精品解析：吉林省长春市九台区第二十二中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

名校调研系列卷·九年级第一次月者试卷数学（华师版） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 5. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则代数式的值为（ ） A. 28 B. 20 C. D. 7. 若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（　　） A. 13 B. 16 C. 12或13 D. 11或16 8. 如图，正方形的边长为，以为斜边在正方形的外部作等腰直角三角形，连接、，则的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 10. 某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场．若有支球队参赛，则可列方程______． 11. 最简二次根式与是同类二次根式，则=______． 12. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________． 13. 若“※”是新规定的某种运算符号，设，则中的值是________． 14. 下列说法正确的是________． ①方程的解是； ②方程的两个实数根之积为1； ③以、两数为根的一元二次方程可以为：； ④一元二次方程的两实数根的和为． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 解方程． 18. 如图，四边形是由四个全等的矩形和正方形组成，且，正方形的面积是，求四边形的面积． 19. 某校九年级学生一模考试的数学成绩是75分，经过自己不断地努力，二模、中考两次考试成绩的增长率均相同，中考数学成绩为108分，求后两次考试成绩的平均增长率． 20. 已知关于的一元二次方程．求证：无论取任何实数，此方程总有实数根． 21. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长． （2）已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 22. 已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若的长为5，求的值； （2）为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 23. 【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ； 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方； （2）请运用小明的方法化简：； 【变式探究】 （3）若，且均为正整数，求的值． 24. 如图，在中，，动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向点运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，若两点同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，连结，设点运动的时间为（秒）． （1）当点与点重合时，求的值； （2）当点都在上运动时求的长（用含的代数式表示）； （3）在点运动的过程中的面积是2时，求的值； （4）若是的中点，连结，在点运动的过程中，线段的垂直平分线经过点或点时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校调研系列卷·九年级第一次月者试卷数学（华师版） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟知满足最简二次根式的两个条件是解本题的关键．最简二次根式必须满足两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数不含分母；据此判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、，不是最简二次根式； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3. 将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．把一元二次方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的一般式为：， 若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别为，， 故选：B． 4. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将代入关于x的一元二次方程得到关于的一元二次方程求解即可． 【详解】解：将代入关于x的一元二次方程， 得， 解得， 故选B． 5. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用配方法进行配方即可． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等． 6. 已知，则代数式的值为（ ） A. 28 B. 20 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减运算，主要考查学生的计算能力． 求出的值，再运用完全平方公式得出，代入计算即可． 【详解】解：，， ， ∴． 故选：B． 7. 若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（　　） A. 13 B. 16 C. 12或13 D. 11或16 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用因式分解法求得一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，又由三角形的两边长分别是4和6，利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长，然后求得周长即可． 【详解】∵x2-5x+6=0， ∴（x-3）（x-2）=0， 解得：x1=3，x2=2， ∵三角形的两边长分别是4和6， 当x=3时，3+4＞6，能组成三角形； 当x=2时，2+4=6，不能组成三角形． ∴这个三角形的第三边长是3， ∴这个三角形的周长为：4+6+3=13. 故选A． 【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程与三角形三边关系的知识．此题难度不大，解题的关键是注意准确应用因式分解法解一元二次方程，注意分类讨论思想的应用． 8. 如图，正方形的边长为，以为斜边在正方形的外部作等腰直角三角形，连接、，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，掌握相关的知识是解题关键．过作于点，交于点，根据正方形的性质得，由等腰直角三角形得，从而得，在中，由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，交于点， 四边形是正方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的周长为， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据二次根式中被开方数的非负性即可求得答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 10. 某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场．若有支球队参赛，则可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，关键要求我们掌握单循环制比赛的特点：如果有支球队参加，那么就有场比赛． 本题可设有支球队参赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，从而可以列出一个一元二次方程． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 11. 最简二次根式与是同类二次根式，则=______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，熟记定义是解题关键． 12. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据求解即可． 【详解】解：∵没有实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 若“※”是新规定的某种运算符号，设，则中的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，理解新定义※的运算方法是解题的关键． 根据新定义，列出一元二次方程，再求方程即可． 【详解】解：， 又∵ ， ， 解得． 故答案为：． 14. 下列说法正确的是________． ①方程的解是； ②方程的两个实数根之积为1； ③以、两数为根的一元二次方程可以为：； ④一元二次方程的两实数根的和为． 【答案】③④ 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键掌握相关的知识．根据一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根的判别式，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①由，可得， 解得：或，故①错误； ②， 没有实数根，故②错误； ③，， 当时，，， 以、两数为根的一元二次方程可以为：，故③正确； ④一元二次方程的两实数根的和为，故④正确； 故答案为：③④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． 先计算乘除，再计算减法即可． 【详解】解：原式 ． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】解：， 17. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 18. 如图，四边形是由四个全等的矩形和正方形组成，且，正方形的面积是，求四边形的面积． 【答案】四边形的面积是 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是数形结合．根据正方形的面积求出，进而得到，推出，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形．且面积是， ， ， ， 四边形的面积是． 19. 某校九年级学生一模考试的数学成绩是75分，经过自己不断地努力，二模、中考两次考试成绩的增长率均相同，中考数学成绩为108分，求后两次考试成绩的平均增长率． 【答案】后两次考试成绩的平均增长率是 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设后两次考试成绩的平均增长率是，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设后两次考试成绩的平均增长率是， 由题意，得， 解得不符合本题要求舍去． 答：后两次考试成绩的平均增长率是． 20. 已知关于的一元二次方程．求证：无论取任何实数，此方程总有实数根． 【答案】 证明：， ， ， 无论取任何实数，此方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式．利用根的判别式证明即可． 【详解】略． 21. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长． （2）已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【小问1详解】 解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． 【小问2详解】 解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 22. 已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若的长为5，求的值； （2）为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 【答案】（1） （2），平行四边形是菱形，菱形的边长是4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）将代入原方程可求出的值； （2）根据菱形的性质可得出，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长． 【小问1详解】 解：∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根，的长为5， ∴把代入，得 解得：； 【小问2详解】 解：平行四边形是菱形， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 此时方程为， ， ，即菱形的边长为4； 答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是4． 23. 【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ； 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方； （2）请运用小明的方法化简：； 【变式探究】 （3）若，且均为正整数，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或22 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）仿照小明的方法求解即可； （2）仿照小明的方法，将化成，再代入求解即可； （3）利用所给的方法进行分析，即可求解 【详解】解：（1） ； （2）∵ ， ∴ ； （3）， 或， 或． 24. 如图，在中，，动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向点运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，若两点同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，连结，设点运动的时间为（秒）． （1）当点与点重合时，求的值； （2）当点都在上运动时求的长（用含的代数式表示）； （3）在点运动的过程中的面积是2时，求的值； （4）若是的中点，连结，在点运动的过程中，线段的垂直平分线经过点或点时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）当时．；当时， （3）满足条件的的值是或或 （4）或 【解析】 【分析】根据题意可知，点P和点Q在上运动时才可以重合，且，则解得即可； 首先求得点P在上时的t，再结合（1）知时重合，和点P和点Q运动停止时间，则当，，当，，分别化简即可； ①当点P位于上时，；②当点P位于上时，分和，，求解即可； 利用勾股定理求得，且，①当线段的垂直平分线经过点时，有；②当线段的垂直平分线经过点时，有，分别求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，点P和点Q在上运动时才可以重合，此时，， 则，即，解得； 【小问2详解】 解：点P在上时， 由（1）知时重合， 若点P运动到点时，，解得； 若点Q运动到点时，； 那么，点P和点Q运动时间， 则当，； 当，； 故当时，；当时，． 【小问3详解】 解：①当点P位于上时，，解得， ②当点P位于上时， 若时．，，解得， 若时，，，解得， 综上所述，或或时，的面积是2； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ①当线段的垂直平分线经过点时，如图， 则，即，解得； ②当线段的垂直平分线经过点时，如图， 则，即，解得； 综上所述，或，段的垂直平分线经过点或点． 【点睛】本题主要考查用代数式表示、勾股定理、垂直平分线的性质和解一元一次方程，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用和垂直平分线的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $