第十四章 专题三 本章创新考点（内文）-【教与学·学导练】2024-2025学年八年级上册数学同步课件PPT（人教版）

数学 八年级 上册 配人教版 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 第十四章　整式的乘法与因式分解 专题三　本章创新考点 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 01 创新考点 02 创新变式 目 录 CONTENTS 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 考点一：运用整体思想化简求值 【例1】（2022·盐城）先化简，再求值：（ x ＋4）（ x －4）＋（ x －3）2，其中 x2－3 x ＋1＝0. 解：原式＝ x2－16＋ x2－6 x ＋9 ＝2 x2－6 x －7. ∵ x2－3 x ＋1＝0， ∴ x2－3 x ＝－1. ∴原式＝2（ x2－3 x ）－7 ＝2×（－1）－7 ＝－9. 返回目录 创新考点 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 解：原式＝ x2＋2 x ＋ x2＋2 x ＋1 ＝2 x2＋4 x ＋1. ∵ x2＋2 x －2＝0， ∴ x2＋2 x ＝2. ∴原式＝2（ x2＋2 x ）＋1 ＝2×2＋1 ＝5. 1. （2022·北京）已知 x2＋2 x －2＝0，求式子 x （ x ＋2）＋（ x ＋1）2 的值. 返回目录 创新变式 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 解：原式＝－3 x2－（2 x2＋ x ＋2 x2－2.5） ＝－3 x2－2 x2－ x －2 x2＋2.5 ＝－7 x2－ x ＋2.5. 返回目录 创新考点 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 返回目录 创新变式 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 考点三：巧用乘法公式解规律问题 【例3】（2022·河北）（1）【发现】 两个已知正整数之和与这两个正 整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整 数的平方和； （2）【验证】如（2＋1）2＋（2－1）2＝10为偶数，请把10的一半表 示为两个正整数的平方和； 解：10的一半为5， 5＝4＋1＝22＋12. 返回目录 创新考点 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 （3）【探究】设【发现】中的两个已知正整数为 m ， n ，请论证【发 现】中的结论正确. 解：（ m ＋ n ）2＋（ m － n ）2 　 ＝ m2＋2 mn ＋ n2＋ m2－2 mn ＋ n2 ＝2 m2＋2 n2 ＝2（ m2＋ n2）. ∵ m ， n 为正整数，∴ m2＋ n2是整数. ∴2（ m2＋ n2）一定是偶数，即（ m ＋ n ）2＋（ m － n ）2一定是偶数. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 3. 你能求（ x －1）（ x99＋ x98＋ x97＋…＋ x ＋1）的值吗？遇到这 样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先计算下列 各式的值： （1）（ x －1）（ x ＋1）＝ ​； （2）（ x －1）（ x2＋ x ＋1）＝ ​； （3）（ x －1）（ x3＋ x2＋ x ＋1）＝ ​； （4）由此我们可以得到（ x －1）（ x99＋ x98＋ x97＋…＋ x ＋1） ＝ ​； x2－1　 x3－1　 x4－1　 x100－1　 返回目录 创新变式 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 ①299＋298＋297＋…＋2＋1； ②（－2）2 024＋（－2）2 023＋（－2）2 022＋…＋（－2）＋1. 解：①根据规律可得（2－1）（299＋298＋297＋…＋2＋1）＝2100－1， ∴299＋298＋297＋…＋2＋1＝2100－1. （5）利用上面的结论，完成下面的计算： 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 考点四：巧用乘法公式求解最值问题 【例4】先仔细阅读材料，再尝试解决问题：通过对有理数的学习，我 们知道 x2≥0，本学期学习了完全平方公式后，我们知道 a2±2 ab ＋ b2 ＝（ a ± b ）2.所以完全平方式（ a ± b ）2的值为非负数，这一性质在 数学中有着广泛的应用.比如探求多项式2 x2＋4 x －5的最大（小）值 时，我们可以这样处理： 返回目录 创新考点 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 解：原式＝2（ x2＋2 x ）－5 ＝2（ x2＋2 x ＋12－12）－5 ＝2[（ x ＋1）2－12]－5 ＝2（ x ＋1）2－7. 因为（ x ＋1）2≥0，所以2（ x ＋1）2－7≥－7.当 x ＝－1时，2 x2＋4 x －5取得最小值，最小值是－7. 请根据上面的解题思路，解答下列问题： 求多项式3 x2－12 x ＋2的最小值，并写出对应的 x 的取值. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 解：3 x2－12 x ＋2 ＝3（ x2－4 x ＋22－22）＋2 ＝3[（ x －2）2－22]＋2 ＝3（ x －2）2－10. ∵（ x －2）2≥0， ∴3（ x －2）2－10≥－10. 当 x ＝2时，多项式3 x2－12 x ＋2取得最小值，最小值是－10. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 4. 我们在求式子 y2＋4 y ＋8的最小值时，可以考虑用如下方法求得： 解： y2＋4 y ＋8＝ y2＋4 y ＋4＋4＝（ y ＋2）2＋4. ∵（ y ＋2）2≥0， ∴（ y ＋2）2＋4≥4. ∴ y2＋4 y ＋8的最小值是4. 请用上面的方法解决下面的问题： （1）式子 m2＋2 m ＋4的最小值为 ​； 3　 图Z14－3－1 返回目录 创新变式 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 （2）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15 m）的空地上建一个长方 形花园 ABCD ，花园一边靠墙，另三边用总长为20 m的栅栏围成.如图 Z14－3－1，设 AB ＝ x m，当 x 取何值时，花园的面积最大？最大面积 是多少？ 图Z14－3－1 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 解：设花园的面积为 S m2. 由题意，得 S ＝ x （20－2 x ） ＝－2 x2＋20 x ＝－2（ x2－10 x ） ＝－2（ x2－10 x ＋25－25） ＝－2（ x －5）2＋50. ∵－2（ x －5）2≤0， ∴－2（ x －5）2＋50≤50. ∴当 x ＝5时， S最大值＝50. 答：当 x ＝5时，花园的面积最大，最大面积是50 m2. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配人教版 考点二：化简求值与不等式组的融合 【例2】先化简，再求值：－3 x2－[ x （2 x ＋1）＋（4 x3－5 x ）÷2 x ]， 其中 x 是不等式组的整数解. 解不等式组得1≤ x ＜2. ∴不等式组的整数解为 x ＝1. ∴原式＝－7×12－1＋2.5＝－5.5. 2. 当 x 是不等式组的正整数解时，求多项式（1－3 x ）（1＋3 x ）＋（1＋3 x ）2＋（－ x2）3÷ x4的值. 解： 由①得 x ＜2，由②得 x ＞－ . ∴不等式组的解集为－ ＜ x ＜2. ∴不等式组的正整数解为 x ＝1. ∴原式＝1－9 x2＋1＋6 x ＋9 x2－ x2 ＝－ x2＋6 x ＋2 ＝－12＋6×1＋2 ＝7. ∴该偶数的一半为 [（ m ＋ n ）2＋（ m － n ）2]＝ [2（ m2＋ n2）]＝ m2＋ n2. ∴【发现】中的结论正确. ②根据规律可得（－2－1）[（－2）2 024＋（－2）2 023＋（－2）2 022 ＋…＋（－2）＋1]＝（－2）2 025－1， ∴（－2）2 024＋（－2）2 023＋（－2）2 022＋…＋（－2）＋1＝ . $$