山东省青岛市第五十八中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

试卷第 1页，共 2页 ★绝密启用前 2024-2025 学年山东省青岛第五十八中高一级部第一学期第一次月考 数 学 2024 年 9 月 满分 150分，时间 120分钟 考试范围： 1．初高衔接内容 2．必修一——一第一章集合 3．必修一——一第二章基本不等式 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区域均无效。 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1．命题“ x R  都有 2 1 0x x   ”的否定是（ ） A．存在 20 0 0, 1 0x R x x    B．不存在 2, 1 0x R x x    C．存在 20 0 0, 1 0x R x x    D．对任意的 2, 1 0x R x x    2．“ 1 2 x  ”是“ 1 2 x  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．集合 { 1,0,1,2,3}A   ， {0,2,4}B  ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A．{0,2} B．{ 1,1,3,4} C．{ 1,0,2,4} D．{ 1,0,1,2,3,4} 4．集合 | , 3 kA x x k Z       ，  | ,B x x k k Z   ， 1{ | , } 3 C x x k k Z    ， 2{ | , } 3 D x x k k Z    ， 则下面正确的是（ ） A．C D B B．C D A  C． B C A D． B C D A  5．已知 a，b， c， d均为实数，有下列命题： （1）若 0ab  ， 0bc ad  ，则 0 c d a b   ； （2）若 0ab  ， 0 c d a b   ，则 0bc ad  ； （3）若 0bc ad  ， 0 c d a b   ，则 0ab  ， 其中正确命题的个数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 6．若“ x R， 2 3 9 0ax ax   ”是假命题，则 a的取值范围为（ ） A．  0,4 B． 0,4 C．  0,4 D． 4, 7．已知关于 x的不等式组 2 2 2 8 0 2 (2 7) 7 0 x x x k x k          仅有一个整数解，则 k的取值范围为（ ） A．[ 5,3) (4,5]  B． ( 5,3) (4,5)  C． ( 5,3] [4,5)  D．[ 5,3] [4,5]  8．已知 0x  ， 0y  ， 2 2 2 2 2 4 xy xyS x y x y     ，则（ ） A．S的最大值是 9 10 B．S的最大值是 2 2 3 C．S的最大值是 3 2 D．S的最大值是 9 2 4 二、选择题。本题共 3小题，每小题 6 分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9． 已知命题 p : x R  ， 2 4 0x ax   ，则命题 p成立的一个充分条件可以是 A．  1,1a  B．  4,4a  C．  4,4a  D．  0a 10．若 0a  ， 0b  ， 2a b  ，则下列不等式恒成立的是 A．ab≥1 B． 2 2 2a b  C． 2a b  D． 1 1 2 a b   11．通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合 X 的子集为元素的族 Γ，满足下列三个 条件：（1）和 X 在Γ中；（2）Γ中的有限个元素取交后得到的集合在 Γ中；（3）Γ中的任意多 个元素取并后得到的集合在Γ中，则称族Γ为集合 X 上的一个拓扑.已知全集  1, 2,3, 4 , ,U A B 为U 的非空真子集，且 A B ，则 A．族  ,P U  为集合U 上的一个拓扑 B．族  , ,P A U  为集合U 上的一个拓扑 C．族  , , ,P A B U  为集合U 上的一个拓扑 D．若族 P为集合U 上的一个拓扑，将 P的每个元素的补集放在一起构成族Q，则Q也是集合U 上的一个拓扑 试卷第 2页，共 2页 三、填空题。本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15分. 12．已知 Ra ， Rb ，若集合 , ,1 bA a a       ，  2 , ,0B a a b  ，A B 且 B A ，则 2023 2023a b 的值为 ． 13．一批货物随17列火车从A市均以 v千米/时的速度匀速直达 B市，已知两地铁路线长 400千米，为了安 全，每两列火车的间距不得小于 2 20 v      千米（火车的长度忽略不计），那么这批货物全部运到 B市，最快 需要 小时. 14．已知实数 x， y 满足 0x y  ，若   2 16z x x y y    ，则 z的最小值是 ． 四、解答题 15．（13分） 已知全集为    R, 2,2 , 0 2M N x x    ∣ . (1)求  RM N ð ； (2)若  1 2C x a x a   ∣ ，且C M C  ，求 a的取值范围. 16．（15分） 不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题： (1)已知 b克糖水中含有 a克糖（ 0b a＞ ＞ ），再添加 m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实 表示为一个不等式，并证明这个不等式 (2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是 p1，第二周采购时价格是 p2.现有两种采购 方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方 案更经济，请说明理由. 17．（15分） 党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为 生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山 方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见 影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为 2 米，容积为 32立方米 的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为 150元，池壁每平方米的造价为 120 元，沼气池盖子 的造价为 3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 18．（15分） 设      21 2 1 1f x k x k x     ， Rx ． (1)若   0f x  恒成立，求实数 k的取值范围； (2)当 0k  时，解不等式   0f x  ． 19．（17分） 已知有限集   1 2, ,... 2,nA a a a n n  N ，如果A中的元素  1,2,...,ia i n 满足 1 2 1 2... ...n na a a a a a       ，就称A为“完美集”． (1)判断：集合 1 3, 1 3    是否是“完美集”并说明理由； (2) 1 2、a a 是两个不同的正数，且 1 2,a a 是“完美集”，求证： 1 2、a a 至少有一个大于 2； (3)若 ia 为正整数，求：“完美集”A . 答案第 1页，共 2页 2024-2025 学年山东省青岛第五十八中高一级部第一学期第一次月考 数学试题参考答案与评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D D B A B ACD BD 题号 11 答案 ABD 12． 1 13．8 . 14．16 15．(1){ 2 0}x x  ∣ (2) 2, 16．（1）该不等式为 a m a b m b    证明：因为b a ，所以 ( ) 0 ( ) a m a a b m b m b m b b        ，于是 a m a b m b    . （2）若按第一种方案采购，每次购买量为 n，则两次购买的平均价格为 1 2 1 2 2 2 p n p n p p n    ， 若按第二种方案采购，每次用的钱数是m，则两次购买的平均价格为 1 2 1 2 2 2 1 1 m m m p p p p    ， 又 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )2 01 12 2( ) p p p p p p p p       ， 所以当 1 2p p 时，两种方案一样； 当 1 2p p 时，第二种方案比较经济. 17．略 18．（1）当 1 0k   时，即 1k   时，不等式   0f x  可化为 1 0x   ，所以 1x   ，与条件矛盾， 当 1 0k   时，即 1k   时，由已知    21 2 1 1 0k x k x     恒成立，所以    2 +1>0 2 +1 4 +1 <0 k k k    ，所以 3 3 2 2 k- < < ， （2）由(1)当 3 0 2 k- < < 时不等式    21 2 1 1 0k x k x     在R上恒成立，所以不等式   0f x  的解集 为R， 当 3 2 k   时，不等式    21 2 1 1 0k x k x     可化为    22 3 2 2 3 2 0x x     ，方程    22 3 2 3 2 2 0x x     的判别式 ( ) ( )22 3 2 8 2 3 0D = - - - = ，方程    22 3 2 3 2 2 0x x     的解为 1 3x = - - ，所以不等式    22 3 2 2 3 2 0x x     的解集为 1 3x x    ， 当 31 2 k- < < - 时，方程    21 2 1 1 0k x k x     的判别式 ( ) ( )2 22 1 4 1 4 3 0k k kD = - - - + = - > ，方程    21 2 1 1 0k x k x     的解为 2 1 2 1 4 3 2 2 k kx k + - - = + ， 2 2 2 1 4 3 2 2 k kx k + + - = + ， 2 1x x ，所以不等式    21 2 1 1 0k x k x     的解集为 22 +1+ 4 3> 2 +2 k kx x k         或 22 +1 4 3< 2 +2 k kx x k          ， 当 1k   时，不等式   0f x  可化为 1 0x   ，所以 1x   ，即不等式   0f x  的解集为 > 1x x  ， 当 1k   时，方程    21 2 1 1 0k x k x     的判别式 ( ) ( )2 22 1 4 1 4 3 0k k kD = - - - + = - > ，方程    21 2 1 1 0k x k x     的解为 2 1 2 1 4 3 2 2 k kx k + - - = + ， 2 2 2 1 4 3 2 2 k kx k + + - = + ， 2 1x x ，所以不等式    21 2 1 1 0k x k x     的解集为 2 22 +1+ 4 3 2 +1 4 3< < 2 +2 2 +2 k k k kx x k k           ， 综上可得，当 3 0 2 k- < < 时，不等式   0f x  的解集为R， 当 3 2 k   时，不等式   0f x  为 1 3x x    当 31 2 k- < < - 时，不等式   0f x  的解集为 22 +1+ 4 3> 2 +2 k kx x k         或 22 +1 4 3< 2 +2 k kx x k          ， 当 1k   时，不等式   0f x  的解集为 > 1x x  ， 当 1k   时，不等式   0f x  的解集为 2 22 +1+ 4 3 2 +1 4 3< < 2 +2 2 +2 k k k kx x k k           . 19．（1）由    1 3 1 3 2       ，   1 3 1 3 2      ，则集合 1 3, 1 3    是“完美集”， （2）若 1 2、a a 是两个不同的正数，且 1 2,a a 是“完美集”， 设 1 2 1 2 0a a a a t     ， 根据根和系数的关系知， 1a 和 2a 相当于 2 0x tx t   的两根， 由 2 4 0t t    ，解得 4t  或 0t  （舍去）， 答案第 2页，共 2页 所以 1 2 4a a  ，又 1 2,a a 均为正数， 所以 1 2、a a 至少有一个大于 2. （3）不妨设A中 1 2 3 na a a a     ， 由 1 2 1 2n n na a a a a a na      ，得 1 2 1na a a n    ， 当 2n  时，即有 1 2a  ，又 ia 为正整数，所以 1 1a  ， 于是 2 21 1a a   ，则 2a 无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当 3n  时， 1 2 3a a  ，故只能 1 1a  ， 2 2a  ，求得 3 3a  ， 于是“完美集”A只有一个，为 1,2,3 ． 当 4n  时，由  1 2 1 1 2 3 1na a a n      ，即有  1 2 3 1n n     ， 而      221 2 4 2 2 2 0n n n n n n            ， 又     1 2 1 2 3 1n n n       ，因此  1 2 3 1n n     ，故矛盾， 所以当 4n  时不存在完美集A， 综上知，“完美集”A为 1,2,3 .