精品解析：鲁教版2023-2024学年八年级数学下册期末测试题

2023-2024学年八年级下学期 数学期末测试题 M 卷 一、选择题(每小题4分，共48分) 1. 下列计算错误是（ ） A. B. C. D. 2. 若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（   ） A. ﹣5 B. ﹣ C. D. 5 3. 已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　） A. 4 B. 4 C. 6 D. 4 7. 如图，在中，点，，分别在边，，上，且，．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 9. 如图，点O是等边三角形PQR的中心，P'、Q'、R'分别是OP、OQ、OR的中点，则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形，此时△P'Q'R'与△PQR的位似比、位似中心分别是（　　） A. 2、点P B. 、点P C. 2、点O D 、点O 10. 已知实数a，b分别满足，且a≠b，则的值是（ ） A. 7 B. －7 C. 11 D. －11 11. 按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点O，连接，，，并取它们的中点，连接得到，则下列说法正确的有（ ） ①与是位似图形；②与是相似图形；③与周长之比为；④与的面积之比为. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 12. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH 二、填空题(每小题4分，共32分) 13. 若式子有意义，则x的取值范围是______． 14. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网米的位置上，则球拍击球的高度为_____． 15. 如图，矩形的面积是15，边的长比的长大2，则的长是 ____． 16. 如图，直角∠AOB内一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形CODP的周长是_____． 17. 已知m是关于x的方程的一个根，则＝______． 18. 如图，正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，相似比为，点的坐标为，则点的坐标是__． 19. 如图，AC⊥BC，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，与∠ACB的平分线交于点E，连接BE．若S△ACE=，S△BDE=，则AC=______． 20. 如图，在直角梯形中，，，，，，点 P为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件点 P有____________ 个. 三、解答题(8+10+12+14+14+14=70分) 21. 计算 （1） （2） 22. 网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF． 23. 如图，矩形的对角线，相交于点O，若，求的度数. 24. 如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B． （1）求证：AC•CD=CP•BP； （2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长． 25. 某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒． （1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？ （2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？ 26. 如图，矩形中，，E是边上一点，（为大于 2 的整数），连接，作的垂直平分线分别交，于点，与的交点为O，连接和. （1）试判断四边形的形状，并说明理由. （2）当 (为常数)，时，求长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年八年级下学期 数学期末测试题 M 卷 一、选择题(每小题4分，共48分) 1. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的意义和运算法则解答． 【详解】解：A、，正确； B、不是同类二次根式，不能合并，错误； C、，正确； D、，正确； 故选B ． 【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的意义和运算法则是解题关键． 2. 若x：y=1：3，2y=3z，则值是（   ） A. ﹣5 B. ﹣ C. D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为x：y=1：3，2y=3z，所以y=3x，z=2x，所以，故选A． 考点：比例的性质． 3. 已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵2是关于x方程x2﹣2mx+3m=0的一个根， ∴22﹣4m+3m=0，m=4， ∴x2﹣8x+12=0， 解得x1=2，x2=6． ①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14； ②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形． 所以它的周长是14． 故选B． 4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】根据平行线分线段成比例可得， 代入计算可得：， 即可解EC=2， 故选B． 5. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一边长为x米，则另外一边长为：5-x，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式． 【详解】解：一边长为x米，则另外一边长为：5-x， 由题意得：x（5-x）=6， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式． 6. 如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　） A. 4 B. 4 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意判断出△CBA∽△CAD，从而利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵BC＝8，AD是中线， ∴CD＝BD＝4， 在△CBA和△CAD中， ∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C， ∴△CBA∽△CAD， ∴， ∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32， ∴AC＝4； 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 7. 如图，在中，点，，分别在边，，上，且，．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 的值为． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 8. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，分和，两种情况，利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解：当时，方程为，解得：，满足题意； 当时，为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且； 综上：； 故选C． 9. 如图，点O是等边三角形PQR的中心，P'、Q'、R'分别是OP、OQ、OR的中点，则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形，此时△P'Q'R'与△PQR的位似比、位似中心分别是（　　） A. 2、点P B. 、点P C. 2、点O D. 、点O 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到P′Q′=PQ，根据位似三角形的定义、位似中心的定义解答． 【详解】∵△P′Q′R′与△PQR是位似三角形 ∴△P′Q′R′∽△PQR， ∴相似比等于P′Q′：PQ， ∵P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点， ∴P′Q′=PQ， ∴△P′Q′R′与△PQR的位似比为， 根据位似中心的定义可知，△P'Q'R'与△PQR的位似中心为点O， 故选D． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似中心的定义、相似三角形的性质是解题的关键． 10. 已知实数a，b分别满足，且a≠b，则的值是（ ） A. 7 B. －7 C. 11 D. －11 【答案】A 【解析】 【详解】∵a，b分别满足，且a≠b， ∴a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根． ∴根据一元二次方程根与系数的关系，得a+b=6，ab=4． ∴． 故选:A． 11. 按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点O，连接，，，并取它们的中点，连接得到，则下列说法正确的有（ ） ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的相关知识，注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方，对应的周长的比等于相似比． 【详解】解：根据位似性质得出与是位似图形，故正确； 位似图形也是相似图形，与是相似图形，故正确； 将的三边缩小的原来的， 与的周长比为，故正确； 根据面积比等于相似比的平方， 与的面积比为，故正确， 故选：． 12. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形． 【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中， ∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形． 二、填空题(每小题4分，共32分) 13. 若式子有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x＞． 【解析】 【详解】解：依题意得：2x+3＞0．解得x＞．故答案为x＞． 14. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网米的位置上，则球拍击球的高度为_____． 【答案】米． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即可知，∽，根据其相似比即可求解． 【详解】如图， ， ∽， ， ， 解得：（米）． 故答案为：米． 15. 如图，矩形的面积是15，边的长比的长大2，则的长是 ____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用，根据题意列出方程，即可求解 【详解】解：由边的长比的长大2，得：． 由矩形的面积，得：．解得（舍）， 故答案为3． 16. 如图，直角∠AOB内一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形CODP的周长是_____． 【答案】12 【解析】 【分析】由∠PCO=∠COB=∠ODP=90°可得四边形CODP是矩形，根据矩形的性质可得OD=PC，OC=PD，根据点P到这个角的两边的距离之和为6即可得答案． 【详解】∵∠PCO=∠COB=∠ODP=90°， ∴四边形CODP是矩形， ∴OD=PC，OC=PD， ∵点P到这个角的两边的距离之和为6，即PC+PD=6， ∴四边形CODP的周长=2（PC+PD）=12． 故答案为：12 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，有三个角是直角的四边形是矩形；矩形的对边相等；正确得出四边形CODP是矩形是解题关键． 17. 已知m是关于x的方程的一个根，则＝______． 【答案】6 【解析】 【详解】解：∵m是关于x的方程的一个根， ∴， ∴， ∴=6， 故答案为6． 18. 如图，正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，相似比为，点坐标为，则点的坐标是__． 【答案】， 【解析】 【分析】根据正方形的性质和位似的性质计算即可； 【详解】解：正方形与正方形是位似图形，为位似中心，相似比为， ， 点的坐标为， 即， ， 四边形是正方形， ． 点的坐标为：，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质和正方形的性质，准确计算是解题的关键． 19. 如图，AC⊥BC，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，与∠ACB的平分线交于点E，连接BE．若S△ACE=，S△BDE=，则AC=______． 【答案】2． 【解析】 【详解】解：过E作AC，BC的垂线，垂足分别为F，G． 设BC=4x，则AC=4x， ∵CE是∠ACB的平分线，EF⊥AC，EG⊥BC， ∴EF=EG．又S△ACE=，S△BDE=， ∴BD=AC=x， ∴CD=3x． ∵四边形EFCG是正方形， ∴EF=FC． ∵EF∥CD， ∴， 即， 解得：EF=x，则， 解得：x=，则AC=4x=2． 故答案为2． 20. 如图，在直角梯形中，，，，，，点 P为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点 P有____________ 个. 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键． 由于，故要使与相似，分两种情况讨论：①，②，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出的长，即可得到点的个数． 详解】解：， ． ， ， ．，，， 设的长为，则长为． 若边上存在点，使与相似，那么分两种情况： ①若，则，即，解得； ②若，则，即，解得或． 满足条件点的个数是个， 故答案为：． 三、解答题(8+10+12+14+14+14=70分) 21. 计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的除法，再计算加减法即可得； （2）先计算平方差公式和完全平方公式，再计算加减法即可得． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 22. 网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】证明：∵ ， ∴． ∴△ABC∽△DEF． 23. 如图，矩形的对角线，相交于点O，若，求的度数. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 首先证明，再证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ． 24. 如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B． （1）求证：AC•CD=CP•BP； （2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP； （2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长． 【详解】解：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵∠APD=∠B， ∴∠APD=∠B=∠C． ∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC， ∴∠BAP=∠DPC， ∴△ABP∽△PCD， ∴， ∴AB•CD=CP•BP． ∵AB=AC， ∴AC•CD=CP•BP； （2）∵PD∥AB， ∴∠APD=∠BAP． ∵∠APD=∠C， ∴∠BAP=∠C． ∵∠B=∠B， ∴△BAP∽△BCA， ∴． ∵AB=10，BC=12， ∴， ∴BP=． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键． 25. 某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒． （1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？ （2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？ 【答案】（1）35元/盒；（2）20%． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论． 试题解析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据题意得：，解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解． 答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒． （2）设年增长率为m，2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）． 根据题意得：（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100，解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：年增长率为20%． 考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用；增长率问题． 26. 如图，矩形中，，E是边上一点，（为大于 2 的整数），连接，作的垂直平分线分别交，于点，与的交点为O，连接和. （1）试判断四边形的形状，并说明理由. （2）当 (为常数)，时，求的长. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求证，可得，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可证明四边形为菱形； （2）根据菱形面积不同的计算公式（底乘高和对角线乘积的一半两种计算方式）可计算的长度． 【小问1详解】 解：四边形为菱形,理由如下： 四边形是矩形 ， ， 为的垂直平分线， ； 在和中， ， ， ，且 四边形为菱形． 【小问2详解】 当，时，，， 根据勾股定理可以计算， ， 在中， ∴ ∴，， 菱形面积， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质及勾股定理，牢记菱形的底乘高和对角线求面积的计算公式，熟练运用勾股定理才能解本题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$