专题02 整式的乘法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2024）

专题02 整式的乘法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 计算单项式乘单项式 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型三 计算单项式乘多项式及求值 题型四 单项式乘多项式的应用 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 题型六 计算多项式乘多项式 题型七 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型九 多项式乘多项式——化简求值 题型十 多项式乘多项式与图形面积 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 题型十二 整式乘法混合运算 知识点01 单项式与单项式的乘法 法则概述：单项式乘以单项式，需要将它们的系数相乘，相同字母的指数分别相乘，只在一个单项式中出现的字母则直接作为积的一个因式。 计算步骤：交换并相乘各单项式的系数，确定符号后再计算绝对值；相同字母进行同底数幂的乘法，底数不变指数相加；只在单个单项式中存在的字母连同其指数一起作为结果的一部分。 运算顺序和合并同类项：在混合运算时应注意运算顺序，有同类项时必须进行合并，以得到最简结果。 知识点02 单项式与多项式的乘法 分配律的应用：单项式与多项式相乘实际上是一个分配律的应用过程，即将单项式乘以多项式的每一项，然后将所有结果累加。 计算细节：需要注意符号问题，包括多项式中的每一项及其前面的符号；同时注意单项式的符号。混合运算中要注意先乘除后加减的顺序，并在最后合并同类项以得到最简形式。 知识点03 多项式与多项式的乘法 乘法过程：两个多项式相乘涉及一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，然后将所有结果加在一起。 结果化简：多项式乘以多项式的结果仍为多项式，且在未合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积。最后结果需化简到最简形式，合并同类项。 【经典例题一 计算单项式乘单项式】 【例1】计算：（　　） A． B． C． D． 1．在代数式中，与的值各减少了，则该代数式的值减少了（   ） A． B． C． D． 2．计算： 3．计算：． 【经典例题二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例2】已知单项式与的积为，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 1．已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 2．若（mx4）·（4xk）＝12x12，则m＝ ，k＝ ． 3．若，则求的值． 【经典例题三 计算单项式乘多项式及求值】 【例3】若定义，则（　　） A． B． C． D． 1．当时，代数式的值是（    ） A．10 B． C． D．6 2．小明在计算一个多项式M乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．则这个多项式是 ，正确的结果是 ． 3．计算：． 【经典例题四 单项式乘多项式的应用】 【例4】计算：□，□内应填写（    ） A．－10xy B． C．＋40 D．＋40xy 1．已知并排放置的正方形和正方形如图，其中点在直线上，那么的面积和正方形的面积的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则单项式 ． 3．如图，已知正方形与正方形，点在边上，已知正方形的边长为，正方形的边长为，且．用、表示下列图形的面积．    (1)的面积． (2)的面积． (3)的面积． 【经典例题五 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例5】若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 1．若的计算结果中不含有项，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．3 2．要使的展开式中不含项，则的值是 ． 3．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【经典例题六 计算多项式乘多项式】 【例6】若，则的值为（　　） A． B．125 C． D．1 1．已知，那么m、n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知，则 ． 3．嘉嘉计算一道整式乘法的题：，由于嘉嘉在解题过程中，抄错了第一个多项式中a前面的符号，把“”写成了“”，得到的结果为． (1)求a的值； (2)计算这道整式乘法的正确结果． 【经典例题七 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【例7】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．若，则（　　） A． B．1 C． D．12 2．若，，则与的大小关系是 3．观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 【经典例题八 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例8】使 乘积中不含 与 项，则 的值为（    ） A． B． C． D．8 1．若的积中不含项，则满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 2．如果的结果中不含的一次项，那么实数的值为 ． 3．已知计算的结果中不含项，求的值． 【经典例题九 多项式乘多项式——化简求值】 【例9】已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．-7 D．-17 1．若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则代数式的值为 ． 3．先化简，再求值：，其中． 【经典例题十 多项式乘多项式与图形面积】 【例10】在下列式子中，能反映如图所示的拼图过程的是(    ) A． B． C． D． 1．用边长分别为的两种正方形和，拼成如图所示的两个图形，若图中阴影部分面积分别记为，下列关于的大小关系表述正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点C在线段上，分别以和为边，在线段同侧作正方形、正方形，连接．若两正方形面积和为40，三角形面积为6，则 ． 3．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干， 取部分纸片摆成如图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：； (1)请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，（画图并写出过程） (2)小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长方形纸片z张，拼出一个面积为的长方形，则 ， ， ． 【经典例题十一 多项式乘法中的规律性问题】 【例11】 有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘得到，将第2项加上得到第3项……以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论：①第4项为；②；③若第2023项的值为0，则.以上结论正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1     1  1     1  2  1     1  3  3  1     1  4  6  4  1     …    … 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，我们知道展开式中的各项系数依次对应杨辉三角第行中的每一项，给出了“杨辉三角”的前7行，如第4行对应的等式为：，照此规律，计算： ． 3．观察下列各式： (1)根据上面各式的规律可得__________； (2)利用（1）的结论求的值； (3)若，求的值． 【经典例题十二 整式乘法混合运算】 【例12】化简a（b﹣c）﹣b（c﹣a）+c（a﹣b）的结果是（    ） A．2ab+2bc+2ac B．2ab﹣2bc C．2ab D．﹣2bc 1．已知一个多项式的2倍与的和等于，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 行第 列． 3．一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为，，，然后在黑板上写了一个等式：（，为常数）． (1)求，的值； (2)当为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）． 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果中一次项为，则常数的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 3．若的展开式中不包含项和项，则（    ） A．-4 B．3 C．4 D．6 4．在矩形中将边长分别为和的两张正方形纸片()按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当 时，的值为（     ） A． B． C． D． 5．在下列式子中，能反映如图所示的拼图过程的是(    ) A． B． C． D． 6．计算： ． 7．如果，那么的值为 ． 8．若关于的二次三项式能被多项式整除，则的值是 ． 9．【定义新运算】把任意数对放入魔盒后，会得到新的运算：． 【解决新问题】把数对放入该魔盒，得到结果；把数对再次放入该魔盒，得到的结果为 ． 10．观察下列各式： ； ； ； 根据规律可得 ． 11．计算： (1)； (2) 12．（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为－3x． 请参考上面的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______； (2)如果计算所得多项式不含一次项，则常数a的值是______； (3)如果，则的值是______． 15．阅读下列材料并解答问题：通过学习，我们知道可以用图1中图形的面积来解释公式，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如图，图形的面积可解释恒等式． (1)请写出图表示的代数恒等式为 ； (2)试画出一个几何图形，可以用图形的面积解释恒等式：； (3)请仿照上述方法另写一个含，的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．代数恒等式为： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式的乘法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 计算单项式乘单项式 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型三 计算单项式乘多项式及求值 题型四 单项式乘多项式的应用 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 题型六 计算多项式乘多项式 题型七 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型九 多项式乘多项式——化简求值 题型十 多项式乘多项式与图形面积 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 题型十二 整式乘法混合运算 知识点01 单项式与单项式的乘法 法则概述：单项式乘以单项式，需要将它们的系数相乘，相同字母的指数分别相乘，只在一个单项式中出现的字母则直接作为积的一个因式。 计算步骤：交换并相乘各单项式的系数，确定符号后再计算绝对值；相同字母进行同底数幂的乘法，底数不变指数相加；只在单个单项式中存在的字母连同其指数一起作为结果的一部分。 运算顺序和合并同类项：在混合运算时应注意运算顺序，有同类项时必须进行合并，以得到最简结果。 知识点02 单项式与多项式的乘法 分配律的应用：单项式与多项式相乘实际上是一个分配律的应用过程，即将单项式乘以多项式的每一项，然后将所有结果累加。 计算细节：需要注意符号问题，包括多项式中的每一项及其前面的符号；同时注意单项式的符号。混合运算中要注意先乘除后加减的顺序，并在最后合并同类项以得到最简形式。 知识点03 多项式与多项式的乘法 乘法过程：两个多项式相乘涉及一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，然后将所有结果加在一起。 结果化简：多项式乘以多项式的结果仍为多项式，且在未合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积。最后结果需化简到最简形式，合并同类项。 【经典例题一 计算单项式乘单项式】 【例1】计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的乘法-单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘法中同底数相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 1．在代数式中，与的值各减少了，则该代数式的值减少了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是代数式求值，单项式乘以单项式，根据题意列出x与y的值各减少了后的代数式，进而求解即可． 【详解】∵x与y的值各减少了， ∴原式     ∴ ∴该代数式的值减少了． 故选：C． 2．计算： 【答案】 【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式计算得出答案． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘单式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【经典例题二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例2】已知单项式与的积为，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】此题考查了单项式的乘法运算，按照单项式乘单项式计算单项与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：A． 1．已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．若（mx4）·（4xk）＝12x12，则m＝ ，k＝ ． 【答案】 3 8 【分析】由单项式乘以单项式的乘法法则得到，由此可得，从而求得结果． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：3；8 【点睛】本题考查利用单项式乘以单项式求字母的值，牢记相关知识点是解题的关键． 3．若，则求的值． 【答案】． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【经典例题三 计算单项式乘多项式及求值】 【例3】若定义，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的新定义运算，根据新定义运算直接计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】根据题意，得． 故选：D． 1．当时，代数式的值是（    ） A．10 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了代数式化简和代数式求值，先将原式去括号，再合并同类项，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式， 故选：A． 2．小明在计算一个多项式M乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．则这个多项式是 ，正确的结果是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，从而可求解得，再利用单项式乘多项式的法则进行求解即可． 【详解】解：由题意可得： ； 则正确的结果是：， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3．计算：． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式，积的乘方，同底数幂的乘法，计算求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式，积的乘方，同底数幂的乘法．解题的关键在于正确的运算． 【经典例题四 单项式乘多项式的应用】 【例4】计算：□，□内应填写（    ） A．－10xy B． C．＋40 D．＋40xy 【答案】D 【分析】运用单项式乘以多项式法则展开，再根据对应项相等，即可求解． 【详解】解：∵-10xy2-5x2y□=-5xy(2y+x-8)=-10xy2-5x2y+40xy， ∴□=+40xy， 故选：D． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式法则是解题的关键． 1．已知并排放置的正方形和正方形如图，其中点在直线上，那么的面积和正方形的面积的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为m、n，利用面积和差求出面积即可判断． 【详解】解：设正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为m、n， S1＝S正方形ABCD+S正方形BEFG﹣（S△ADE+S△CDG+S△GEF） ＝m2+n2﹣[m（m+n）+ m（m﹣n）+ n2] ＝n2； ∴S1＝S2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练用面积和差求三角形面积，准确进行计算． 2．已知，则单项式 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法运算，由即可求解，掌握单项式与多项式的乘法运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴单项式， 故答案为：． 3．如图，已知正方形与正方形，点在边上，已知正方形的边长为，正方形的边长为，且．用、表示下列图形的面积．    (1)的面积． (2)的面积． (3)的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）三角形以为底，为高，利用三角形面积公式求出即可； （2）三角形以为底，为高，利用三角形面积公式求出即可； （3）三角形面积=正方形面积+正方形面积+三角形面积三角形面积三角形面积，求出即可． 【详解】（1）解：根据题意得：的面积； （2）解：根据题意得：的面积； （3）解：根据题意得：的面积． 【点睛】此题考查了整式混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． 【经典例题五 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例5】若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 1．若的计算结果中不含有项，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，先按照单项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令项的系数等于零，列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含有项， ∴， ∴． 故选A． 2．要使的展开式中不含项，则的值是 ． 【答案】2 【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则即可求出答案. 此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： 的展开式中不含项， , 解得：． 故答案为：2． 3．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 【经典例题六 计算多项式乘多项式】 【例6】若，则的值为（　　） A． B．125 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，运用多项式乘以多项式运算法则计算后，根据对应项的系数相等得到的值，再代入计算即可 【详解】解： 又， ∴ ∴， 故选：A 1．已知，那么m、n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键． 先将等式的左边利用多项式乘以多项式法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出m与n的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． 故选B． 2．已知，则 ． 【答案】1 【分析】由条件先分别证明，，可得，可得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是幂的乘法运算，同底数幂的乘法运算的逆运算，多项式乘以多项式，证明是解本题的关键． 3．嘉嘉计算一道整式乘法的题：，由于嘉嘉在解题过程中，抄错了第一个多项式中a前面的符号，把“”写成了“”，得到的结果为． (1)求a的值； (2)计算这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式： （1）根据题意可得，据此根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边展开即可得到答案； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则结合（1）所求进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵抄错了第一个多项式中a前面的符号，把“”写成了“”，得到的结果为 ， ∴， ∴； （2）解： ． 【经典例题七 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【例7】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题考查了多项式乘多项式，多项式相等的条件，利用多项式乘多项式的法则将等式左边展开，再把结果和等式右边对照即可求解，掌握多项式相等即相同项的系数相等是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：． 1．若，则（　　） A． B．1 C． D．12 【答案】D 【分析】此题考查了多项式的乘法，按照多项式乘以多项式的法则计算展开，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故选：D． 2．若，，则与的大小关系是 【答案】 【分析】本题考查比较整式的大小，解决本题的关键是用差值法比较大小； 利用作差法比较整式的大小即可求解； 【详解】解：， 故答案为： 3．观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)n的值为 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及常数项，发现规律得猜想； （2）利用（1）的猜想先求出，再根据得关于m、n的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 根据上面的计算，可发现： 故答案为：；； （2）解：由（1）的规律知：， ∵， ∴． ∴，． ∴． 答：n的值为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式法则发现规律得到猜想是解决本题的关键． 【经典例题八 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例8】使 乘积中不含 与 项，则 的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把p、q看作常数，合并关于 与 的同类项，令其系数为0，得出p与q的值，即可求出结果． 【详解】解： 乘积中不含 与 项， ，则 ， 故选：D． 1．若的积中不含项，则满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项问题，先进行多项式的乘法运算，再根据多项式的积中不含项得到一次项的系数为，据此即可求解，理解多项式不含某项即该项的系数为是解题的关键． 【详解】解：， ∵的积中不含项， ∴， ∴， 故选：． 2．如果的结果中不含的一次项，那么实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式进行计算，根据题意令x的一次项系数为0即可求解． 【详解】解： ， ∵结果中不含的一次项， ∴ 解得：． 故答案为：． 3．已知计算的结果中不含项，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握单项式乘多项式的法则是解题关键．首先根据单项式乘多项式的法则进行运算，然后根据“结果中不含项”易得，求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含项， ∴， 解得． 即的值为． 【经典例题九 多项式乘多项式——化简求值】 【例9】已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．-7 D．-17 【答案】A 【分析】由多项式乘以多项式进行化简和变形，然后整体代入计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则正确的进行化简是解题的关键． 1．若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到，将等式左侧展开，比较系数可得关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：是由整式与另一个整式相乘得到的， ， ， ， 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键． 2．已知，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式—化简求值，原式利用多项式乘以多项式法则计算，把与的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由， 当，时， 则原式， 故答案为：． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【经典例题十 多项式乘多项式与图形面积】 【例10】在下列式子中，能反映如图所示的拼图过程的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】】本题考查了整式的有关运算，先计算出左边四个拼图的面积和，再计算拼成的图形的面积，从而得到答案即可 【详解】解：观察图形可知：左边四个拼图的面积和为：， 右边拼成的图形的是长为，宽为，拼成的图形的面积为， ， 反映如图所示的拼图过程的是：， ∴A，C，D选项均不符合题意，B选项符合题意， 故选：B． 1．用边长分别为的两种正方形和，拼成如图所示的两个图形，若图中阴影部分面积分别记为，下列关于的大小关系表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算：利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】解： ； ∵ ∴ 故选：B． 2．如图，点C在线段上，分别以和为边，在线段同侧作正方形、正方形，连接．若两正方形面积和为40，三角形面积为6，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形的面积，整式的乘法运算等知识点，根据角形面积为6，求出，再根据正方形、正方形面积和为40，得出，再整体代入即可得解，熟练运用整体代入思想是解决此题的关键． 【详解】设，，则， ∵三角形面积为6， ∴， ∴ ∵正方形、正方形面积和为40， ∴， ∴， ∴， ∴， 将①代入②得， ∴（负值已舍去） ∴， 故答案为：4． 3．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干， 取部分纸片摆成如图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：； (1)请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，（画图并写出过程） (2)小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长方形纸片z张，拼出一个面积为的长方形，则 ， ， ． 【答案】(1)作图及理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查整式运算与几何图形面积的关系，根据图示，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据题意，画出图形，运用整式运算即可求解； （2）根据整式的运算法则展开，几何图形面积的特点即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 图形的面积为：， ∴当都不为0时，； （2）解： ， ∴， 故答案为：． 【经典例题十一 多项式乘法中的规律性问题】 【例11】 有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘得到，将第2项加上得到第3项……以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论：①第4项为；②；③若第2023项的值为0，则.以上结论正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探索．根据题干所提供的运算方法，分别计算出第2项，的值；第3项，的值，第4项，的值，第5项，的值，……由规律可判断每个结论的正误即可． 【详解】解：根据题意，第1项为，， 第2项为，， 第3项为，， 第4项为，故①正确； ，故②错误； 若第2023项的值为0，即 ∴， 即，，故③正确； 故选：C． 1．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1     1  1     1  2  1     1  3  3  1     1  4  6  4  1     …    … 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，找规律．先根据题中给出项找到规律，再写出问题中第二项的系数即可． 【详解】解：由题知， 展开式中含项的系数是． 故选：A． 2．如图，我们知道展开式中的各项系数依次对应杨辉三角第行中的每一项，给出了“杨辉三角”的前7行，如第4行对应的等式为：，照此规律，计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查数字规律、多项式，观察所求式子与杨辉三角第7行数字的关系，即可求解． 【详解】解： 由题意知，， 故答案为：1． 3．观察下列各式： (1)根据上面各式的规律可得__________； (2)利用（1）的结论求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题考查多项式乘多项式的规律；能够通过所给式子，找到规律，并将所求的式子结合所得规律进行恰当的变形是解题的关键． （1）由所给式子，找到规律直接可得结果； （2）将所求式子变形为即可用规律求解； （3）变形所求为，结合已知即可求解． 【详解】（1）由所给式子可得规律：， 故答案为； （2）； （3）， ． 【经典例题十二 整式乘法混合运算】 【例12】化简a（b﹣c）﹣b（c﹣a）+c（a﹣b）的结果是（    ） A．2ab+2bc+2ac B．2ab﹣2bc C．2ab D．﹣2bc 【答案】B 【分析】原式先利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：a（b﹣c）﹣b（c﹣a）+c（a﹣b） ＝ab﹣ac﹣bc+ab+ac﹣bc ＝2ab﹣2bc． 故选：B． 【点睛】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 1．已知一个多项式的2倍与的和等于，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出代数式，根据整式的加减进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意，这个多项式是 故选D 【点睛】本题考查了整式加减乘除混合运算，根据题意列出式子是解题的关键． 2．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 行第 列． 【答案】 64 5 【分析】找到第n行第n列的数字，找到规律，代入2021即可求解 【详解】通过观察发现： 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 …… 故第n行第n列数字为：， 则第n行第1列数字为：，即+1 设2021是第n行第m列的数字，则： 即,可以看作两个连续的整数的乘积， 为正整数， 当时， 故答案为：64，5 【点睛】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键． 3．一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为，，，然后在黑板上写了一个等式：（，为常数）． (1)求，的值； (2)当为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）． 【答案】(1)， (2)这个活动小组有5个人 【分析】本题考查了等式的性质、整式的混合运算，熟练掌握等式的性质及整式的混合运算法则是解题的关键． （1）先求出，再根据即可求解； （2）根据题意求出，再结合的结果都能被这个活动小组的人数整除即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵ ∴ ∴，解得： （2）解：由（1）得： ∴， ∴ ∵的结果都能被这个活动小组的人数整除， ∴这个活动小组有5个人 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：−2ab•a2＝−2a3b． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了单项式乘单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2．计算的结果中一次项为，则常数的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，利用多项式乘多项式的法则将原式计算后得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：， 则， 解得：， 故选：A． 3．若的展开式中不包含项和项，则（    ） A．-4 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、二元一次方程组的求解、代数式求值，准确计算是解题的关键．根据多项式乘以多项式的方法展开，根据已知条件求出m，n，代入求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不包含项和项， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 4．在矩形中将边长分别为和的两张正方形纸片()按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当 时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，理解题意并用代数式表示出面积是解题的关键．根据题意设，则，根据面积公式分别用含、、的式子表示出和即可得到的值． 【详解】解： 设，则， 故选：B． 5．在下列式子中，能反映如图所示的拼图过程的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】】本题考查了整式的有关运算，先计算出左边四个拼图的面积和，再计算拼成的图形的面积，从而得到答案即可 【详解】解：观察图形可知：左边四个拼图的面积和为：， 右边拼成的图形的是长为，宽为，拼成的图形的面积为， ， 反映如图所示的拼图过程的是：， ∴A，C，D选项均不符合题意，B选项符合题意， 故选：B． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式运算，先进行乘方运算，再进行乘法运算即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 7．如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．若关于的二次三项式能被多项式整除，则的值是 ． 【答案】2 【分析】设二次三项式除以多项式的商式为(x+m)，则=(x+m)，再按多项式法则展开，即可求解． 【详解】解：设二次三项式能被多项式的商式为(x+m)，则 =(x+m)＝x2+(m-2)x-2m， ∴，解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式法则，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键． 9．【定义新运算】把任意数对放入魔盒后，会得到新的运算：． 【解决新问题】把数对放入该魔盒，得到结果；把数对再次放入该魔盒，得到的结果为 ． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则先计算再计算，即可得到答案． 【详解】解：由题意得： 把数对再次放入该魔盒，得到的结果为： 故答案为： 【点睛】本题考查的是新定义运算，同时考查了单项式乘以多项式，理解新定义运算法则的含义是解本题的关键． 10．观察下列各式： ； ； ； 根据规律可得 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式及数字的变化，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题．根据规律答题即可． 【详解】， ， ； ， 故答案为： 11．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式； （1）先进行幂的运算，再进行单项式乘以多项式运算，即可求解； （2）先进行幂的运算和单项式乘以多项式，去括号，合并同类项，即可求解； 掌握项式乘以多项式的法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查整式的乘法，化简求解． （1）根据单项式乘多项式的法则计算即可； （2）根据整式的乘法，合并同类项进行计算，再代入求值． 【详解】（1）； （2） ， 当时，原式． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，单项式乘多项式，熟练掌握相关的运算法则是解题关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可； （2）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可； （3）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可； （4）根据单项式乘多项式的运算法则进行运算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 14．在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为－3x． 请参考上面的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______； (2)如果计算所得多项式不含一次项，则常数a的值是______； (3)如果，则的值是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律探究，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据题干提示列式计算即可； （2）根据给定的方法可得出一次项系数，进一步求解即可； （3）根据给定的方法找出的一次项系数即可． 【详解】（1）解：所得多项式的一次项系数为： ； （2）根据题意，一次项系数， 即， 解得； （3）的一次项系数为： ， ， 15．阅读下列材料并解答问题：通过学习，我们知道可以用图1中图形的面积来解释公式，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如图，图形的面积可解释恒等式． (1)请写出图表示的代数恒等式为 ； (2)试画出一个几何图形，可以用图形的面积解释恒等式：； (3)请仿照上述方法另写一个含，的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．代数恒等式为： ． 【答案】(1) (2)图见解析； (3)（答案不唯一）． 【分析】（）图（）中大长方形的长为，宽为，根据题意列出恒等式； （）根据给出的恒等式，画出的几何图形的长为 ，宽为即可； （）根据给出的例子画出几何图形，并写出恒等式即可； 本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，掌握相关的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）图面积的表示： 方法一：， 方法二：， ∴， 故答案为：； （2）如图， 面积表示： 方法一：， 方法二：， ∴； （3）如图， 故答案为：（答案不唯一）． 学科网（北京）股份有限公司 $$