专题6.1 等差数列及等比数列（十大题型）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精练（新高考专用）

专题6.1 等差数列及等比数列 题型一 等差数列基本量的计算 题型六 等比数列基本量的计算 题型二 等差数列的判定与证明 题型七 等比数列的判定与证明 题型三 等差数列的性质 题型八 等比数列的性质 题型四 等差数列前n项和的性质 题型九 等比数列的最值问题 题型五 等差数列的最值问题 题型十 等差等比的综合 知识点1等差数列及其前项和 1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 4.等差数列的前项和 等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 题型一 等差数列基本量的计算 例1．已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．7 C．14 D． 例2．已知等差数列，，其前项和为，若，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 练习1．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（    ） A．64 B．14 C．12 D．3 练习2．设等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 练习3．记为等差数列的前项和，若，则（   ） A．112 B．122 C．132 D．142 练习4．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 题型二 等差数列的判定与证明 例3．在数列中，，，若，则 ． 例4．已知数列满足，且，证明：是等差数列. 练习1．在数列中，，且，则 ． 练习2．已知各项均为正数的数列中，为的前项和，.证明：数列是等差数列. 练习3．已知数列满足．证明：数列是等差数列； 练习4．已知数列中，，，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； 知识点2等差数列的性质 1．等差数列的常用性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 2．与等差数列各项的和有关的性质 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4），． 题型三 等差数列的性质 例5．已知数列是等差数列，若，则等于（    ） A．7 B．21 C．14 D．17 例6．三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 练习1．已知等差数列满足，则的值为（    ） A．－3 B．3 C．－12 D．12 练习2．已知数列对任意正整数都有，且，是方程的两个实根，则 ． 练习3．已知正项等差数列满足，则 . 练习4．（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数. （2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数. 题型四 等差数列前n项和的性质 例7．设为等差数列的前项和，已知，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 例8．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A．5 B．6 C．9 D．11 练习1．在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 练习2．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 练习3．已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 练习4．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是300，则此数列的项数为 ． 题型五 等差数列的最值问题 例9．在等差数列中，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．满足的的最大值为 例10．已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．时，取最大值 练习1．等差数列的前n项和为，已知，若存在正整数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 练习2．已知数列满足，其中，设为数列的前n项和，则下列选项正确的有（    ） A．为等差数列 B． C． D．当时，有最大值 练习3．已知在等差数列的前n项和为，已知，为整数，，则 ． 练习4．已知一个等差数列前10项的和是，前20项的和是. (1)求这个等差数列的前n项和. (2)求使得最大的序号n的值. 知识点3等比数列及其前n项和公式 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 4．等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 5.等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 题型六 等比数列基本量的计算 例11．已知等比数列的前n项和为，若，，则=（    ） A． B． C． D．7 例12．设等比数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．63 C． D．31 练习1．已知首项为1的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （   ） A．24 B．12 C．20 D．15 练习2．若两个等比数列的公比相等，且，则数列的前7项和为（    ） A． B．43 C． D．47 练习3．设等比数列的前n项和为，若，则的值为 练习4．已知等比数列的首项为8，是其前n项的和，某同学经计算得，，，，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为（    ） A． B． C． D． 题型七 等比数列的判定与证明 例13．已知数列满足，，则下列是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 例14．已知数列中，，.证明：是等比数列； 练习1．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（    ） A．不可能为等比数列 B．可能为等差数列 C．是等差数列 D．是等比数列 练习2．已知数列的前项和为，且，若，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等差数列 练习3．已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并指出其首项及公比； (2)求数列的通项公式． 练习4．已知数列满足，.证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； 知识点4等比数列及其前n项和的性质 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 题型八 等比数列的性质 例15．在各项均为正数的等比数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例16．如果，，，，成等比数列，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 练习1．在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（    ） A．10 B．16 C． D．4 练习2．记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（    ） A．-7 B．5 C．6 D．7 练习3．已知数列为等比数列，则（    ） A．数列，，成等比数列 B．数列，，成等比数列 C．数列，，成等比数列 D．数列，，成等比数列 练习4．已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 题型九 等比数列的最值问题 例17．已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 例18．在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 练习1．设数列是各项均为正数的等比数列，是的前项之积，，，则当最大时，的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 练习2．已知等比数列的前项积为，公比，则（    ） A． B． C．当时，最小 D．当时，最大 练习3．已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且满足，，，则（    ） A． B． C．对任意的正整数，有 D．使得的最小正整数为4047 练习4．已知等比数列满足，公比，且，，则（    ） A． B．当时，最小 C．当时，最小 D．存在，使得 题型十 等差等比的综合 例19．已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（   ） A．35 B．33 C．31 D．30 例20．在等差数列中，已知，与的等差中项为，等比中项为，则通项公式 ；前项和 . 练习1．已知等比数列满足：，且是与的等差中项，则（    ） A．32 B．2 C．1 D． 练习2．已知递增的等比数列的前项和为，若是与的等差中项，则（    ） A．21 B．21或57 C．21或75 D．57 练习3．在数列中，，，是和的等差中项，设为数列的前项和，则＝ . 练习4．已知数列中，，（，），且是和的等差中项． (1)求实数的值； (2)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式． 一、单选题 1．已知等差数列中，，且公差，则其前n项和取得最大值时n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．已知数列是公差不为0的等差数列，则“”是“”成立的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 4．已知等比数列 的公比为 ， 前 项积为 ， 若 ， 且 ， ， 均有 ，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，对，，都有，为数列的前n项乘积，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的前n项和为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．数列是递增的等差数列，前项和为，满足则下列选项正确的是（    ） A． B． C．当时，最小 D．时，的最小值为7 8．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 三、填空题 9．在等差数列 中， 若 ， 则 ・ 10．对于数列，定义数列为数列的“差数列”．若，数列的“差数列”是首项为，公比为的等比数列，则 ；数列的前项和 ． 11．已知各项均为正整数的递增数列的前n项和为，若，，当n取最大值时，的值为 ． 四、解答题 12．等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值. 13．设数列的前n项和为，，且数列是以为公比的等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求． 14．已知数列的首项，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． 15．记为等比数列的前n项和，已知公比，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求，并判断，，是否成等差数列，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.1 等差数列及等比数列 题型一 等差数列基本量的计算 题型六 等比数列基本量的计算 题型二 等差数列的判定与证明 题型七 等比数列的判定与证明 题型三 等差数列的性质 题型八 等比数列的性质 题型四 等差数列前n项和的性质 题型九 等比数列的最值问题 题型五 等差数列的最值问题 题型十 等差等比的综合 知识点1等差数列及其前项和 1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 4.等差数列的前项和 等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 题型一 等差数列基本量的计算 例1．已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．7 C．14 D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 则， 故选：B. 例2．已知等差数列，，其前项和为，若，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 【答案】A 【详解】设数列的公差为，则， 故， ， 故，则. 故选：A. 练习1．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（    ） A．64 B．14 C．12 D．3 【答案】C 【详解】利用等差数列求和公式，知道，即. ，且，则. 故选：C. 练习2．设等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由， 故，则， 由得，故，故公差为， 故选：C 练习3．记为等差数列的前项和，若，则（   ） A．112 B．122 C．132 D．142 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 所以. 故选：C 练习4．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 解得，所以. 故选：A. 题型二 等差数列的判定与证明 例3．在数列中，，，若，则 ． 【答案】506 【详解】由题意可得，故数列为等差数列，4为公差， 则，故令，解得. 故答案为：. 例4．已知数列满足，且，证明：是等差数列. 【答案】证明见解析 【详解】因为，所以， 所以，即 所以是以为首项，为公差的等差数列. 练习1．在数列中，，且，则 ． 【答案】 【详解】因为，故为等差数列且公差为， 故， 故答案为：. 练习2．已知各项均为正数的数列中，为的前项和，.证明：数列是等差数列. 【答案】证明见解析 【详解】在正数的数列中，，当时，， 两式相减得：，整理得， 显然，则，又， 即，，解得，有，满足， 所以是以为首项，为公差的等差数列. 练习3．已知数列满足．证明：数列是等差数列； 【答案】证明见解析 【详解】证明：令，又，则有 ， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列 练习4．已知数列中，，，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； 【答案】证明见解析，. 【详解】当时，由，得，显然， 两边同时取倒数得，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； 因此，即，解得， 显然时，符合上式， 所以数列的通项公式为. 知识点2等差数列的性质 1．等差数列的常用性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 2．与等差数列各项的和有关的性质 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4），． 题型三 等差数列的性质 例5．已知数列是等差数列，若，则等于（    ） A．7 B．21 C．14 D．17 【答案】C 【详解】由等差数列性质，数列为等差数列，若，， 则， 因为数列为等差数列，， 所以，又， 所以， 因为数列为等差数列，， 所以， 故选：C. 例6．三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 【答案】，2，6或6，2， 【详解】 设这三个数分别为．由题意可得 解得或 故所求三个数为，2，6或6，2，． 故答案为：或. 练习1．已知等差数列满足，则的值为（    ） A．－3 B．3 C．－12 D．12 【答案】A 【详解】由等差中项的性质可得，，解得， ∵，∴． 故选：A 练习2．已知数列对任意正整数都有，且，是方程的两个实根，则 ． 【答案】9 【详解】因为数列对任意正整数都有，所以数列是等差数列， 因为，是方程的两个实根，由根与系数的关系可得， 因为数列是等差数列，所以，，可得， 所以， 故答案为：9. 练习3．已知正项等差数列满足，则 . 【答案】1 【详解】因为为等差数列，且， 则，即， 且，所以. 故答案为：1. 练习4．（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数. （2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数. 【答案】（1），，；（2），，，. 【详解】（1）设这三个数依次为，，， 由题意可得：，解得：， 所以这三个数依次为，，. （2）设这四个数依次为，，， (公差为)， 由题意可得，解得或(舍)， 故所求的四个数依次为，，，. 题型四 等差数列前n项和的性质 例7．设为等差数列的前项和，已知，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【详解】由等差数列的性质可知，，，，，，成等差数列， 且，，可知首项为4，公差为2， 所以. 故选：B. 例8．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A．5 B．6 C．9 D．11 【答案】C 【详解】因为等差数列和的前项和分别为和，且， 所以. 故选：C 练习1．在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 【答案】 【详解】由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列， 设其公差为d，则由， 可得，即． 又， 所以， 所以． 故答案为：. 练习2．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 【答案】B 【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列， 即，即，解得. 故选：B. 练习3．已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 因为数列，都是等差数列， 所以不妨令， 所以， ， 所以. 故选：C 练习4．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是300，则此数列的项数为 ． 【答案】20 【详解】由题意可得： 前4项之和为①， 后4项之和为②， 根据等差数列的性质①②可得： ， 由等差数列的前项和公式可得：， 所以． 故答案为：20. 题型五 等差数列的最值问题 例9．在等差数列中，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．满足的的最大值为 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为，则，解得：； 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，， 当或时，，C正确； 对于D，由得：， 又，满足的的最大值为，D错误. 故选：D. 例10．已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．时，取最大值 【答案】ABD 【详解】在等差数列中，由为， 可得， 所以，可得 又由，所以A正确，B正确； 由，所以，所以C错误； 由且，可得当时，；当时，， 所以，当时，取最大值，所以D正确. 故选：ABD. 练习1．等差数列的前n项和为，已知，若存在正整数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，则， 即有，则， 即， 令，解得，故当时，， 即恒成立，故k的值为20. 故选：B. 练习2．已知数列满足，其中，设为数列的前n项和，则下列选项正确的有（    ） A．为等差数列 B． C． D．当时，有最大值 【答案】AD 【详解】由得， 且， 所以是以首项为公差为的等差数列，故A正确； 所以，故B错误； ，故C错误； ， 因为时，所以当时有最大值，为，故D正确. 故选：AD. 练习3．已知在等差数列的前n项和为，已知，为整数，，则 ． 【答案】 【详解】解：由，为整数知，等差数列的公差为整数d， 又，所以，， 所以，， 解得，所以， 所以数列的通项公式为． 故答案为：． 练习4．已知一个等差数列前10项的和是，前20项的和是. (1)求这个等差数列的前n项和. (2)求使得最大的序号n的值. 【答案】(1)Sn= (2)7或8 【详解】（1）解：由题意得S10=，代入公式， 可得，解得， 所以. （2）解：由（1）可得， 因为，所以当或时，取得最大值，最大值为. 知识点3等比数列及其前n项和公式 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形 首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 4．等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 5.等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 题型六 等比数列基本量的计算 例11．已知等比数列的前n项和为，若，，则=（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， 依题意，，， 即， 所以， 解得或， 所以或， 所以. 故选：B 例12．设等比数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．63 C． D．31 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为， ，， ， 解：， ， 解得：， 则， 故选：C． 练习1．已知首项为1的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （   ） A．24 B．12 C．20 D．15 【答案】D 【详解】设等比数列 的公比为，显然，否则，此等式不成立， 则，由，整理得，即， 因此，所以. 故选：D 练习2．若两个等比数列的公比相等，且，则数列的前7项和为（    ） A． B．43 C． D．47 【答案】B 【详解】因为两个等比数列的公比相等，设为， 则，且， 故，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 由，得 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的前7项和． 故选：B. 练习3．设等比数列的前n项和为，若，则的值为 【答案】 【详解】解：由题意可得，公比，根据，故由可得，化简可得．则. 故答案为：. 练习4．已知等比数列的首项为8，是其前n项的和，某同学经计算得，，，，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，知正确； 若错误，则，正确，于是，，，与为等比数列矛盾，故； 若错误，则正确，此时，，，则，故，符合题意． 若错误，则正确，此时，，令公比为且，则， 所以，可得，，而，不符合. 故选：C 题型七 等比数列的判定与证明 例13．已知数列满足，，则下列是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，， 可得，即，解得， 又，即，解得， 由，，，，故A错误； 由，，，，故B错误； 由，，，，故C错误； 由，可得， 即为，又，可得是首项为3，公比为的等比数列，故D正确． 故选：D. 例14．已知数列中，，.证明：是等比数列； 【答案】证明见解析 【详解】因为数列中，，， 所以，且， 所以是等比数列，公比为2，首项为2. 练习1．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（    ） A．不可能为等比数列 B．可能为等差数列 C．是等差数列 D．是等比数列 【答案】BC 【详解】对于A中，当为常数列，且时，因为是等比数列，所以为等比数列，所以A错误． 对于B中，当为常数列时，因为为等差数列，所以为等差数列，所以B正确． 对于C中，设的公差为，则，可得， 因为，所以数列是等差数列，所以C正确． 对于D中，设的公比为，则， 当时，不是常数，所以不是等比数列，所以D错误． 故选：BC． 练习2．已知数列的前项和为，且，若，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等差数列 【答案】ABD 【详解】因为数列的前项和为，且， 对于A中，由，且， 所以是以为首项，公比为的等比数列，所以A正确； 对于B中，由，且， 所以数列是以，公比为的等比数列，所以B正确； 对于C中，由，可得， 即时，， 又由，，所以的奇数项均为0，偶数项均为． 所以的奇数项为等差数列，偶数项为等差数列，所以C错误． 对于D中，当时，即， 所以是每项均为的常数列，也是等差数列，所以D正确． 故选：ABD. 练习3．已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并指出其首项及公比； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析，首项为2，公比为2. (2) 【详解】（1）， ， ， ，， 数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）得， 当时，， 当时，也满足上式， 故 练习4．已知数列满足，.证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； 【答案】证明见解析， 【详解】因为，所以， 则，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 所以. 知识点4等比数列及其前n项和的性质 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 题型八 等比数列的性质 例15．在各项均为正数的等比数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为数列为等比数列，且， 所以， 所以， 故选：C. 例16．如果，，，，成等比数列，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则，， ，. 故选：C. 练习1．在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（    ） A．10 B．16 C． D．4 【答案】C 【详解】依题意，得，而，所以． 故选：C 练习2．记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（    ） A．-7 B．5 C．6 D．7 【答案】BD 【详解】， ， 又，而， 或. 故选：. 练习3．已知数列为等比数列，则（    ） A．数列，，成等比数列 B．数列，，成等比数列 C．数列，，成等比数列 D．数列，，成等比数列 【答案】BD 【详解】设等比数列的公比为， A.由等比数列的性质知，，当时，，故A错误； B.可知数列，，每项都不为0，且，故B正确． C.当数列为1，，1，，1……时，，故C错误； D.数列，，的每一项都不为0，且，故D正确. 故选：BD 练习4．已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为数列为正项等比数列，， 设，则，则， 由于是等比数列，所以也成等比数列， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 题型九 等比数列的最值问题 例17．已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，有， 由函数单调递增，且，可得. 有，由数列单调递减， 所以取得最大值时的值为9， 故选：B. 例18．在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】设正项等比数列公比为q，由得，于是得，而，解得， 因此，，，由得：， 从而得：，而，解得，又，则， 所以n的最小值为5. 故选：C 练习1．设数列是各项均为正数的等比数列，是的前项之积，，，则当最大时，的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】BC 【详解】设等比数列的公比为，则，可得， 又，则，解得（负值舍去）， 所以，， 令，解得，且当时，， 故当最大时，或5． 故选：BC． 练习2．已知等比数列的前项积为，公比，则（    ） A． B． C．当时，最小 D．当时，最大 【答案】BC 【详解】对于选项A，B：由题意知，由，得， 所以，得，所以，且， 所以，故A错误，B正确. 对于选项C，D：因为，， 所以数列为递增数列，且当时，，当时，， 所以当时，最小，故C正确，D错误. 故选：BC 练习3．已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且满足，，，则（    ） A． B． C．对任意的正整数，有 D．使得的最小正整数为4047 【答案】BD 【详解】依题意，， 由于，所以或. 若，则，则矛盾， 所以，则，所以A选项错误. ，B选项正确. 由于，所以的最小值为，即，所以C选项错误. ， 由于，所以，所以， 所以， 由于，且，所以当时，， 综上所述，使得的最小正整数为，所以D选项正确. 故选：BD 练习4．已知等比数列满足，公比，且，，则（    ） A． B．当时，最小 C．当时，最小 D．存在，使得 【答案】AC 【详解】对A，∵，，∴，又，， ∴，故A正确； 对B，C，由等比数列的性质，，故，，， ∴，∵，，，∴，， ∴，故当时，最小，B错误，C正确； 对D，当时，，故，故D错误. 故选：AC． 题型十 等差等比的综合 例19．已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（   ） A．35 B．33 C．31 D．30 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为， ，， ，， 与的等差中项为， ，即， 解得， ， 由，可得， . 故选：D. 例20．在等差数列中，已知，与的等差中项为，等比中项为，则通项公式 ；前项和 . 【答案】 【详解】由题意，，，又，故， 设公差为则，解得，故. 则. 故答案为：； 练习1．已知等比数列满足：，且是与的等差中项，则（    ） A．32 B．2 C．1 D． 【答案】D 【详解】由等比数列得，，， 因为，所以，即，化简得， 因为是与的等差中项，所以，即， 化简得，解得，则， 所以， 故选：D． 练习2．已知递增的等比数列的前项和为，若是与的等差中项，则（    ） A．21 B．21或57 C．21或75 D．57 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为q， 由是与的等差中项，得， 解得或， 当时，，满足题意， 当时，，此时等比数列是递减数列，不合题意； 故，，则， 故选：A 练习3．在数列中，，，是和的等差中项，设为数列的前项和，则＝ . 【答案】189 【详解】  由，得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，得， 因为是和的等差中项，所以， 所以 故答案为：. 练习4．已知数列中，，（，），且是和的等差中项． (1)求实数的值； (2)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【详解】（1）根据题意有， 因为是和的等差中项， 所以，解得． （2）由（1）知，所以， 又，所以（常数）， 所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列． 则，所以． 一、单选题 1．已知等差数列中，，且公差，则其前n项和取得最大值时n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】，且公差，故 所以则 故等差数列中，前10项为正数，后面都为负数， 故前n项和取得最大值时n的值为10. 故选：C 2．已知数列是公差不为0的等差数列，则“”是“”成立的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设等差数列的公式为， 当时，则，故充分性满足； 当时，即， ， 即，且，则， 即，故必要性满足； 所以“”是“”成立的充分必要条件. 故选：A 3．正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】C 【详解】由题意可得， 又正项等差数列的公差为d，已知， 所以，即， 解得或（舍去）， 故选：C. 4．已知等比数列 的公比为 ， 前 项积为 ， 若 ， 且 ， ， 均有 ，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当 时， 注意到 ， 因此 ， 即 解得 ; 当 时， 则 即 解得 ， 则 的取值范围为 . 故选 ：D. 5．已知数列满足，对，，都有，为数列的前n项乘积，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对，，都有， 所以令，有，则有， 令，有， 又因为，所以， 因为， ，且， 所以，即， 所以， 则，所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以 ， 故选：A. 6．已知等差数列的前n项和为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：，即，可知， 设等差数列的公差为，则， 可得等差数列为递减数列，则， 由可得，则， 所以. 故选：B. 二、多选题 7．数列是递增的等差数列，前项和为，满足则下列选项正确的是（    ） A． B． C．当时，最小 D．时，的最小值为7 【答案】AB 【详解】因为数列是递增的等差数列， 所以，A对； 又因为，得到，B对； 前项和为， 所以当或者时，有最小值，C错； ，得到（舍去）或者， 所以时，的最小值为12，D错. 故选：AB 8．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 【答案】ABC 【详解】对于A，由可得，（*）， 由可得. 当时，因，则，即（*）不成立； 当时，，（*）成立，故，即A正确； 对于B，因，故B正确； 对于C,D，由上分析，且，则是数列中的最大值，故C正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 9．在等差数列 中， 若 ， 则 ・ 【答案】52 【详解】根据题意， 设等差数列 的公差为 d, 若, 则有, 则. 故答案为：52. 10．对于数列，定义数列为数列的“差数列”．若，数列的“差数列”是首项为，公比为的等比数列，则 ；数列的前项和 ． 【答案】 【详解】由题意， 则， 当时， ， 当时，上式也成立， 所以， 所以. 故答案为：；. 11．已知各项均为正整数的递增数列的前n项和为，若，，当n取最大值时，的值为 ． 【答案】73 【详解】因为为增数列且各项均为正整数，，， 若n取最大值时，则当时，均取到最小，即，，，， 即当时，可得，所以数列是以首项为3，公差为1的等差数列， 则，， 又因为， ， ， 若n的最大值为61，则，，符合题意； 若n的最大值为62，则，，不符合题意． 综上所述，当n取最大值时，的值为73． 故答案为：73. 四、解答题 12．等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值. 【答案】(1)； (2)，最大值为16 【详解】（1）设公差为，则， 解得， 故的通项公式为； （2）， 由于， 故当时，取得最大值，最大值为. 13．设数列的前n项和为，，且数列是以为公比的等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：，且数列是以为公比的等比数列， ①当时，则， 因为，可得； ②当时，则， 因为，可得； 且符合上式，综上所述：. （2）①当时，由（1）可知：， 所以； ②当时，由（1）可知：， 则， 可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 且符合上式，综上所述：. 14．已知数列的首项，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由可得， 因为，所以，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列． （2）设数列的前n项和为，则， 所以． 15．记为等比数列的前n项和，已知公比，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求，并判断，，是否成等差数列，说明理由． 【答案】(1) (2)；，，成等差数列，理由见解析 【详解】（1）由题意得，，， 整理得，解之得或2． 因为公比，所以． 由等比数列通项公式可得． （2）由等比数列的前n项和公式及（1）得． 所以，又，， 因此，所以，，成等差数列． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$