4.1.3 独立性与条件概率的关系 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第四章　概率与统计 4.1.3　独立性与条件概率的关系 课标定位素养阐释 1.结合古典概型,了解条件概率与独立性的关系. 2.体会判断事件的独立性时逻辑推理的过程,提升数学运算素养. 自主预习 新知导学 独立性与条件概率 1.甲箱里装有3个白球和2个黑球,乙箱里装有2个白球和2个黑球.从这两个箱子里分别摸出1个球,记A为“从甲箱里摸出白球”,B为“从乙箱里摸出白球”. (1)试求P(A),P(B),P(AB). (2)P(B|A)与P(B)相等吗? (3)P(AB)与P(A)P(B)相等吗? 2.事件A与B独立的充要条件. 当P(B)>0时,A与B独立的充要条件是 P(A|B)=P(A) .当P(A|B)≠P(A)时,事件B的发生会影响事件A发生的概率,此时A与B是不独立的.事实上,“A与B独立”也经常被说成“A与B互不影响”等. 3.(1)已知事件A与B相互独立,已知P(AB)=0.06,P(B)=0.2,则P(A)= 　　　　　. (2)若事件A与B相互独立,P(A)=0.4,则P(A|B)=　　　　　.  解析:(1)由P(AB)=P(A)P(B)可得P(A)=0.3. (2)因为事件A与B相互独立, 所以P(A)=P(A|B)=0.4. 答案:(1)0.3　(2)0.4 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)不可能事件与任何一个事件相互独立.( √ ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立.( √ ) (3)如果事件A与事件B相互独立,那么P(B|A)=P(B).( √ ) (4)“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 独立性的判断 【例1】 一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,设A表示一个家庭中既有男孩又有女孩,B表示一个家庭中最多有一个女孩.对下列两种情形,讨论A与B是否相互独立: (1)家庭中有两个小孩; (2)家庭中有三个小孩. 探究一 探究二 探究三 思想方法 解:(方法一)(1)有两个小孩的家庭,样本空间可记为Ω={(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)},它有4个样本点,由等可能性知概率都为 . 这时A包含的样本点为(男,女),(女,男), B包含的样本点为(男,男),(男,女),(女,男), AB包含的样本点为(男,女),(女,男), 由此可知P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不相互独立. 探究一 探究二 探究三 思想方法 (2)有三个小孩的家庭,样本空间可记为Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男), (男,女,女),(女,男,男),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}. 探究一 探究二 探究三 思想方法 两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响,判断方法有两个: (1)若P(A|B)=P(A),则事件A与B相互独立; (2)若P(A)P(B)=P(AB),则事件A与B相互独立. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练1】 从一副扑克牌(除去大小王,共52张)中任抽一张,设A表示抽到K,B表示抽到红牌,判断A与B是否相互独立,为什么? 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二 求相互独立事件的概率 【例2】 小王某天乘火车从甲地到乙地去办事,若当天从甲地到乙地的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求: (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率; (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率. 探究一 探究二 探究三 思想方法 解:用A,B,C分别表示这三列火车正点到达, 则可知A,B,C相互独立,而且P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,所以 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 延伸探究 1.例2条件不变,求恰有一列火车正点到达的概率. 探究一 探究二 探究三 思想方法 2.若一列火车正点到达计10分,用ξ表示三列火车的总得分,求P(ξ≤20). 解:“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”,其对立事件为“三列火车都正点到达”,即ABC,由对立事件及独立性可知 P(ξ≤20)=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.8×0.7×0.9=0.496. 探究一 探究二 探究三 思想方法 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义. 一般地,已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么: (1)A,B中至少有一个发生为事件A+B; (2)A,B都发生为事件AB; 反思感悟 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练2】 甲、乙两人破译同一种密码,他们能破译的概率分别为 ,求两人破译时,以下事件发生的概率: (1)两人都能破译的概率; (2)恰有一人能破译的概率; (3)至多有一人能破译的概率. 解:记A为“甲独立地破译出密码”,B为“乙独立地破译出密码”,则可知A,B相 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究三 相互独立事件的综合应用 (1)求乙、丙两个家庭各自回答对这道题的概率; (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答对这道题的概率. 探究一 探究二 探究三 思想方法 解:记A为“甲家庭答对这道题”,B为“乙家庭答对这道题”,C为“丙家庭答对这道题”, 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 概率问题中的数学思想 (1)正难则反:灵活应用对立事件的概率关系(P(A)+ =1)简化问题,是求解概率问题最常用的方法. (2)化繁为简:将复杂事件的概率转化为简单事件的概率,即寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式,转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式,转化为相互独立事件). (3)方程思想:利用有关的概率公式和问题中的数量关系,建立方程(组),通过解方程(组)解决问题. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练3】 在一个选拔项目中,每个选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 ,且各轮问题能否正确回答互不影响. (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率; (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 【易错辨析】 求相互独立事件时的“正难则反”思想 【典例】 一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中1个开关能够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,求在这段时间内线路正常工作的概率. 解:如图,用A,B,C分别表示这段时间内开关KA,KB,KC能够闭合. 由题意,得这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响,根据相互独立事件的概率公式,这段时间内3个开关都不能闭合的概率是 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 求比较复杂的事件的概率时,常用的方法有: (1)把事件分解为若干个互斥的事件的和,利用互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式直接求解; (2)当问题从正面计算步骤较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算. 方法点睛 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练】 甲、乙两人参加一次考试,已知在备选的10道题中,甲能答对其中6道题,乙能答对其中8道题.若规定每人每次考试都从这10道题中随机抽出3道题进行测试,且至少答对2道题算合格,则甲、乙两人分别参加一次考试,至少有一人考试合格的概率为(　　) 探究一 探究二 探究三 思想方法 答案:C 探究一 探究二 探究三 思想方法 随堂练习 A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又独立 ∴P(AB)=P(A)P(B),∴事件A,B相互独立. 答案:C 2.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击,则他们同时中靶的概率是(　　) 答案:A 3.（多选题）坛子中放有大小、质地均相同的3个白球,2个黑球,从中进行不放回地取球2次,每次取一球,用A1表示第一次取得白球,A2表示第二次取得白球,则A1和A2(　　) A.是互斥的事件 B.是相互独立的事件 C.是对立的事件 D.不是相互独立的事件 答案:AD 4.某自动银行设有两台ATM机.在某一时刻这两台ATM机被占用的概率分别为 ,则该客户此刻到达需要等待的概率为　　　　　.  解析:该客户需要等待意味着这两台ATM机同时被占用,由题意知,两台ATM机被占用相互独立,故所求概率为P= . 6.在同一时间内,甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为 .在同一时间内,求: (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率; (2)至少有一个气象台预报准确的概率. 解:记A表示“甲气象台预报天气准确”,B表示“乙气象台预报天气准确”. (1)由题意知,甲、乙两个气象台预报天气相互独立,则同时预报天气准确 提示:P(A)=,P(B)=, P(AB)=. 提示:因为P(B|A)=,所以P(B|A)与P(B)相等. 提示:因为P(B|A)==P(B), 所以P(AB)与P(A)P(B)相等. 于是P(A)=,P(B)=,P(AB)=. 由等可能性知这8个样本点的概率均为,这时A中含有6个样本点,B中含有4个样本点,AB中含有3个样本点.于是P(A)=,P(B)=,P(AB)=, 显然有P(AB)==P(A)P(B)成立,因此A与B是相互独立的. (方法二)(1)由方法一可知P(A)=,P(A|B)=,P(A|B)≠P(A),因此A,B不相互独立. (2)由方法一可知P(A)=,P(A|B)=,P(A|B)=P(A),因此A,B相互独立. 解:(方法一)由于A表示抽到K,B表示抽到红牌, 抽到K的概率为P(A)=,抽到红牌的概率P(A|B)=, 即P(A|B)=P(A),因此A与B相互独立. (方法二)由于A表示抽到K,B表示抽到红牌,抽到K的概率为P(A)=,抽到红牌的概率P(B)=,因此P(A)P(B)=.AB表示既抽到K又抽到红牌,亦即“抽到红桃K或方块K”,故P(AB)=,从而有 P(A)P(B)=P(AB),因此A与B相互独立. P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1. (1)设D表示三列火车恰好有两列正点到达,由题意得,这三列火车恰好有两列正点到达,可分为三种互斥的情况:B,C正点到达,A未正点到达,即BC;A,C正点到达,B未正点到达,即AC;A,B正点到达,C未正点到达,即AB,因此D=BC+AC+AB,由互斥事件概率的加法公式以及独立性可知恰好有两列火车正点到达的概率为P(D)=P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+ P(A)P(B)·P()=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398. (2)设E表示三列火车至少有一列正点到达,由题意得,三列火车都未正点到达即为,由对立事件及独立性可知三列火车至少有一列正点到达的概率为P(E)=1-P()=1-P()P()P()=1-0.2×0.3×0.1=0.994. 解:设F表示恰有一列火车正点到达,可分为三种互斥的情况:A正点到达,B,C未正点到达,即A;B正点到达,A,C未正点到达,即;C正点到达,A,B未正点到达,即C, 因此F=AC.由互斥事件概率的加法公式以及独立性可知恰有一列火车正点到达的概率为P(F)=P(A)+P()+P(C)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+ P()P()·P(C)=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9=0.092. (3)A,B都不发生为事件; (4)A,B恰有一个发生为事件AB; (5)A,B中至多有一个发生为事件AB+. 互独立,而且P(A)=,P(B)=. (1)两个人都破译出密码的概率为P(AB)=P(A)P(B)=. (2)恰有一人破译出密码可分为两种互斥的情况:甲破译出乙破译不出,即A,乙破译出甲破译不出,即B, 由互斥事件概率的加法公式以及独立性可知 P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=. (3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码,即AB,由对立事件及独立性可知 其概率为1-P(AB)=1-. 【例3】 某社区举办环保有奖问答比赛活动.在某场比赛中,甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题,已知甲家庭回答对这道题的概率是,甲、丙两个家庭都回答错的概率是,乙、丙两个家庭都回答对的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响. (1)由题意知,P(A)=, 且有 即 解得P(B)=,P(C)=. (2)所有家庭都答错的概率为P0=P()=P()P()P()=, 有1个家庭回答对的概率为P1=P(AC)=, 因此不少于2个家庭回答对这道题的概率为P=1-P0-P1=1-. P() 解:设Ai(i=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”, 由已知得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=. (1)设B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”, 则P(B)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)P()=. (2)设C表示“该选手至多进入第三轮考核”,可分为三种互斥的情况:第一轮就淘汰,即;第二轮被淘汰,即A1;第三轮被淘汰,即A1A2. 则P(C)=P(+A1+A1A2) =P()+P(A1)+P(A1A2) = =. P()=P()P()P() =[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)] =(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)=0.027. 于是这段时间内至少有1个开关能够闭合,从而使线路能够正常工作的概率是 1-P()=1-0.027=0.973. 即这段时间内线路正常工作的概率是0.973. A. B. C. D. 解析:设A表示“甲考试合格”,B表示“乙考试合格”,则P(A)=,P(B)=. 甲、乙两人考试都不合格的概率为P()=P()·P()=, 则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1-P()=1-. 1.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是(　　) 解析:∵P(A)=1-P()=1-, A. B. C. D. 解析:甲、乙两人射击互不影响,甲的命中率为P甲=,乙的命中率为 P乙=,因此,两人同时射击,同时中靶的概率是P=P甲·P乙=. 答案: 5.已知A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则P(A)=　　　　　,P()=　　　　　.  解析:∵P(A)=,P(B)=, ∴P()=,P()=. ∴P(A)=P(A)P()=,P()=P()P()=. 答案: 的概率为P(AB)=P(A)P(B)=. (2)至少有一个气象台预报准确的对立事件是甲、乙两个气象台都没预报准确,即,即至少有一个气象台预报准确的概率为P=1-P()=1-P()P()=1-. $$