4.1.1 条件概率 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第四章　概率与统计 4.1.1　条件概率 课标定位素养阐释 1.结合古典概型,了解条件概率. 2.能计算简单随机事件的条件概率. 3.体会数学抽象的过程,提升数学建模和数学运算素养. 自主预习 新知导学 条件概率 1.100件某种机械零件中有93件零件的长度合格,90件零件的强度合格,85件零件的长度、强度都合格. 令A表示“零件的长度合格”,B表示“零件的强度合格”,A∩B表示“零件的长度、强度都合格”. (1)试求P(A),P(B),P(A∩B). (2)任取一件零件,已知其强度合格,求它的长度也合格(记为A|B)的概率. 提示:事件A|B发生,相当于从90件强度合格的零件中任取1件长度合格的零件,其概率为P(A|B)= . (3)P(B),P(A∩B),P(A|B)间有怎样的关系? 2.(1)条件概率:一般地,当事件B发生的概率大于0(即P(B)>0)时,已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B),而且P(A|B)= .如不特别声明,以后谈到类似P(A|B)等条件概率时,总是默认P(B)>0.条件概率可以借助下图来理解.需要注意的是,P(A|B)与P(B|A)的意义不一样,一般情况下,它们也不相等. (2)条件概率的性质:假设A,B,C都是事件,且P(A)>0.根据条件概率的定义,可得 ① 0 ≤P(B|A)≤ 1 ; ②P(A|A)= 1 ; ③若B与C互斥,则P(B∪C|A)= P(B|A)+P(C|A) . 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)P(B|A)与P(A|B)表示的意义是相同的.( × ) (2)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1.( × ) (3)事件A发生的条件下,事件B发生,相当于A,B同时发生.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 条件概率公式的直接应用 【例1】 在一次数学测试中,小明能答对10道题的概率为0.8,能答对15道题的概率为0.4,现在小明已经答对了10道题,问:小明能答对15道题的概率是多少? 解:设A:能答对10道题,B:能答对15道题,则由已知可得P(A)=0.8,P(B)=0.4,而所求概率为P(B|A), 探究一 探究二 探究三 易错辨析 用定义法求条件概率P(B|A)的步骤: (1)分析题意,弄清概率模型; (2)计算P(A),P(A∩B); 反思感悟 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 解析:已知连续两天为优良的概率是0.6,那么在前一天空气质量为优良的前提下,要求随后一天的空气质量为优良的概率,可根据条件概率公式,得P= =0.8. 答案:A 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 缩小样本空间的范围计算条件概率 【例2】 集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从集合A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率. 解:将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作(a,b).样本空间可以表示为Ω={(a,b)|a,b=1,2,3,4,5,6,a≠b},其中甲抽到奇数的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共有15个样本点.在甲抽到奇数的前提下,乙抽到的数比甲抽到的数大的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共有9个样本点,因此 探究一 探究二 探究三 易错辨析 例2的条件不变,求乙抽到偶数的概率. 延伸探究 解:在甲抽到奇数的前提下,乙抽到偶数的情况有(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),共有9个样本点, 探究一 探究二 探究三 易错辨析 将原来的样本空间Ω缩小为已知的条件事件A,原来的事件B缩小为A∩B.而A中仅包含有限个样本点,每个样本点发生的概率相等,从而可以在缩小的样本空间上利用古典概型公式计算条件概率,即P(B|A)= . 反思感悟 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练2】 抛掷两枚质地均匀的骰子,在它们点数不同的情况下,至少有一枚出现6点的概率是(　　) 解析:设A:至少有一枚出现6点,B:两枚骰子的点数不同. 则n(B)=6×5=30,n(A∩B)=10, 答案:A 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 利用条件概率的性质求概率 【例3】 在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,考生至少答对其中的4道题即可通过;至少答对其中的5道题就获得优秀,已知某考生能答对20道题中的10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀的概率. 解:设事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题”,事件C为“该考生答对了其中4道题”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B.由互斥事件的概率加法公式及古典概型计算概率的 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.分析条件,选择公式:讨论事件B,C是否互斥,若互斥,则选择公式P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). 2.分解计算,代入求值:为了求比较复杂事件的概率,一般先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单的事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取得的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为　　　　　.  解析:设A:其中一瓶是蓝色,B:另一瓶是红色,C:另一瓶是黑色,D:另一瓶是红色或黑色, 则D=B∪C,且B与C互斥. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【易错辨析】 概率类型判断不准确而致误 【典例】 一个盒子装有4件产品,其中3件一等品,1件二等品,从中任取产品两次,每次任取1件,进行不放回抽样.若第一次取到的是一等品,求第二次取到一等品的概率. 错解:因为从产品中不放回地抽取两次,所以第一次取到一等品,第二次取 探究一 探究二 探究三 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:根据题意知所求概率是条件概率,而错解中忽略了这一点,导致错误. 正解:设A:第一次取到的是一等品,B:第二次取到的是一等品,A∩B:第一次取到一等品,第二次也取到一等品. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 深入理解条件概率的概念,在具体的题目中,必须弄清谁是事件A,谁是事件B,即在哪个事件发生的条件下,求哪个事件发生的概率. 防范措施 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(A|B)=0.6,则P(B|A)等于(　　) A.0.2 B.0.4 C.0.75 D.0.24 答案:C 2.4张奖券中只有1张能中奖,现分别由4名同学不放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券,则最后一名同学抽到中奖券的概率是(　　) 解析:因为已知第一名同学没有抽到中奖券,所以问题变为3张奖券,1张能中奖,最后一名同学抽到中奖券的概率显然是 . 答案:B 答案:ABC 4.已知P(A)=20%,P(B)=18%,P(A∩B)=12%,则P(A|B)=　　　　　,P(B|A)=　　　　　.  5.某人一周晚上值2次班,在已知他周日一定值班的条件下,他在周六晚上值班的概率为　　　　　.  6.抛掷红、蓝两枚质地均匀的骰子,记A:蓝色骰子的点数为4或6,B:两枚骰子的点数之和大于8,求: (1)A发生的条件下B发生的概率; (2)B发生的条件下A发生的概率. 解:用有序数对(x,y)来表示抛掷结果,其中x表示红色骰子的点数,y表示蓝色骰子的点数,则样本空间可记为Ω={(x,y)|x,y=1,2,3,4,5,6},共包含36个样本 提示:P(A)=,P(B)=,P(A∩B)=. 提示:P(A|B)=. 因此P(B|A)==0.5, 所以小明能答对15道题的概率是0.5. (3)代入公式求P(B|A)=. 所求概率P=. 因此所求概率P=. A. B. C. D. 因此P(A|B)=. 公式,知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=, P(AD)=P(A),P(BD)=P(B), P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D)=. 故该考生获得优秀的概率为. 又P(A)=,P(A∩B)=,P(A∩C)=, 故P(D|A)=P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=. 答案: 到的也是一等品的概率为P=. 因为P(A)=,P(A∩B)=, 所以在第一次取到一等品的情况下,第二次取到一等品的概率为P(B|A)=. 解析:∵P(A|B)=, ∴P(A∩B)=0.3. ∴P(B|A)==0.75. A. B. C. D.1 3.(多选题)将3枚质地均匀的骰子各抛掷一次,记事件A为“三个点数都不同”,事件B为“至少出现一个1点”,则(　　) A.“至少出现一个1点”的情况数目为6×6×6-5×5×5=91 B.三个点数都不相同的情况数目为=120 C.P(A|B)= D.P(B|A)= 解析:由公式P(A|B)=,P(B|A)=. 答案: 解析:设A:周日值班,B:周六值班, 则P(A)=,P(A∩B)=, 故P(B|A)=. 答案: 点.A包含的样本点共12个,故P(A)=,B包含的样本点共10个,故P(B)=,A∩B包含6个样本点,故P(A∩B)=. 由条件概率公式,得 (1)P(B|A)=. (2)P(A|B)=. $$