精品解析： 重庆市南岸区四川外语学院重庆第二外国语学校2023-2024学年九年级下学期中考模拟数学试题

定时作业（14） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 1．参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. －6的绝对值是（ ） A. -6 B. 6 C. - D. 2. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数经过点，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 4. 如图，直线AB，CD被直线CE所截，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则与的周长之比为（ ） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶9 D. 3∶1 6. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 7. 按照如图所示的方法铺设黑、白两色的小正方形地砖，第1个图案中有1块黑色小正方形地砖，第2个图案中有5块黑色小正方形地砖，第3个图案中有13块黑色小正方形地砖，…，则第7个图案中黑色小正方形地砖的块数是（ ） A. 25块 B. 61块 C. 85块 D. 113块 8. 如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，，则等于（ ） A. 6 B. 4 C. D. 3 9. 如图，正方形中，点E、F分别是和边的点，满足，连接，过点F作，连接，H是上一点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，，进行“运算”，得．下列说法： ①对，进行“运算”的结果是，则的值是； ②对，，进行“运算”的结果是，则的取值范围是； ③对，，，进行“运算”，化简后的结果可能存在8种不同的表达式． 其中正确的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 12. 如图，已知是正六边形的一条对角线，则的度数为______． 13. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为，则的概率是______． 14. 如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是______． 15. 已知一元二次方程有实数解，则k的取值范围是 ______________． 16. 如图，菱形的对角线，相交于点，，，以为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为________． 17. 若关于的一元一次不等式组至少有两个整数解；且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 18. 一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，若为“逢双数”，则这个数为______；对于“逢双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．若“逢双数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被4整除，则所有满足条件的“逢双数”的最大值与最小值的差为______． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 小文非常喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，她知道了n边形的内角和等于，那么四边形的内角和是，于是她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F（只保留作图痕迹）． （2）探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：∵且， ∴① ∵平分、平分， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴② ∴③ 通过推理论证，小红得到如下结论：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么④ 21. 4月14日，某校初三年级学生参加了体育中考，为了解学生的考试情况，从该校初三年级男生、女生中各随机抽取20名同学的体考成绩（满分为50分）进行整理、描述和分析（体考成绩用x表示，且均为整数，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 抽取的20名男生体考成绩中A等级包含的所有数据为：50，48，50，49，49，48，50，50，50，50，49，48，48，50． 初三年级抽取的男生、女生体考成绩统计表 性别 男生 女生 平均数 47.9 48 中位数 a 49 众数 50 b 满分率 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ______；______；______； （2）根据以上数据，你认为该校初三年级男生和女生谁的体育中考成绩更优异？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校初三年级共有学生800人参加体育中考，估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数． 22. 某校为举办周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯若干，已知骨瓷杯总费用比纪念画册总费用的3倍还多1000元． （1）求纪念画册和骨瓷杯的总费用各是多少元？ （2）若每本纪念画册的进价比每个骨瓷杯的进价多，而骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个．求每本纪念画册和每个骨瓷杯的进价各是多少元？ 23. 如图矩形中，，点为边上的三等分点，动点从点出发，沿折线方向运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，写出时的取值范围． 24. 春天是踏青的好季节，小明和小华决定去公园出游踏青．如图，已知为公园入口，景点位于点东北方向米处，景点位于点南偏东方向，景点在景点的正北方向，景点既位于景点正东方向310米处，又位于景点的北偏西方向．景点既位于景点的正东方向，又位于景点的正南方向．米． （参考数据：） （1）求的长；（精确到个位） （2）小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/分，小明在景点处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点处． 25. 如图，抛物线与轴交于点两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，点是直线上方的抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点为新抛物线上轴左侧的一动点，过点作轴，过点作轴，直线与直线相交于点，连接，将沿直线翻折，若点的对应点恰好落在坐标轴上，请直接写出点的坐标，并选择一个点写出求解过程；若不存在，请说明理由． 26. 在中，，点为直线上一点，连接． （1）如图1，点为延长线上一点，若，求线段的长； （2）如图2，点为延长线上一点，连接并延长到点，连接，把线段绕点逆时针旋转后得到，若点在的延长线上，连接，求证：； （3）把线段绕着点逆时针旋转后得到，点为直线左侧一点且满足，当取最小值时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定时作业（14） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 1．参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. －6的绝对值是（ ） A. -6 B. 6 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 【详解】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6． 故选：B． 2. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形沿着一条直线对折后直线两侧的部分能够重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选C． 3. 反比例函数经过点，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式．将点代入即可求解． 【详解】解：根据题意得：，则， 故选：D． 4. 如图，直线AB，CD被直线CE所截，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质，即可进行解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则与的周长之比为（ ） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶9 D. 3∶1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质．根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴与的周长之比为， 故选：B． 6. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，不等式的性质，二次根式的运算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数在哪两个整数之间． 先计算得到，再估算的范围，再根据不等式的性质即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值在2和3之间， 故选：A． 7. 按照如图所示的方法铺设黑、白两色的小正方形地砖，第1个图案中有1块黑色小正方形地砖，第2个图案中有5块黑色小正方形地砖，第3个图案中有13块黑色小正方形地砖，…，则第7个图案中黑色小正方形地砖的块数是（ ） A. 25块 B. 61块 C. 85块 D. 113块 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形的变化规律，得到第n个图案中黑色小正方形地砖的块数是解题的关键． 【详解】∵第个图案中黑色小正方形地砖的块数， 第个图案中黑色小正方形地砖的块数， 第个图案中黑色小正方形地砖的块数， 第个图案中黑色小正方形地砖的块数， …， 第n个图案中黑色小正方形地砖的块数， ∴第7个图案中黑色小正方形地砖的块数． 故选：C． 8. 如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，，则等于（ ） A. 6 B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用．连接，证明，结合，，可得，，，，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点C， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，正方形中，点E、F分别是和边的点，满足，连接，过点F作，连接，H是上一点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，证明，则，由，可得，由，可得，则，即是的中点，，，由外角的性质可得，，则，根据，计算求解即可， 【详解】解：如图，连接， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 10. 数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，，进行“运算”，得．下列说法： ①对，进行“运算”的结果是，则的值是； ②对，，进行“运算”的结果是，则的取值范围是； ③对，，，进行“运算”，化简后的结果可能存在8种不同的表达式． 其中正确的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键． ①根据“运算”的运算方法进行运算，即可判定； ②根据“运算”的运算方法进行运算，即可判定； ③首先根据“运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【详解】解：①由题意，，可得或，故①错误； ②由题意， ∴，故②错误； ③对，，进行“差绝对值运算”得：， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， ，，的“运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种， 故③错误； ∴①②③都错误，正确的没有． 故选：A． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数次幂及负整数指数次幂的运算，根据实数的零指数次幂及负整数指数次幂进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12. 如图，已知是正六边形的一条对角线，则的度数为______． 【答案】30 【解析】 【分析】根据正六边形，得到，继而得到，解答即可． 本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握多边形的性质的计算是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30． 13. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为，则的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案． 【详解】解：根据题意，画出树状图如下： 一共有9种等可能结果，其中的有6种， ∴的概率是． 故答案为：． 14. 如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，,解答即可． 本题考查了等边三角形性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案为：3． 15. 已知一元二次方程有实数解，则k的取值范围是 ______________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据题意得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：一元二次方程有实数解， 且，即， 解得， 的取值范围为且． 故答案为：且． 16. 如图，菱形的对角线，相交于点，，，以为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据阴影部分的面积等于半圆的面积减去的面积即可得． 【详解】四边形ABCD是菱形，，， ， ， 则阴影部分的面积为， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、圆的面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 17. 若关于的一元一次不等式组至少有两个整数解；且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∴的解集为， ∵不等式组至少有两个整数解， ∴， 解得； ∵， 去分母得：， 整理，得， 故， ∵方程有非负数整数解， ∴， ∴， ∵时，是方程的增根， 此时，无意义，舍去， ∴或或或且 ∴符合题意的整数a的值为， ∴符合条件的所有整数a的和是， 故答案为：． 18. 一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，若为“逢双数”，则这个数为______；对于“逢双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．若“逢双数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被4整除，则所有满足条件的“逢双数”的最大值与最小值的差为______． 【答案】 ①. 7629 ②. 6174 【解析】 【分析】本题考查了新定义，整除问题，理解定义是解题的关键．由为“逢双数”，得，即可求解；设“逢双数”的个位数字为x，十位数字为y，则千位数字为，百位数字为，得，由∵能被4整除，可知能被4整除，进而求得，即可得的最大值，最小值，即可求解． 【详解】解：∵为“逢双数”， ∴，解得：， 即：这个数为7629； 设“逢双数”的个位数字为x，十位数字为y，则千位数字为，百位数字为， 故，， =， ∵能被4整除， ∴， ∴能被4整除， 当时，或； 当时，或； 当时，或； ∵ ∴，时，m取得最大值，且为； ∴，时，m取得最小值，且为； 故最大值与最小值的差为：； 故答案为：． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据多项式乘以多项式，多项式乘以多项式计算即可． （2）根据分式加减乘除运算法则化简计算即可． 本题考查了整式的乘除，分式加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 小文非常喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，她知道了n边形的内角和等于，那么四边形的内角和是，于是她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F（只保留作图痕迹）． （2）探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：∵且， ∴① ∵平分、平分， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴② ∴③ 通过推理论证，小红得到如下结论：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么④ 【答案】（1） 解：如图，为的角平分线， （2）； ； ；另一组对角的角平分线互相平行 【解析】 【分析】本题主要考查作角平分线以及平行线的判定： （1）以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别心为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，过点M作射线交于点，则即为所作； （2）由四边形内角和定理得，由角平分线定义得到，三角形内角和定理得，故可得，从而可得，即可得结论 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵且， ∴， ∵平分、平分， ∴，， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴ 通过推理论证，小红得到如下结论：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线互相平行 21. 4月14日，某校初三年级学生参加了体育中考，为了解学生的考试情况，从该校初三年级男生、女生中各随机抽取20名同学的体考成绩（满分为50分）进行整理、描述和分析（体考成绩用x表示，且均为整数，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 抽取的20名男生体考成绩中A等级包含的所有数据为：50，48，50，49，49，48，50，50，50，50，49，48，48，50． 初三年级抽取的男生、女生体考成绩统计表 性别 男生 女生 平均数 47.9 48 中位数 a 49 众数 50 b 满分率 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ______；______；______； （2）根据以上数据，你认为该校初三年级男生和女生谁的体育中考成绩更优异？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校初三年级共有学生800人参加体育中考，估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数． 【答案】（1），50，10； （2） 女生的体育中考成绩更优异，理由如下： 因为男生和女生成绩的众数、中位数相同，但女生成绩的平均数、满分率均高于男生，所以女生的体育中考成绩更优异； （3）540人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数及意义，利用样本估计总体，正确找出所需数据是解题关键． （1）有题意可知，抽取20名男生的体考成绩中位数为第10和11名男生成绩分别为、，根据中位数的定义求解的值即可；再根据女生成绩的满分率，得出女生成绩50分的人数，根据众数的定义求解的值即可；求出男生成绩中A等级所占的百分比，即可得到的值； （2）根据平均数和中位数的意义分析即可； （3）用总人数乘以样本中初三年级男生和女生A等级的占比求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，抽取20名男生的体考成绩中位数为第10和11名男生成绩的平均数，且A等级包含14个人， 男生成绩的中位数, 由条形统计图可知，抽取20名女生的体考成绩中A等级有13人， 女生成绩的满分率为， 50分的成绩人数为，人数最多， 女生成绩的众数， 男生成绩中A等级所占的百分比为， ， 故答案为：，50，10 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数有540人． 22. 某校为举办周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯若干，已知骨瓷杯总费用比纪念画册总费用的3倍还多1000元． （1）求纪念画册和骨瓷杯的总费用各是多少元？ （2）若每本纪念画册的进价比每个骨瓷杯的进价多，而骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个．求每本纪念画册和每个骨瓷杯的进价各是多少元？ 【答案】（1）纪念画册的总费用为3000元，骨瓷杯的费用为10000元 （2）每本纪念画册的进价为30元，每个骨瓷杯的进价为20元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程和分式方程的实际应用． （1）设纪念画册的总费用为元，则骨瓷杯的费用为（）元，根据花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯，列出方程求解即可； （2）设每个骨瓷杯的进价为元，则每本纪念画册的进价为元，根据骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个列出分式方程求解，检验即可． 【小问1详解】 解：设纪念画册的总费用为元，则骨瓷杯的费用为（）元， 由题意： 解得： 元 答：纪念画册的总费用为3000元，骨瓷杯的费用为10000元． 【小问2详解】 解：设每个骨瓷杯的进价为元，则每本纪念画册的进价为元， 由题意：，解得 经检验，为所列方程的根且符合题意． 元 答：每本纪念画册的进价为30元，每个骨瓷杯的进价为20元． 23. 如图矩形中，，点为边上的三等分点，动点从点出发，沿折线方向运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，写出时的取值范围． 【答案】（1） （2） 用描点法作出函数图象即可， 当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小（答案不唯一）； （3）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用描点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）结合图象列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， ∵点为边上的三等分点（）， ∴，， 分两种情况：①当时，即点P在边上，则 ； ②当时，即点P在边上，则 ， ∴ ； 综上，关于的函数解析式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据函数图象， 当，则，解得：， ； 当，则，解得：， ； 综上，时的取值范围为或． 【点睛】此题考查了求函数解析式，一次函数的图象和性质，矩形的性质，画一次函数图象，矩形的性质，三角形面积，求不等式解集．数形结合和分类讨论是解题的关键． 24. 春天是踏青的好季节，小明和小华决定去公园出游踏青．如图，已知为公园入口，景点位于点东北方向米处，景点位于点南偏东方向，景点在景点的正北方向，景点既位于景点正东方向310米处，又位于景点的北偏西方向．景点既位于景点的正东方向，又位于景点的正南方向．米． （参考数据：） （1）求的长；（精确到个位） （2）小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/分，小明在景点处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点处． 【答案】（1）长约1092米； （2）小华先到景点处 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方位角问题，矩形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形，灵活运算锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，由题意可知，米，，则是等腰直角三角形，求出米，再利用锐角三角函数值，求出米，即可得出BE的长； （2）过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形和四边形都是矩形，得出米，利用锐角三角函数值，求出米，米，米，再分别求出小明和小华的游览时间，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， 米， 米， ， 米，米， （米）． 长约1092米． 【小问2详解】 解：小华先到达景点D处，理由如下： 如图，过点作于点，过点作于点，交于点， 则四边形和四边形都是矩形， ，米，米，， 米， 景点C既位于景点B正东方向310米处，又位于景点D的北偏西方向． （米），， 在中，，， （米），（米）， （米）， 小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟， 小明的游览时间为（分钟）， 在中，米，， （米）， 小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟， 小华的游览时间为（分钟）， 小华的游览时间更短，先到达景点D处． 25. 如图，抛物线与轴交于点两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，点是直线上方的抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点为新抛物线上轴左侧的一动点，过点作轴，过点作轴，直线与直线相交于点，连接，将沿直线翻折，若点的对应点恰好落在坐标轴上，请直接写出点的坐标，并选择一个点写出求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）８， （3）存在，， 证明：根据题意，得，平移了个单位， 且， 故将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位， 故抛物线， 设，根据题意，轴，轴，, ∴， 当落在y轴正半轴上时，根据对称性质得四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 解得舍去， ∴， ∴， 此时； 当落在y轴负半轴上时，根据对称性质得四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 解得舍去， ∴， ∴， 此时； 当落在x轴负半轴上时，根据对称性质，得，， ， ∴，， ， 延长交x轴于点G， 则， ∴， ∴， 解得， ∴， 此时； 综上所述，存在点，且分别为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； （2）过点P作轴交直线于点F，设，则，则，,解答即可． （3）分点在y轴，x轴的负半轴上，根据平移，正方形的性质，三角函数的应用解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， 过点P作轴交直线于点F， 设，则， 则， ∴ ， ∴, , ∴当时，此时，四边形面积最大，最大值为8． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，确定平移要求，构造面积的二次函数运用抛物线的最值计算，正弦函数的应用，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 26. 在中，，点为直线上一点，连接． （1）如图1，点为延长线上一点，若，求线段的长； （2）如图2，点为延长线上一点，连接并延长到点，连接，把线段绕点逆时针旋转后得到，若点在的延长线上，连接，求证：； （3）把线段绕着点逆时针旋转后得到，点为直线左侧一点且满足，当取最小值时，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2） 证明：过点B作于点B，交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取，连接， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故． （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，得，得到，利用勾股定理，得到计算线段的长； （2）过点B作于点B，交于点M，在上截取，连接， ，再，利用勾股定理，线段和解答即可． （3）把线段绕着点逆时针旋转后得到，点为直线左侧一点且满足，当取最小值时，请直接写出此时的值． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：构造等边，以O为圆心，以为半径构造，在左侧圆弧上任取一点E，连接，根据圆周角定理，得， 延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点M的轨迹是直线， 根据垂线段最短，得过点O作于点T，交圆于点Q， 当E与Q重合，M与T重合时，取得最小值， 设， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，垂线段最短，熟练掌握三角函数的应用，全等三角形的应用，最值的确定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $