4.1.2 乘法公式与全概率公式（第1课时 乘法公式） 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第四章　概率与统计 4.1.2　乘法公式与全概率公式 第1课时　乘法公式 课标定位素养阐释 1.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率. 2.体会数学抽象的过程,提升逻辑推理和数学运算素养. 自主预习 新知导学 乘法公式 1.某箱中装有除颜色外完全相同的3个白球、2个黑球,甲先从箱中摸出1个球,不放回,乙再从箱中摸出1个球.记A表示甲摸出1个白球,B表示乙摸出1个白球. (1)试求P(A),P(BA),P(B|A). (2)P(B|A)与P(A),P(BA)有什么关系? 提示:P(BA)=P(A)P(B|A). 2.由条件概率的计算公式P(B|A)= 可知,P(BA)=P(A)P(B|A),这就是说,根据事件A发生的概率,以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,可以求出A与B同时发生的概率.一般地,这个结论称为乘法公式. 3.已知P(B)=0.1,P(A|B)=0.3,则P(BA)=　　　　　.  解析:P(BA)=P(B)P(A|B)=0.1×0.3=0.03. 答案:0.03 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)P(BA)=P(A)P(A|B).( × ) (2)乘法公式对任意的两个事件A,B都成立.( × ) 合作探究 释疑解惑 探究一 乘法公式的简单应用 【例1】 (1)若P(A)=0.2,P(B|A)=0.3,则P(BA)=　　　　　.  (2)若P(BA)=0.2,P(B|A)=0.8,则P(A)=　　　　　.  解析:(1)P(BA)=P(A)·P(B|A)=0.2×0.3=0.06. (2)因为P(BA)=P(A)P(B|A), 答案:(1)0.06　(2)0.25 探究一 探究二 探究三 思想方法 在乘法公式P(BA)=P(A)P(B|A)中有三个量:P(A),P(BA),P(B|A),在这三个量中,只要已知其中两个量,就可以利用公式求另外一个量. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练1】 (1)已知P(A)=0.5,P(AB)=0.2,则P(B|A)的值为(　　) A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 (2)已知P(B)=0.4,P(A|B)=0.5,则P(BA)=　　　　　.  (2)P(BA)=P(B)P(A|B)=0.4×0.5=0.2. 答案:(1)B　(2)0.2 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二 乘法公式的实际应用 【例2】 在一次篮球比赛中,假如运动员小明有两次投篮机会,按照以往的比赛成绩,小明第一次投篮命中的概率是0.6,在第一次投篮命中的条件下,第二次投篮也命中的概率是0.5,求小明两次投篮都命中的概率. 解:设Ai表示小明第i次投篮命中,i=1,2,则由已知可得P(A1)=0.6,P(A2|A1)=0.5,因此由乘法公式可得P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)=0.6×0.5=0.3,即小明两次投篮都命中的概率为0.3. 探究一 探究二 探究三 思想方法 在利用乘法公式解决实际问题时,要注意区分P(B|A)和P(A|B)的不同,P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;而P(A|B)则表示在事件B发生的条件下,事件A发生的概率. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 答案:B 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究三 乘法公式的综合应用 【例3】 在一个不透明的盒子中有10个大小相同的小球,其中6个红球、4个白球,进行不放回抽样.从盒子中连续取两次小球,每次任取2个小球,求: (1)第一次取到2个红球,且第二次也取到2个红球的概率; (2)第一次取到2个白球,且第二次取到2个红球的概率. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 (方法二:利用排列组合和古典概型) (1)把问题转化为从盒子中每次任取2个小球,连续取两次,这两次取出的都是红球的概率,设A表示第一次取到2个红球,且第二次也取到2个红球,因 探究一 探究二 探究三 思想方法 延伸探究 例3的条件不变,求第一次取到的2个小球的颜色不同,且第二次取到2个小球的颜色也不同的概率. 探究一 探究二 探究三 思想方法 解决此类综合性较强的问题的一般步骤: (1)设出事件,判断两个事件的关系; (2)理解题意,根据题意把问题转化为条件概率问题; (3)利用乘法公式求解. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练3】 在学校举行的知识竞赛的预赛中,高二(1)班参赛的同学为甲和乙,比赛的规则是:甲从备选的8道题中抽取2道题作答,然后乙从剩下的题中抽取2道题作答,每个参赛队员只有2道题都答对,才能通过预赛进入决赛.已知在8道题中,甲和乙都能答对其中相同的5道题,求两人都能通过预赛的概率. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 【思想方法】 乘法公式应用中的数学建模思想 【典例】 从1,2,3,4,5,6,7,8这8个数中不放回地抽取两次,每次都抽取2个数,求第一次抽到的2个数是偶数,且第二次抽到的2个数的和是偶数的概率. 解:这8个数中,有4个奇数,4个偶数,设A表示第一次抽取的2个数是偶数,B表 探究一 探究二 探究三 思想方法 方法点睛 根据乘法公式求事件的概率时,首先能够恰当地利用古典概型的概率计算公式,其次理解题意并能利用条件概率公式计算相关的概率,最后利用乘法公式求解. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练】 有一道解答题如下所示: 已知函数f(x)=x2+ax+2是偶函数. (1)求实数a的值; (2)解不等式f(x)>3x. 小明和小红两人解答这个问题,小明解答第(1)题,小红利用小明解答第(1)题的结果解答第(2)题.已知小明答对的概率为0.8,在小明答对的条件下,小红答对的概率是0.6,求两人全部答对的概率. 解:设A表示小明答对第(1)题,B表示小红答对第(2)题,则P(A)=0.8,P(B|A)=0.6.根据乘法公式可知,两人全部答对的概率为P(BA)=P(A)·P(B|A)=0.8×0.6=0.48. 探究一 探究二 探究三 思想方法 随堂练习 解析:由P(AB)=P(A|B)P(B), 答案:A 2.已知P(B|A)=0.6,P(AB)=0.18,则P(A)=(　　) A.0.3 B.0.108 C.0.2 D.0.1 解析:因为P(AB)=P(A)P(B|A), 答案:A 3.(多选题)已知P(AB)=0.12,下列说法正确的是(　　) A.若P(A|B)=0.2,则P(A)=0.6 B.若P(A|B)=0.2,则P(B)=0.6 C.若P(A)=0.3,则P(B|A)=0.4 D.若P(A)=0.3,则P(A|B)=0.4 答案:BC 4.开元通宝是我国唐代的一种货币,如图,向开元通宝上任意投掷一粒芝麻,第一次投进方空的概率为0.5,在第一次投进方空的条件下,第二次也投进方空的概率为0.3,则连续两次都可把芝麻投进方空的概率为 .. 解析:设Ai表示第i次把芝麻投进方空,i=1,2,则由已知可得P(A1)=0.5,P(A2|A1)=0.3,因此由乘法公式可得P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)=0.5×0.3=0.15,故连续两次都可把芝麻投进方空的概率为0.15. 答案:0.15 5.老张手里有10把钥匙,只有一把能打开房门,但他忘了是哪一把,现在他随机试开,求老张试开两次都没有打开房门的概率. 提示:P(A)=,P(BA)=,P(B|A)=. 所以P(A)==0.25. 解析:(1)P(B|A)==0.4. 【变式训练2】 小刚从家骑自行车去学校要经过两个十字路口,在第一个十字路口遇到红灯的概率是,如果小刚在第一个十字路口遇到红灯,在第二个十字路口又遇到红灯的概率是,那么在小刚从家到学校时遇到两个红灯的概率是(　　) A. B. C. D. 解析:设Ai表示小刚在第i个十字路口遇到红灯,i=1,2,则由已知可得P(A1)=,P(A2|A1)=,因此由乘法公式可得P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)=,即在小刚从家到学校时遇到两个红灯的概率为. 解:(方法一:利用乘法公式) (1)设A表示第一次取到2个红球,B表示第二次取到2个红球.则P(A)=.因为取出的2个小球不放回,所以第一次取出2个红球后,盒子中还有8个小球,其中包含4个红球,此时第二次再取出小球时,取到的也是2个红球的概率是P(B|A)=. 根据乘法公式,可知第一次取到2个红球,且第二次也取到2个红球的概率为P(BA)=P(A)P(B|A)=. (2)设C表示第一次取到2个白球,D表示第二次取到2个红球,则P(C)=. 因为取出的2个小球不放回,所以第一次取出2个白球后,盒子中还有8个小球,其中6个红球,此时第二次再取出小球时,取到的是2个红球的概率是P(D|C)=.根据乘法公式,可知第一次取到2个白球,且第二次取到2个红球的概率是P(DC)=P(C)P(D|C)=. 此P(A)=. (2)把问题转化为从盒子中每次任取2个小球,连续取两次,第一次取到2个白球,第二次取到2个红球的概率,设B表示第一次取到2个白球,且第二次取到2个红球,因此P(B)=. 解:设A表示第一次取到2个颜色不同的小球,B表示第二次取到2个颜色不同的小球,则P(A)=.因为取出的2个小球不放回,所以第一次取出2个不同颜色的小球后,盒子中还有8个小球,其中5个红球,3个白球,此时第二次再取出小球时,取到的也是2个不同颜色的小球的概率是P(B|A)=. 根据乘法公式,可知第一次取到的2个小球颜色不同,且第二次取到的2个小球颜色也不同的概率为P(BA)=P(A)P(B|A)=. 解:(方法一)设A表示甲通过预赛,B表示乙通过预赛,则P(A)=. 因为取出的2道题不再放回,所以甲取出2道他能答对的题后,还剩下3道乙能答对的题,所以乙能答对的概率是P(B|A)=. 根据乘法公式,可知两人都能通过预赛的概率为 P(BA)=P(A)P(B|A)=. (方法二)设A表示两人都能通过预赛,则P(A)=. 示第二次抽到的2个数的和是偶数,则P(A)=. 第一次抽取2个偶数后,还剩下6个数,其中2个偶数,4个奇数,此时第二次抽到的2个数的和是偶数的概率为P(B|A)=. 根据乘法公式,可知第一次抽到的2个数是偶数,且第二次抽到的2个数的和是偶数的概率为P(BA)=P(A)P(B|A)=. 1.若P(A|B)=,P(B)=,则P(AB)的值是(　　) A. B. C. D. 可得P(AB)=. 所以P(A)==0.3. 解析:因为P(AB)=P(B)P(A|B),所以P(B)==0.6,所以B正确,A不正确;因为P(A)=0.3,P(B|A)==0.4,所以C正确,D不正确. 解:(方法一)设Ai表示第i次没有打开房门,i=1,2,则由已知可得P(A1)=,P(A2|A1)=,因此由乘法公式可得P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)=,即老张试开两次都没有打开房门的概率为. (方法二)把问题转化为“从10把钥匙中任取2把进行排列,能打开房门的钥匙没有被取到”,因此所求的概率是. $$