4.1.2 乘法公式与全概率公式（第2课时 全概率公式与贝叶斯公式） 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第四章　概率与统计 4.1.2　乘法公式与全概率公式 第2课时　全概率公式与贝叶斯公式 课标定位素养阐释 1.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率. 2.体会数学抽象的过程,提升数学运算和数学抽象素养. *3.结合全概率公式,会利用贝叶斯公式计算概率. 自主预习 新知导学 全概率公式与贝叶斯公式 1.某箱中装有除颜色外完全相同的3个白球、2个黑球,甲先从箱中摸出1个球,不放回,乙再从箱中摸出1个球.记A表示甲摸出1个白球,B表示乙摸出1个白球. (2)定理1　若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足: ①任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j; ②A1+A2+…+An=Ω; ③P(Ai)>0,i=1,2,…,n. 则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且 (3)全概率公式的直观解释:已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. *(4)贝叶斯公式:一般地,当1>P(A)>0且P(B)>0时, *(5)定理2　若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足: ①任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j; ②A1+A2+…+An=Ω; ③1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n, 上述公式也称为贝叶斯公式. 3.若P(B)=0.5, =0.02,则P(BA)=(　　) A.0.52 B.0.48 C.0.01 D.0.2 答案:B 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (2)贝叶斯公式中的事件B可以是任意事件.( × ) 合作探究 释疑解惑 探究一 全概率公式的简单应用 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 解决此类问题,要熟练应用以下公式并且注意各事件间的关系: 反思感悟 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 探究二 全概率公式的实际应用 【例2】 已知某公司有甲、乙两个分公司,男女员工人数如下表所示: 单位:人 分公司 男员工 女员工 甲 240 120 乙 100 40 公司按照分层随机抽样的方法抽取了50名员工组成职工委员会,现从该职工委员会中随机抽取一名员工参加上级工会会议,求该员工为女员工的概率. 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂的事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后利用概率的可加性求出最终结果.用树状图表示如下: 反思感悟 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 【变式训练2】 袋中有大小相同的a个黄球、b个白球.现不放回地摸球两次,每次摸出1个球,问第2次摸到黄球的概率是多少? 解:设A表示第2次摸到黄球,B表示第1次摸到黄球,则 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 探究三 全概率公式的综合应用 【例3】 盒中放有12个乒乓球,其中9个是新的,3个是旧的.第一次比赛时,从中任意取出3个来用,用完后仍放回盒中(新球用后成了旧球).第二次比赛时再从盒中取出3个来用,求第二次取出的3个球均为新球的概率. 解:设A表示第二次取出3个球均为新球,Bi为第一次取出3球中有i个新球,i=0,1,2,3, 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 应用全概率公式计算事件的概率时,应注意: (1)首先要把所求概率的事件分解为若干个互斥的事件,然后利用互斥事件的性质计算概率; (2)当题目没有给出明确概率的大小时,要结合排列组合知识和古典概型计算各事件的概率; (3)注意乘法公式和全概率公式的区别:乘法公式是求“几个事件发生”的概率;全概率公式是求“最后结果”的概率. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 【变式训练3】 射击训练中,甲、乙、丙三人同时对某飞行物进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,该飞行物被一人击中而击落的概率是0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,则该飞行物必定被击落,求该飞行物被击落的概率. 解:设A表示该飞行物被击落,Bi表示该飞行物被i人击中,i=1,2,3,所以P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=1,且A=B1A+B2A+B3A. 设Hi表示该飞行物被第i人击中,i=1,2,3, 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 P(B3)=P(H1H2H3)=0.14, 由全概率公式可得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458, 即该飞行物被击落的概率为0.458. 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 探究四 贝叶斯公式的应用 【例4】 设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,已知各车间的产量分别占全厂产量的25%,35%,40%,而且各车间的次品率依次为5%,4%,2%.现从待出厂的产品中检查出一件次品,试判断它是由甲车间生产的概率(精确到0.001). 解:设A1,A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品为次品. 由题意可知P(A1)=25%,P(A2)=35%,P(A3)=40%,P(B|A1)=5%,P(B|A2)=4%,P(B|A3)=2%, 所以,该次品是由甲车间生产的概率为 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 贝叶斯公式的理解与应用 (1)在贝叶斯公式P(A|B)= 中,是已知结果B已经发生了,反过来研究造成结果的原因,求某种原因造成的可能性有多大,即“结果推原因”. (2)应用贝叶斯公式的关键是“找到一个完备事件组”,也就是要分析概率会发生的所有可能性. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 【变式训练4】 设某段公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车中途停车修理的概率为0.01,今有一辆汽车中途停车修理,求该汽车是货车的概率. 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 【规范解答】 全概率公式的应用 【典例】 采购员要购买10个一包的电器元件.他的采购方法是:从一包中随机抽查3个,若这3个元件都是正品,则他才买下这一包.假定含有4个次品的包数占30%,而其余包中各含有1个次品.求采购员拒绝购买的概率. 审题策略　设出各相关事件,根据题意得到各相关事件的概率,把所求概率的事件分解为若干个互斥的事件,代入全概率公式计算概率. 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 规范展示　设A表示采购员拒绝购买,B1表示取到的是含4个次品的包,B2表示取到的是含1个次品的包.则P(B1)=0.3,P(B2)=0.7, 答题模板　第一步:用字母表示各相关事件. 第二步:写出各相关事件的概率. 第三步:把所求概率的事件分解为互斥的事件. 第四步:代入全概率公式计算. 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 造成失分的主要原因如下: (1)公式应用不熟练,导致用错公式; (2)计算出错,导致最终计算结果错误. 失误警示 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 【变式训练】 若10张彩票中有2张有奖,两名顾客按照先后顺序各抽一张,问第二名顾客中奖的概率是多少? 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 随堂练习 1.(多选题)下列公式正确的是(　　) 解析:由互斥事件概率的加法公式可知选项B正确,由全概率公式可知选项D正确. 答案:BD 2.若P(B)=0.3, =0.1,则P(BA)=(　　) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 答案:B 答案:0.5 4.已知P(B)=0.7, =0.6,P(A)=0.4,则P(AB)=　　　　　,P(B|A)= 　　　　.  5.甲、乙两袋中装有一些除颜色外完全相同的球,甲袋中有3个白球,2个黑球;乙袋中有4个白球,4个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,再从乙袋中任取1个球,求此球为白球的概率. 解:设Ai表示从甲袋中取出的2个球中有i个白球,其中i=0,1,2.B表示从乙袋中取出的1个球是白球.则 (1)试求P(BA),P(B). 提示:P(BA)=P(A)P(B|A)=, P(B)=P()P(B|)=. (2)P(B)与P(BA),P(B)有什么关系? 提示:P(B)=P(BA)+P(B). 2.(1)全概率公式:P(B)= P(A)P(B|A)+P()P(B|) . P(B)=P(BAi) =P(Ai)P(B|Ai) .上述公式也称为全概率公式. 有P(A|B)=. 则对Ω中任意概率非零的事件B,有P(Aj|B)=. P(B) 解析:P(BA)=P(B)-P(B)=0.5-0.02=0.48. (1)全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)中的事件B只能是单一事件.( × ) 【例1】 (1)已知P()=0.4,P(|A)=0.6,求P(AB). (2)已知P(A)=0.8,P(B|A)=0.4,P(B|)=0.1,求P(B)和P(A|B). 解:(1)因为P()=0.4,所以P(A)=0.6,P(A)=P(A)P(|A)=0.6×0.6=0.36, P(AB)=P(A)-P(A)=0.6-0.36=0.24. (2)由题意,可知P()=1-P(A)=1-0.8=0.2, 所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.8×0.4+0.2×0.1=0.34. 因为P(AB)=P(A)P(B|A)=0.8×0.4=0.32, 所以P(A|B)=. (1)P(A)=P(AB)+P(A); (2)条件概率公式和乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A),P(B|A)=; (3)全概率公式:P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|). 【变式训练1】 已知P()=0.9,P(B|A)=0.6,P(B|)=0.4,求P(),P(A|B). 解:由题意可得P(A)=1-P()=0.1, P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.1×0.6+0.9×0.4=0.42. 所以P()=1-P(B)=0.58. 因为P(AB)=P(A)P(B|A)=0.1×0.6=0.06, 所以P(A|B)=. 解:(方法一)由题意可知,该公司的职工委员会中甲分公司的男员工有240×=24人,女员工有120×=12人,乙分公司的男员工有100×=10人,女员工有40×=4人,设A和分别表示该员工来自甲分公司和乙分公司,用B表示该员工为女员工, 则P(A)=,P()=,且P(B|A)=,P(B|)=. 由全概率公式可得,该员工为女员工的概率为P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=. (方法二)由题意可知,该公司的职工委员会中甲分公司的女员工有120×=12人, 乙分公司的女员工有40×=4人,所以共有女员工16人,用B表示该员工为女员工,则该员工为女员工的概率为P(B)=. P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=. P(B0)=,P(B1)=, P(B2)=,P(B3)=, P(A|B0)=,P(A|B1)=, P(A|B2)=,P(A|B3)=, 所以P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.145 8. 可得P(B1)=P(H1H2H3)=0.36, P(B2)=P(H1H2H2H3+H1H3)=0.41, P(A1|B)= =≈0.362. 解:设事件B为中途停车修理,事件A1为经过的是货车,事件A2为经过的是客车,则B=A1B∪A2B,由贝叶斯公式,得P(A1|B)==0.8. P(A|B1)=1-,P(A|B2)=1-. 由全概率公式可得采购员拒绝购买的概率为P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=. 解:设A,B分别表示第一名、第二名顾客中奖, 则P(A)=,P()=,P(B|A)=,P(B|)=. 由全概率公式可得P(B)=P(A)P(B|A)+P()·P(B|)=. A.P(A)=P(BA)+P(B) B.P(B)=P(BA)+P(B) C.P(A)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) D.P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) P(B) 解析:P(BA)=P(B)-P(B)=0.3-0.1=0.2. 3.已知P(A)=0.8,P(B|A)=0.6,P(B|)=0.1,则P(B)=　　　　　.  解析:P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.8×0.6+0.2×0.1=0.5. P(A|) 解析:因为P(B)=0.7,所以P()=0.3, 所以P(A)=P()P(A|)=0.3×0.6=0.18, P(AB)=P(A)-P(A)=0.4-0.18=0.22, 所以P(B|A)=. 答案:0.22　 P(A0)=,P(A1)=,P(A2)=,P(B|A0)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=. 所以P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=. $$