-62的结果，即可； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，再利用平方差公式计算，即可； （3）设这个数为，比大3的数为，再利用平方差公式计算，即可． 【详解】（1）， ∴是3的15倍； 故答案为：； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴能被3整除； （3）余数为3，理由如下： 设这个数为，比大3的数为， 所以被6整除余3，余数为3． 【经典例题二 平方差公式与几何图形】 【例2】为了美化校园，学校把一个边长为的正方形跳远沙池的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会（　　） A．变小 B．变大 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示变化前后的面积是正确解答的前提． 用代数式表示变化前后的面积，比较得出答案． 【详解】解：由题意得正方形跳远沙池的面积为，长方形跳远沙池的面积为， 因为， 所以沙池的面积会变小． 故选：A． 1．如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形如图②，上述操作所能验证的数学恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：大正方形的面积小正方形的面积， 矩形的面积 故． 故选：D． 2．如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答． 【详解】解：由作图可得：阴影部分的面积为； 由右图可得：阴影部分的面积为：； 所以． 故答案为 3．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A．    B．    C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算 【答案】(1)B (2)①；② 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积： （1）等积法列出等式即可； （2）①利用（1）中的等式，进行求解即可； ②算式乘以前面乘以，利用平方差公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积为； 故选B． （2）①由（1）可知：， ∵， ∴； ② ‘’ ． 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】 【例3】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查完全平方式，多项式乘以多项式，根据相关计算法则，把各选项中的左边展开，再与等式右边相比较即可选出答案，熟知计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、，故D选项不符合题意， 故选：C． 1．已知a，b为有理数，则下列说法正确的是（    ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查整式的乘法-公式法，关键是熟练掌握完全平方公式，根据完全平分公式逐一进行检验即可． 【详解】解：∵，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， 故③不正确； 故选：B 2．计算： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的两种形式是解题的关键． 利用完全平方公式展开得到结果． 【详解】； ； 故答案为：，． 3．． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式、多项式乘法法则； 先分别利用完全平方公式、多项式乘法法则进行展开，然后合并同类项即可． 【详解】解： 【经典例题四 通过对完全平方公式变形求值】 【例4】已知,那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，先根据已知条件得到的值，然后再利用完全平方公式可得到结果，两次应用完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， ∴， 故选：C． 1．若，，则的值是（    ） A．13 B．16 C．19 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了根据完全平方公式变形求代数式的值等知识．先求出，即可得到，根据，利用整体思想即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴． 故选：C 2．已知x满足，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式：，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据题意原式可化为，再应用完全平方公式可化为，应用整体思想合并同类项，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 3．已知 ，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． （1）根据计算即可； （2）根据计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴． 【经典例题五 求完全平方式中的字母系数】 【例5】当（ ）时，是完全平方式． A． B．8 C． D．8或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，利用在完全平方公式中，中间项等于前后两项乘积的2倍，即可得到答案． 【详解】解：∵首末两项是x和5这两个数的平方； ∴中间一项为加上或减去和5的积的2倍， ∴， ∴或． 故选：D． 1．若 是一个完全平方式，则k是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键；根据完全平方公式的结构特点求解即可； 【详解】是一个完全平方式， 是一个完全平方式， ， 故答案为：B； 2．已知是完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式列式进行计算即可确定k的值，熟记完全平方公式对解题的关键． 【详解】∵是完全平方式， ∴，解得， 故答案为：． 3．课本原题：当k取何值时， 是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式： 的结构特征。因为， 是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． (1)请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征： ； (2)若 是完全平方式，则m的值为 ；若(n为常数) 是完全平方式，则n的值为 ； (3)已知 ，请求出b的值． 【答案】(1)左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同（答案不唯一，能描述清楚即可） (2)10或；16 (3) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式： 的结构特征是解题关键； （1）根据完全平方公式结构特征用语言表述即可； （2）根据完全平方公式结构特征：求字母常数的值即可； （3）根据完全平方公式结构特征：求字母常数的值即可． 【详解】（1）解：完全平方公式：， 完全平方公式的结构特征：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同， 故答案为：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同；（答案不唯一，能描述清楚即可） （2）解： 是完全平方式， ， ， 解得：或； 是完全平方式， ， ， 故答案为：10或；16； （3）解：， ， ， ， ． 【经典例题六 完全平方式在几何图形中的应用】 【例6】如图，长方形的周长为16，以这个长方形的四条边为边分别向外作四个正方形，若四个正方形的面积和等于68，则长方形的面积为（    ） A．20 B．18 C．15 D．12 【答案】C 【分析】设长方形的长为x，宽为y．依据长方形的周长为16，四个正方形的面积之和为68可得到2x+2y=16，2x2+2y2=68，最后依据完全平方公式进行变形可求得xy的值． 【详解】解：设长方形的长为x，宽为y． 根据题意可知：2x+2y=16，2x2+2y2=68， 所以x+y=8，x2+y2=34． 所以64-2xy=34． 解得：xy=15． 所以长方形ABCD的面积为15． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的应用，依据完全平方公式得到64-2xy=34是解题的关键． 1．如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（  ） A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2 【答案】C 【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：设AB=x，AD=y， ∵长方形ABCD的周长是12cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 cm2， ∴x+y=6，x2+y2=20， ∴x2+y2=(x+y)2−2xy=20， ∴62−2xy=20， ∴xy=8， 故选：C． 【点睛】此题考查了图形与公式，解题的关键是熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式． 2．某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为32，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为 ． 【答案】5 【分析】设，，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12列方程求解即可． 【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为32，面积之和为12可得， ，， 即①，②， 由①得，③， ③②得， 所以， 即长方形的面积为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的关键． 3．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 【答案】(1)；；，详见解析 (2)，详见解析 (3)为1或5，详见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的几何图解法及应用等知识点， （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释； （2）图③的面积计算有两种方法，方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是，方法二是组成大长方形的各个小长方形或正方形的面积和等于大长方形的面积，故而得到了代数恒等式； （3）由（1）知：，结合为负整数分类讨论即可得解； 熟练掌握数形结合的思想是解决此题的关键． 【详解】（1）方法1：阴影部分是一个正方形，边长为，根据阴影部分正方形面积计算公式得， 方法2：大正方形边长为，面积是：，四个长为m，宽为n的长方形的面积是，阴影部分的面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积为， 方法1与方法2均为求图②中阴影部分的面积，所以结果相等，即， 故答案为：；；； （2）计算图③的面积计算有两种方法， 方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是， 方法二是：组成图③的各部分图形：2个边长为m的正方形的面积，3个长为m，宽为n的长方形的面积即，1个边长为n的正方形的面积，他们的面积和是：，方法一和方法二的计算结果相等， ∴； （3）由（1）知：， ∵， ∴ ， ∴， ∵为负整数， ∴且能被4整除， ∴当时，， 当时，， 综上：为1或5． 【经典例题七 整式的混合运算】 【例7】已知，则t的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】将展开得到，得到，，化简求值可得t的值． 【详解】， 由题意， ，， ， ， 得， ， 或， 故选：C． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 1．下列计算结果错误的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照整式的混合运算顺序对各选项依次进行判断即可解答． 【详解】A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，错误，符合题意； D、，正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算顺序是解答本题的关键． 2．若，则 ． 【答案】 【分析】先利用单项式乘多项式的法则以及平方差公式进行计算，再合并同类项，化为，然后将整体代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握单项式乘多项式的法则，平方差公式以及合并同类项法则，整体代入法是解题的关键． 3．先化简，再求值：，其中m，n满足． 【答案】，4 【分析】本题考查非负性，整式的混合运算，先根据整式的混合运算法则进行化简，利用非负性求出的值，再代入化简后的结果，进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴； ∴原式． 【经典例题八 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例8】如图，两个正方形的边长分别为a、b，若，，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用．根据题意确定阴影部分面积是解题的关键． 由题意知，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知， ． 故选：B． 1．若将四张都是长为a，宽为b的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，根据阴影部分的面积等于大正方形面积减空白部分面积列代数式是解题的关键．根据阴影部分的面积等于大正方形面积减空白部分面积列代数式整理计算即可． 【详解】解：阴影部分的面积为 故选B． 2．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形纸片边长之和为8，图2中阴影部分的面积为6，则图1中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，设甲、乙两个正方形纸片边长分别为，由题意可得：，根据图1中的阴影部分的面积为，进行求解即可． 【详解】解：设甲、乙两个正方形纸片边长分别为， 由题意，得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图1中的阴影部分的面积为； 故答案为：． 3．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式．如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形）， 请观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：_______； (2)如果图中的a，b（）满足，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）依据该图形的总面积为或，即可得出答案； （2）先求出，再根据计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 该图形的总面积为或， ∴可得如下公式； （2）解：∵，， ∴， ∴． 1．若，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式可知，，据此可得的值，进而得出则的值． 【详解】， 即， 解得， ， 故选：B． 2．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式的应用，根据，可得，可得，再利用平方差公式可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．设x，y是实数，定义@的一种运算如下：，则下列结论：①若，则x，y均为0；②；③存在实数x，y，满足；④设x，y是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当时，最大．其中正确的个数（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据题中规定的运算法则对各选项进行新定义的运算即可解答． 【详解】解：①根据题意得， 令， 整理得：， ∴， 解得或，故①错误； ②∵， ， ∴，故②正确； ③∵， 令， 解得，，故③正确； ④∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值是， 此时， 解得， ∴当时，最大，故④正确． 故其中正确的是②③④，共3个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，整式的运算与化简，解题的关键是熟悉整式运算的法则，同时也理解运算定律，才能正确解决问题． 4．如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义及应用，由图形面积之间的关系，用含有的代数式表示阴影部分的面积，再通过适当的变形，利用整体代入求出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 当，时， 原式， 故选：． 5．将边长为a的正方形的右下角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，再将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），由图1到图2的操作，能够验证下列等式中从左到右的变形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式几何意义的理解．分别表示出两种情况下的阴影部分的面积，而面积是相等的，故可得到结果． 【详解】解：在图1中，大正方形面积为，小正方形面积为，所以阴影部分的面积为， 在图2中，阴影部分为一长方形，长为，宽为，则面积为， 由于两个阴影部分面积相等，所以有成立． 故选：C． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式．此题考查了整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解本题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式求解作答即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 8．已知，，则代数式的值为 ． 【答案】28 【分析】本题考查利用完全平方公式的变形求值，将化为，整体代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：28． 9．如图，大正方形和小正方形面积之差是16，则阴影部分的面积是 . 【答案】8 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，平方差公式的几何应用，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，直接利用正方形的性质结合三角形面积求法得出答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ， 故答案为：8． 10．用四个长为，宽为的小长方形构成如图的大正方形．根据图形面积的关系，写出一个含，的等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据阴影部分面积两种计算方法即可求解，熟练掌握长方形、正方形的面积公式和完全平方公式是解题的关键． 【详解】求阴影部分面积： 方法一：， 方法二：， ∴， 故答案为：． 11．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式的混合运算一化简求值，完全平方公式，平方差公式，先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的运算， （1）利用积的乘方和单项式乘以单项式的法则计算即可； （2）利用多项式乘以多项式的法则和完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】（1） （2） 13．当k取何值时，是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成根据多项式对应项的系数相等，得到． (1)若是完全平方式，则m的值为 ；若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； (2)已知：，请求出b的值． 【答案】(1)8或，9 (2)或16 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式（完全平方式有和两个）是解此题的关键． （1）根据完全平方式得出和，再求出和即可； （2）先根据完全平方公式展开得出，根据得出，，求出的值，再求出即可． 【详解】（1）解：是完全平方式， ， ， 或； ， 为常数）是完全平方式， ． 故答案为：8或，9； （2）， ， ，， ， 或16． 14．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述操作能验证的等式是__________； A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1)C (2)①② 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积： （1）用两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （2）①利用（1）中结论，整体代入法，求出，联立两个二元一次方程，求出的值即可；②利用（1）中结论，进行计算即可． 【详解】（1）解：由图形可知，阴影部分的面积； 故选C． （2）解：①∵，， ∴， ，得：，解得：； ② ． 15．如图①是一个长为，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：方法一： ；方法二： ； (2)【得出结论】根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为 ； (3)【知识迁移】根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式和数形结合思想进行求解． （1）分别运用大正方形面积减去4个矩形面积和直接运用阴影部分边长的平方表示出图②中阴影部分的面积； （2）根据第（1）小题结果进行求解； （3）运用第（2）小题结果代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 图②中阴影部分的面积为或， 故答案为：，； （2）解：由（1）题可得， ， 代数式，，之间的等量关系可表示为：， 故答案为：； （3）解：由（2）题结果可得， ， ， 当，时， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$