4.1.2 乘法公式与全概率公式-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册练习手册（人教B版）

4.1.2乘法公 效果评价 1.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产 线均生产8nm规格的芯片.现有25块该规 格的芯片，其中由甲、乙、丙生产的芯片数 量分别为5块、10块、10块.若甲、乙、丙 生产的芯片的优质品率分别为0.8,0.8,0.7， 则从这25块芯片中随机抽取一块，该芯片 为优质品的概率是() A.0.78 B.0.76 C.0.64 D.0.58 2.某种病毒使人患病的概率为0.03，已 知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率 为0.87，则患该种疾病且血检呈阳性的概率 为() A动 B.0.9 C.0.0261 D.0.251 3.现有两个袋子，第一个袋子中有2个 红球和3个黑球，第二个袋子中有1个红球 和3个黑球.随机选择一个袋子，然后从中 随机摸出2个球，则恰好摸出1个红球和1 个黑球的概率为() A品 B.1 c站 D.3 4.算盘是我国一类 上珠 重要的计算工具.如图 下珠 是一把算盘的初始状 第4题图 态，自右向左前四位分别表示个位、十位、 百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代 第四章概率与统计。 式与全概率公式 表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1， 即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的 代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁 上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁 上，表示数字105.现将算盘的千位拨动一 粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨 动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动 设事件A=“表示的四位数为偶数”，事件 B=“表示的四位数大于5050”，则P(BA)= () A B.5 2 c D. 6 5.学校有A,B两个餐厅，如果王同学 早餐在A餐厅用餐，那么他午餐也在A餐 厅用餐的概率是？；如果他早餐在B餐厅 用餐，那么他午餐在A餐厅用餐的概率是 4,若王同学早餐在A餐厅用餐的概率是 子，那么他午餐在B餐厅用餐的概率是 A.3 8 B. 8 C.16 D86 6.“狼来了”的故事大家小时候应该都 听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信 了，但去了之后发现没有狼；第二次喊 “狼来了”，大家又信了，但去了之后又发 现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个 练(29 高中数学选择性必修第二册人教B版 小孩再喊“狼来了”就没人信了.从数学的 角度解释这一变化：若小孩是诚实的，则他 出于某种特殊的原因说谎的概率为01；若 小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5.最 初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大 家心日中每个小孩都是诚实的概率是0.9.已 知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的 概率是() A号 B Ci D.9 14 7.设某公路上经过的货车与客车的数量 之比为2：1，货车中途停车修理的概率为 0.02,客车中途停车修理的概率为0.01，现 有一辆车中途停车修理，则该车是货车的概 率是() A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9 8.(多选题)已知A,B为两个随机事 件，且P(A)>0,P(B)>0,则下列结论正确 的是（) A.若P(BA)=P(B),则P(AIB)=P(A) B.P(AIB)+P(AIB)=0 C.若B和C是两个互斥事件，则 P(BUCIA =P(BIA+P(CIA) D.当P(AB)>0时，P(ABC)=P(A)· P(BIA)P(CIAB) 9.(多选题)在某一季节，疾病D,的发 病率为2%，病人中有40%表现出症状S, 疾病D2的发病率为5%，病人中有18%表 现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%，病 人中有60%表现出症状S.假设只有患疾 (30)练 病D1,D2,D3的病人才会表现出症状S, 则() A.任意一个人有症状S的概率为0.02 B.病人有症状S时患疾病D,的概率为 0.4 C.病人有症状S时患疾病D2的概率为 0.45 D.病人有症状S时患疾病D3的概率为 0.25 10.（多选题)甲箱中有4个红球、2个 白球和3个黑球，乙箱中有3个红球、3个 白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球 放入乙箱，分别以A1,A2和A3表示由甲箱 取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从 乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取 出的球是红球的事件.则下列结论正确的是 () A.事件B与事件A;(i=1,2,3)相互 独立 B.PA)5 C.P(B)= DPAB)-号 11.小王同学进行投篮练习，若他第1 球投进，则第2球投进的概率为号：若他第 1球投不进，则第2球投进的概率为}若 他第1球投进的概率为号，则他第2球投进 的概率为 12.经统计，某城市肥胖者占10%，中 等体型者占82%，消瘦者占8%.已知肥胖 者患高血压的概率为0.2，中等体型者患高 血压的概率为0.1，消瘦者患高血压的概率 为0.05，则该城市居民患高血压的概率为 ；若该城市有一居民患有高血压， 那么该居民是肥胖者的概率是 .（保 留三位有效数字) 13.现有两台车床加工同一型号的零件， 第一台车床加工的零件次品率为6%，第二 台车床加工的零件次品率为5%，加工出来 的零件混放在一起，已知第一台车床加工的 零件数与第二台车床加工的零件数之比为2：3， 从这些零件中任取一个 (1)求这个零件是次品的概率 (2)已知这个零件是次品，求它是第一 台车床加工的概率. 第四章概率与统计。 14.同一种产品由甲、乙、丙三个工厂 供应，已知甲厂、乙厂、丙厂产品的正品率 分别为0.95,0.9,0.8，甲厂、乙厂、丙厂 的产品数量之比为2：3：5，将三个工厂的产 品混合在一起 (1)从中任取一件，求此产品为正品的 概率。 (2)现取到一件产品为正品，则它由 甲、乙、丙三个工厂中哪个工厂生产的可能 性最大？ 练(31 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 提升练习 15.在一个抽奖游戏中，主持人从编号 为1,2,3,4且外观相同的空箱子中随机 选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭， 即只有主持人知道奖品在哪个箱子里.当抽 奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前， 主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子， 并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲 选择了1号箱，若用A:表示i号箱有奖品 (32)练 (i=1,2,3,4),用B表示主持人打开i号 箱子(i=2,3,4),则P(BlA3)= ,P(B2)= 16.设袋中有5个红球、3个黑球、2个 白球（除颜色外完全相同）. (1)有放回地摸球三次，每次摸1个球， 则第三次才摸到白球的概率为 (2)不放回地摸球三次，每次摸1个球， 则第三次才摸到白球的概率为高中数学选择性必修第二册人教B版 AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da, Db,ab,共有15个， 记“男生甲被选中”为事件M,则M包含的样本点 有AB,AC,AD,a,A,共有5个，故0言号 (2)记“女生乙被选中”为事件N,则M∩N表示 男生甲和女生乙被选中，M∩N包含的样本点共有1个， 放PMnN)=5,由(I)知P(M)=号，故PNM) P(MON)-1 P(M)51 (3)记“选中的2人中有1男1女”为事件S,则 事件S包含的样本点有8个，P(S)=8,SnN包含的 样本点有4个，PSnN)=告故P(MS)=P四 P(S) 分 14.解：设事件C为“取出的数不大于50”，事件A 为“取出的数是2的倍数”，事件B为“取出的数是3 的倍数” 则所求概率为P(A UBIC)=P(AIC)+P(BIC)-P(A∩BI C)=P(A0C)P(B0C)P(A0B0C)=2x25+16 P(C) P(C) P(C) 100+100 88 提升练习 15.A【解析】设黑球有x(0<<10,x∈N)个，则 白球有(10-x)个.从袋中任意摸出2个球，至少有1 个白球的概率为}号。没白球的概率为1-号号，即 x(x-1) =g后又0c<10,eN.4,袋中 C 有4个黑球和6个白球.设事件A为“第2次取得白 球”，事件B为“第1次取得黑球”，则P(A)=CC+CC Aio 品号，4n®)=瓷-沿音在蹄2次取得白 球的条件下，第1次取得黑球的概率P(BM)=PA∩B) P(A) 4 15、4 39 16.解：设事件A为“其中一瓶是蓝色墨水”，事件 72 n B为“其中一瓶是红色墨水”，事件C为“其中一瓶是 黑色墨水”，事件D为“其中一瓶不是蓝色墨水”， 则M)=CCC-品an阴=答-5，Panc -答-号.故PD)-R(WUC)M)-BM)HPC) PRPR92-9 P(A) P(A) 4.1.2乘法公式与全概率公式 效果评价 1.B【解析】设事件A为“抽取的芯片为优质品”， 则P4名×0.8+号x08+号x07=02x08+04x08+04 25 0.7=0.76,∴.该芯片为优质品的概率为0.76.故选B. 2.C【解析】设事件A为“血检呈阳性”，事件B 为“患该种疾病”，依题意知P(B)=0.03,P(AB)=0.87, P(AB)=P(B)P(AIB)=0.03×0.87=0.0261.故选C. 3.C【解析】设“选到第一个袋子”为事件A, “选到第二个袋子”为事件A2,“随机摸出2个球，恰 好摸出1个红球和1个黑球”为事件B,则P(A)= PA=分，PBM,-答-号，PBi,-e=7 PB-a)P8,A:严Ba-宁号+宁x分品 故选C 4.A【解析】千位有1,5两种选择，百位、十位、 个位有0,1,5三种选择，要使表示的四位数为偶数， 则个位应该是0，可得P1)=了，要使表示的四位数为 偶数且大于5050，则千位是5，百位应该是1或5，个 位是0，可得PaB-分×号×兮)，放PA)= P(A) 1 3 5.A【解析】设事件A1为“王同学早餐在A餐厅用 餐”，事件B为“王同学早餐在B餐厅用餐”，事件A2 为“王同学午餐在A餐厅用餐”，事件B2为“王同学午 餐在B餐厅用餐”·易知P(A)+P(B)=1,根据题意， 得PM=,PB=4,PaM,=子，PM,B)=4, 由全概率公式，可得P(A2)=P(A)P(A2IA1)+P(B1)· PMB子×子+×好客，则PBl-故选A 6.D【解析】设事件A为“小孩诚实”，事件B为 “小孩说谎”，则P(BIA)=0.1,P(BA)=0.5,P(A)=0.9, P(A)=0.1,则P(AB)=P(A)P(BA)=0.9x0.1=0.09,P(AB)= P(A)P(BIA)=0.1×0.5=0.05,故P(B)=P(AB)+P(AB)= 014,放MB=-8g品放壶D 7.C【解析】设事件B为“该车中途停车修理”，事 件A1为“该车是货车”，事件A2为“该车是客车”，则 PA)=号，PA2)=号，PBA1)=0.02,PBM:)-0.01,由 贝叶斯公式，得PA,B)=PAP(BM)+P(A2)P(BM2) P(A)P(BIA) 子x02 -=0.8.故选C 号×02+写x0 8.ACD【解析】若P(BA)-PB=PB,则PB) P(A) P(B) =PA)PMB),故A正确：PAIB)+PAB)=PAB)+P(AB) P(B) =P(B=1,故B错误：若B和C是两个互斥事件， P(B) 则P(BUCM)=P(BM)+P(CM),故C正确；P(AB)>0, P(A)P(AB)>0,P(A)P(BA)P(CAB)=P(A)xP(AB)x P(A) P(4BC)=P(ABC),故D正确.故选ACD. P(AB) 9.ABC【解析】设事件D1,D2,D分别表示一个人 患有疾病D,D,D,事件S表示病人出现症状S,则 P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S1D1)=0.4, P(SID2)=0.18,P(SID)=0.6.由全概率公式，得P(S)= P(DP(SD2=0.02x0.4+0.05x0.18+0.05x0.6=0.02 故A正确：由贝叶斯公式，得P(D,IS)=P(D)PSD P(S) 0.02x04=0,4,故B正确：由贝叶斯公式，得P(D,S)= 0.02 P(D)P(SD)=0.05x0.18-0.45,故C正确：由贝叶斯公 P(S) 0.02 式，得P(D,lS)=PD)PSD=0.005x0.6=0.15,故D错 P(S) 0.02 误.故选ABC 10.BD【解析】易知事件A:(i=1,2,3)的发生对 事件B的发生有影响。故A错误：由题意，得PM,号， 参考答案。 Pa,=g,PA)=g=3,PBA,)=0号，PBM, 0PCBM)=高故P4,B)=P(BM,)Pa,)=号×号 各，故B正确：P4B)-P(BM:PA:)×号吉 PrAB)-K,rA,高兮-b放rB-a4,rA) +P(BM,P(A,)+P(BA,P(4)-动≠号.放C错误： 32 PA,B)=PAB=PBH,PA=109=6,故D正确. P(B) P(B) 31-31 90 故选BD. 11.)【解析】记事件A为“第1球投进”，事件B 为“第2球投进”，则PA)=号，P(面=写，PBA)= 子，P(B=,则PB)=PAB)+P(B)=PA)P(BM) +面PBi=号×号+与x分-多 12.0.1060.189【解析】设事件A为“患高血压”， 事件B为“肥胖者”，事件B2为“中等体型者”，事件 B3为“消瘦者”，根据题意，得P(B1)=10%,P(B2)=82%, P(B)=8%,且P(A1B1)=0.2,P(AB2)=0.1,P(AB)=0.05. 由全概率公式有P(A)=P(B1)P(AIB)+P(B,)P(AIB2)+ P(B3)P(AB3)=0.1×0.2+0.82×0.1+0.08×0.05=0.106,.该 城市居民患高血压的概率为0106.由贝叶斯公式，得 P(B,M)=P(B)PAB2-01x02=0.189,该居民是肥 P(A） 0.106 胖者的概率是0.189. 13.解：（1)设事件A1为“第一台车床加工的零 件”，事件A2为“第二台车床加工的零件”，事件B为 “这个零件是次品”， 由题意，可得PA,)=号-04，P4:)=子-06，P8 A1)=0.06,P(BA2)=0.05. 由全概率公式，可得P(B)=P(A1)P(BA)+P(A2)· P(B42)=0.4×0.06+0.6×0.05=0.054. (2)已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的 概率为P(41B)=PC4B)=P(4)P(B4)-0.0244 P(B) P(B)0.054=9 14.解：设事件A表示取到的产品为正品，事件B1, 73 高中数学选择性必修第二册人教B版 B2,B,分别表示取到的产品由甲厂、乙厂、丙厂生产 由已知，得P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5, P(AIB)=0.95,P(A1B2)=0.9,P(AIB3)=0.8. (1)由全概率公式，得 P(4)=∑P(B,)P(4IB,)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8= =1 0.86. (2)由贝叶斯公式，得 PBM)=PB)PAIB=02x095≈0.221， P(A) 0.86 P(BM)=PB,)PAIB=0,3x09=0.314, P(A) 0.86 PBM)=PB,)PAB,=0.5x08≈0.465， P(A) 0.86 则P(BA)>P(BA)>P(B,A),故这件产品由丙厂生 产的可能性最大 提升练习 15.弓号【解析】若奖品在3号箱里，则主持人 只能打开2,4号箱，放P代B1,)=号由题得PM,-PA,= P(A)=P(A:)=子.若奖品在1号箱里，则主持人可打开 2,3,4号箱，故PB4,)=了：若奖品在2号箱里，则 主持人打开2号箱的概率为0，故P(B2A2)=0:若奖品 在3号箱里，则主持人只能打开2,4号箱，故P(B,A3) =了：若奖品在4号箱里，则主持人只能打开2,3号 箱，故PBM,=了由全概率公式，可得PB,)=∑PA,) i= P8M,)-=4×兮0++3}F号 16(D2)5【解析】设事件4为“第- 次未摸到白球”，事件B为“第二次未摸到白球”，事件 C为“第三次摸到白球”，则事件“第三次才摸到白球” 为ABC (d)由题知PA)=专，PBM)=专，PCMB)=5 则PHBC)=P心CAB)PBM)PA)=5×专×”号=品 4416 (2)由题知Pa)=专，P(BM)=了，P(CMB)=4, 则P4BC)=CAB)P(BM)PA)=×写×号5 x7x4_7 74 4.1.3独立性与条件概率的关系 效果评价 1.C【解析】P(BM)+P(B)=P(BlA)+1-P(B)=1, PBM)=PB,即PAB-PB,则PAB)=PA)PB), P(A 事件A与事件B相互独立.故选C. 2.A【解析】事件A与事件B相互独立，∴P(AB) =PA)PB),又PB=写，PBM)=A=-PB)=1- P(A） PB)=号故选A 3.D【解析】甲、乙、丙至多有一人在10分钟之内 独立复原魔方的概率为0.7×(1-0.6)×(1-0.5)+(1-0.7)× 0.6×(1-0.5)+(1-0.7)×(1-0.6)×0.5+(1-0.7)×(1-0.6)×(1- 0.5)=0.35.故选D. 4.C【解析】若甲只投中1次，则他获胜的概率为 2x×1-号×1-号了务：若甲投中2次，则他获鞋 的概率为×-+3x×1多故甲最 后获胜的概率为号多号故选C 5.D【解析】甲、乙、丙三人被该公司录取的概 率分别是6，子，号，且三人的录取结果相互之间设 有影响，“他们三人都没有被录取的概率为1-石× 1一-4×1-号)品故他们三人中至少有一人被录取 的概率为1-多3放选D 6.A【解析】由已知，可得青蛙按逆时针方向跳一 次的概率为号，按顺时针方向跳一次的概率为了，则青 蛙按迪时针方向跳三次落在A荷叶上的概率P=号×号× 号-务，青线按顺时针方向跳三次落在A萄叶上的概率 P=号×兮×兮分故青蛙跳三次之后落在A荷叶上的 版率AP务行散法入 7.A【解析】记事件A为“在某次通电后M,N有 且只有一个需要更换”，事件B为“M需要更换”，则 P(A)=0.3×(1-0.2)+(1-0.3)×0.2=0.38,P(AB)=0.3×(1-