1.3 直线的方程（第1课时 直线方程的点斜式与斜截式）课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版 数学 选择性必修第一册 第一章　直线与圆 1.3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式与斜截式 课标定位 素养阐释 1.理解直线方程的点斜式、斜截式,明确其形式特点及适用范 围,培养数学抽象素养. 2.能利用点斜式、斜截式求出直线的方程,提升数学运算素养. 3.理解直线截距的概念,会求直线的截距. 4.能利用直线方程的点斜式、斜截式解决简单的实际应用问题. 自主预习 新知导学 一、直线方程的点斜式 【问题思考】 1.(1)若直线经过点P0(x0,y0),且斜率为k,则该直线上任意一点的坐标满足什么关系? (2)过点(2,1)且垂直于x轴或y轴的直线方程是怎样的? 提示:垂直于x轴的直线方程为x=2,垂直于y轴的直线方程为y=1. 2.(1)直线的方程 一般地,如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的 解 ,并且以这个方程的解为坐标的点都在 直线l 上,那么这个方程称为直线l的方程. (2)直线方程的点斜式:经过点P(x0,y0),且斜率为k的直线方程的点斜式为 y-y0=k(x-x0) ;特殊地,当直线l的斜率为0,即k=0时,直线l与x轴平行(或重合),直线方程为 y=y0 . 3.与x轴的交点为(2,0),且倾斜角为45°的直线的方程为(　　). A.y=-x+2 B.y=-x-2 C.y=x+2 D.y=x-2 解析:由题意,知所求直线的斜率k=tan 45°=1. 故所求直线方程为y-0=1×(x-2),即y=x-2. 答案:D 二、直线方程的斜截式 【问题思考】 1.经过y轴上一点(0,b)且斜率为k的直线方程是什么? 2.直线方程的斜截式:经过点(0,b)且斜率为k的直线方程的斜截式为 y=kx+b ,其中b为这条直线在y轴上的 截距 .倾斜角是 90°的直线无斜截式. 若直线l经过点P(x0,y0),且与 x轴 垂直,则直线l的斜率k不存在,此时它的特点是:直线l上任意一点的横坐标都是x0,所以直线l的方程为 x=x0 . 3.直线y=2x-1在y轴上的截距为(　　). A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析:当x=0时,y=-1,即直线在y轴上的截距为-1. 答案:C 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√ ”,错误的画“×”. (1)过点P的直线都可用点斜式写出.(　　) (2)过点P(x0,y0)且与x轴垂直的直线方程是y=y0.(　　) (3)直线的点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的任何直线.(　　) × × √ √ 合作探究 释疑解惑 探究一 直线方程的点斜式 【例1】 根据条件写出下列直线的方程(能用点斜式表示的用点斜式表示). (1)斜率为- ,且过点(2,-2); (2)经过点(3,1),倾斜角为45°; (3)斜率为 ,与x轴交点的横坐标为-5; (4)过点C(-2,3),且与x轴垂直. 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 求直线方程的点斜式的步骤 探究一 探究二 探究三 【变式训练1】 (1)过点(-1,2),且倾斜角为135°的直线的方程为　　　　　　　　　.  (2)斜率为 ,与x轴交点的横坐标为-7的直线方程的点斜式为　　　　　　　　　.  探究一 探究二 探究三 解析:(1)由题意,知直线的斜率k=tan 135°=-1,所以由直线方程的点斜式得y-2=-(x+1),即x+y-1=0. 探究一 探究二 探究三 探究二 直线方程的斜截式 【例2】 根据条件写出下列直线方程的斜截式. (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; (2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2; (3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 直线方程的斜截式的求解策略 (1)直线方程的斜截式是点斜式的特殊形式,其适用前提是直线的斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示. (2)直线方程的斜截式y=kx+b中只有两个参数,因此要求解某直线方程,只需两个独立的条件. (3)利用直线方程的斜截式求方程务必灵活,如果已知斜率k,只需引入参数b;同理,如果已知直线在y轴上的截距b,只需引入参数k. 探究一 探究二 探究三 【变式训练2】 根据条件写出下列直线方程的斜截式. (1)经过点A(3,4),与x轴交点的横坐标为2; (2)斜率与直线y=-x的斜率相等,在y轴上的截距与直线y=2x+3在y轴上的截距相等. 解:(1)由于直线过点A(3,4)和点(2,0),故直线的斜率 =4.由直线方程的点斜式,得y-0=4×(x-2)=4x-8,故所求直线方程的斜截式为y=4x-8. (2)由题意知所求直线的斜率为-1,在y轴上的截距为3,∴所求直线方程的斜截式为y=-x+3. 探究一 探究二 探究三 探究三 直线方程的点斜式与斜截式的应用 【例3】 已知直线l经过点P(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l的方程. 分析:先判断出直线的斜率一定存在,设出直线方程的点斜式或斜截式,再去构造方程求解. 探究一 探究二 探究三 解:由题意知,直线l与两坐标轴不垂直,否则不能构成三角形,设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y-3=k(x+2),令x=0,得y=2k+3; 探究一 探究二 探究三 1.若将本例中“直线l经过点P(-2,3)”改为“直线l的斜率为-2”,其他条件不变,求直线l的方程. 解:设直线l的方程为y=-2x+b, 令x=0得y=b; 所以b=±4. 所以直线l的方程为y=-2x+4或y=-2x-4. 探究一 探究二 探究三 2.若将本例中“且与两坐标轴围成的三角形的面积为4”改为“且在两坐标轴上的截距相等”,其他条件不变,求直线l的方程. 解:由题意知直线的斜率存在,且不为0,设直线的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y-3=k(x+2). 令x=0得y=2k+3. 探究一 探究二 探究三 1.求直线方程时,通常采用待定系数法,即先设出参数,再利用条件求得参数值,即得方程.在直线的斜率存在的情况下,如果直线的斜率已知,那么通常设直线方程的斜截式,这时方程中含参数b;如果已知直线所经过的某个点的坐标,那么可设点斜式,这时方程中含参数k. 2.截距不是距离,在求解有关周长、面积的问题时,注意两者的区别,必要时应通过绝对值进行转化. 探究一 探究二 探究三 【变式训练3】 已知直线l的斜率为2,且与x轴、y轴围成的三角形的面积为36,求直线l与x轴、y轴围成的三角形的周长. 探究一 探究二 探究三 随堂练习 1.方程y=k(x-2)表示(　　). A.经过点(-2,0)的所有直线 B.经过点(2,0)的所有直线 C.经过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D.经过点(2,0)且除去x轴的所有直线 解析:易验证直线经过点(2,0),又直线的斜率存在,故直线不垂直于x轴. 答案:C 2.已知直线y=kx+b经过第一、三、四象限,则有(　　). A.k>0,b>0 B.k>0,b<0 C.k<0,b>0 D.k<0,b<0 解析:∵直线y=kx+b经过第一、三、四象限, ∴可画出大致图象如图,可知,k>0,b<0. 答案:B (第2题答图) 答案:BC 4.斜率为4,且经过点(2,-3)的直线方程的点斜式是　　　　　.  解析:由直线方程的点斜式可得y+3=4(x-2). 答案:y+3=4(x-2) 5.已知直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,且过点P(3,3),则直线l的方程为　　　　　.  解析:因为直线y=x+1的斜率为1,所以其倾斜角为45°.又直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,所以直线l的倾斜角为90°,其斜率不存在. 又直线过点P(3,3),所以直线l的方程为x=3. 答案:x=3 6.求斜率为直线y= x+1的斜率的倒数,且分别满足下列条件的直线的 方程. (1)经过点(-4,1); (2)在y轴上的截距为-10. 提示:设P(x,y) 是直线上不同于点P0的任意一点,则=k,即y-y0=k(x-x0),点P0也满足该式,即该直线上任意一点的坐标都满足方程y-y0=k(x-x0). 提示:设直线上不同于点(0,b) 的任意一点的坐标为(x,y),则=k,即y=kx+b,(0,b)也满足该式,所以所求直线方程为y=kx+b. (4)方程=k与方程y-y0=k(x-x0)并不一致.后者是直线方程的点斜式,表示整条直线,前者由于x≠x0, 因此方程表示的图形是直线去掉点(x0,y0). (　　) 解:(1)因为所求直线的斜率为-,又过点(2,-2),所以所求直线方程的点斜式为y+2=-(x-2). (2)由题意,可得直线的斜率k=tan 45°=1, 所以所求直线方程的点斜式为y-1=x-3. (3)由直线与x轴交点的横坐标为-5,得直线过点(-5,0).又直线的斜率为,所以直线方程的点斜式为y-0=[x-(-5)], 即y-0=(x+5). (4)因为直线与x轴垂直,所以斜率不存在. 又过点C(-2,3),故所求直线方程为x=-2. (2)由直线与x轴交点的横坐标为-7,得直线过点(-7,0).又直线的斜率为,所以所求直线方程的点斜式为y-0=(x+7). 答案:(1)x+y-1=0　(2)y-0=(x+7) 解:(1) 由题意知,所求直线方程的斜截式为y=2x+5. (2)∵直线的倾斜角为150°,∴斜率k=tan 150°=-, 又直线在y轴上的截距是-2, ∴直线方程的斜截式为y=-x-2. (3)∵直线的倾斜角为60°,∴其斜率k=tan 60°=. ∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3, ∴直线在y轴上的截距b=3或b=-3. ∴所求直线方程的斜截式为y=x+3或y=x-3. k= 令y=0,得x=--2, 于是直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为=4, 即(2k+3)+2=±8.若(2k+3)+2=8,整理得4k2+4k+9=0,无解. 若(2k+3)+2=-8,整理得4k2+20k+9=0,解得k=-或k=-. 所以直线l的方程为y-3=-(x+2)或y-3=-(x+2),即y=-x+2或y=-x-6. 令y=0得x=. 由题意,得|b|·=4,即|b|2=16. 令y=0,得x=--2. 由题意,得2k+3=--2,解得k=-或k=-1. 所以直线l的方程为y=-x或y=-x+1. 解:由于直线l的斜率为2,故可设直线l的方程为y=2x+b. 令x=0,得y=b;令y=0,得x=-. 由已知得·|b|·=36,解得b=±12.所以直线l的方程为y=2x+12或 y=2x-12. 当b=12时,直线l与x轴、y轴的交点分别为点(-6,0),(0,12); 当b=-12时,直线l与x轴、y轴的交点分别为点(6,0),(0,-12). 故所求三角形的周长为6+12+=18+6. 3.(多选题)下列四个说法中,正确的有(　　). A.方程k=与方程y-2=k(x+1)表示同一条直线 B.直线l过点P(x0,y0),倾斜角为90°,则其方程为x=x0 C.直线l过点P(x0,y0),斜率为0,则其方程为y=y0 D.所有直线都有点斜式和斜截式方程 解:直线y=x+1的斜率为,由题意,知所求直线的斜率为. (1) 因为直线经过点(-4,1),所以由直线方程的点斜式得y-1=(x+4),即y=x++1. (2)由题意,知直线在y轴上的截距为-10, 所以由直线方程的斜截式得y=x-10. $$