期末复习精练 第七章 平行线的证明-【教与学·学导练】2024-2025学年八年级上册数学同步课件PPT（北师大版）

数 学 八年级 上册 配北师大版 第七章　平行线的证明 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 考点一　定义与命题 【例1】已知：三条不同的直线 a ， b ， c 在同一平面内，① a ∥ b ； ② a ⊥ c ；③ b ⊥ c ；④ a ⊥ b . 请你从①②③④中选择两个作为条件，一个作为结论，用“如 果……那么……”的形式，写出满足下列条件的命题. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (1)写出一个真命题，并证明它的正确性； 解：如果 a ⊥ c ， b ⊥ c ，那么 a ∥ b . 证明：如答图Q7－1. ∵ a ⊥ c ， b ⊥ c ， ∴∠1＝90°，∠2＝90°. ∴∠1＝∠2. ∴ a ∥ b . 答图Q7－1 (2)写出一个假命题，并举出反例. 解：如果 a ⊥ c ， b ⊥ c ，那么 a ⊥ b . 反例：如答图Q7－1，满足 a ⊥ c ， b ⊥ c ，但 a 与 b 不垂直. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【巩固】 1. 能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是(　 　) A B C D A 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 2. 下列命题中，是真命题的是(　 　) D 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 3. 把命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如 果……那么……”的形式为 ​ ​. 4. 要说明命题“带根号的数是无理数”是假命题，请举出一个反 例： ​. 如果两条直线都垂直于同一条直线，那么 这两条直线互相平行　 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 5. 定义：对于任意实数 a ， b ，如果满足 a ＋ b ＝ ab ，那么称 a ， b 互为“美好数”，点( a ， b )为“美好点”. (1)下列命题：①若点( a ， b )为“美好点”，则点( b ， a )也一定为“美 好点”；②存在与1互为“美好数”的数；③若点 a 与 b 互为相反数，则 ( a ， b )一定不是“美好点”.其中真命题是 ；(填序号) ①　 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (2)若( a ，3)为“美好点”，求 a 的值； 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 考点二　平行线的判定 【例2】如图Q7－1，∠1＝∠2，∠ A ＝∠ C ，求证： AE ∥ BC . 图Q7－1 证明：∵∠1＝∠2， ∴ DC ∥ AB . ∴∠ EDC ＝∠ A . ∵∠ A ＝∠ C ， ∴∠ EDC ＝∠ C . ∴ AE ∥ BC . 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【巩固】 6. 下列图形中，由∠1＝∠2，能推出 AB ∥ CD 的是(　 　) A B C D B 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 7. 少数民族传统艺术表演，是某欢乐世界的王牌演艺节目.在展演中， 舞台上的灯光由灯带上位于点 A 和点 C 的两盏激光灯控制.如图Q7－2，光线 AB 与灯带 AC 的夹角∠ A ＝42°，当光线 CB '与灯带 AC 的夹角 ∠ ACB '＝ 时， CB '∥ AB . 图Q7－2 138°或42°　 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 8. 如图Q7－3， EF ⊥ BC 于点 F ， DM ⊥ BC 于点 M ，∠1＝∠2， ∠3＝∠ C . 求证： AB ∥ MN . 图Q7－3 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 证明：∵ EF ⊥ BC ， DM ⊥ BC ， ∴∠ EFC ＝∠ DMC ＝90°. ∴ EF ∥ DM . ∴∠2＝∠ CDM . ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠ CDM . ∴ CD ∥ MN . ∵∠3＝∠ C ， ∴ AB ∥ CD . ∴ AB ∥ MN . 图Q7－3 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 考点三　平行线的性质 【例3】如图Q7－4， FG ∥ AC ，∠1＋∠2＝180°， CE 平分∠ ACD . (1)求证： AB ∥ CE ； 证明：∵ FG ∥ AC ， ∴∠1＋∠ A ＝180°. ∵∠1＋∠2＝180°， ∴∠ A ＝∠2. ∴ AB ∥ CE . 图Q7－4 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (2)若∠ B ＝70°，求∠1的度数. 解：∵ AB ∥ CE ，∠ B ＝70°， ∴∠ ECD ＝∠ B ＝70°. ∵ CE 平分∠ ACD ， ∴∠2＝∠ ECD ＝70°. ∵∠1＋∠2＝180°， ∴∠1＝180°－∠2＝110°. 图Q7－4 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【巩固】 9. 已知直线 a ∥ b ，将含有60°的直角三角板在这两条平行线中按如图 Q7－5所示的方式摆放.若∠1＝44°20'，则∠2＝(　 　) 图Q7－5 A. 44°20' B. 46°40' C. 45°20' D. 45°40' D 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 10. 如图Q7－6，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光 线与一束经过光心 O 的光线相交于点 P ，点 F 为焦点.若∠1＝155°， ∠2＝35°，则∠3的度数为(　 　) 图Q7－6 A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° D 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 11. 如图Q7－7， m ∥ n .若∠1＝105°，则∠2＝ ​. 图Q7－7 75°　 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 12. 如图Q7－8，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝ 38°时，∠1＝ ​. 图Q7－8 52°　 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 13. 已知 AB ∥ CD ， AM 平分∠ BAP . (1)如图Q7－9①，当点 P ， M 在 CD 上时，写出∠ APC 与∠ AMC 的数 量关系，并说明理由； 图Q7－9 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：∠ APC ＝2∠ AMC . 理由：∵ AM 平分∠ BAP ， ∴∠ BAM ＝∠ PAM . ∵ AB ∥ CD ， ∴∠ BAM ＝∠ AMC . ∴∠ PAM ＝∠ AMC . ∴∠ APC ＝∠ PAM ＋∠ AMC ＝2∠ AMC . 图Q7－9 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (2)如图Q7－9②，当点 P 在 AB ， CD 之间，且在 AC 连线右侧，点 M 仍 在 CD 上时，写出∠ P ，∠ C ，∠ AMC 间的数量关系，并说明理由. 图Q7－9 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 ∵ AB ∥ CD ， ∴ PK ∥ CD . ∴∠ CPK ＝∠ C . ∴∠ APC ＝∠ CPK ＋∠ APK ＝∠ C ＋∠ BAP . ∵ AM 平分∠ BAP ， ∴∠ BAP ＝2∠ BAM . ∵ AB ∥ CD ， ∴∠ BAM ＝∠ AMC . ∴∠ BAP ＝2∠ AMC . ∴∠ APC ＝∠ C ＋2∠ AMC . 解：∠ APC ＝∠ C ＋2∠ AMC . 理由：如答图Q7－2，过点 P 作 PK ∥ AB ，则∠ APK ＝∠ BAP . 答图Q7－2 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 考点四　三角形内角和定理与外角的性质 【例4】如图Q7－10， DE 分别与△ ABC 的边 AB ， AC 相交于点 D ， E ，与 BC 的延长线相交于点 F ，∠ B ＝60°，∠ ACB ＝70°， ∠ AED ＝40°.求∠ BDF 的度数. 图Q7－10 解：∵∠ B ＝60°，∠ ACB ＝70°， ∴∠ A ＝180°－∠ B －∠ ACB ＝50°. ∵∠ AED ＝40°， ∴∠ BDF ＝∠ A ＋∠ AED ＝90°. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【巩固】 14. 如图Q7－11，已知 D 是 AB 上一点， E 是 AC 上的一点， BE ， CD 相交于点 F ，∠ A ＝60°，∠ ACD ＝15°，∠ ABE ＝20°. (1)求∠ BDC 的度数； 解：∵∠ BDC 是△ ACD 的外角，∠ A ＝60°，∠ ACD ＝15°， ∴∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ACD ＝60°＋15°＝75°. 图Q7－11 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (2)求∠ BFD 的度数； 解：在△ BDF 中，∠ ABE ＝20°，∠ BDC ＝75°， ∴∠ BFD ＝180°－∠ ABE －∠ BDC ＝180°－20°－75°＝85°. 图Q7－11 (3)求证：∠ BFC ＞∠ A . 证明：∠ BDC 是△ ACD 的外角， ∴∠ BDC ＞∠ A . ∵∠ BFC 是△ BDF 的外角， ∵∠ BFC ＞∠ BDC . ∴∠ BFC ＞∠ A . 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 考点五　本章考试热点题型(综合与实践、综合探究) 15. (综合与实践)综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三 角尺和两条平行线”为背景开展数学活动. 如图Q7－12，已知两直线 a ， b ，且 a ∥ b ，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，∠ ABC ＝60°，∠ BAC ＝30°. 图Q7－12 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (1)如图Q7－12①，若∠1＝42°，则∠2的度数为 ​； (2)小聪同学把图Q7－12①中的直线 a 向上平移得到图Q7－12②，请你 写出图Q7－12②中的∠1与∠2的数量关系，并说明理由； 解：∠2－∠1＝120°. 理由：∵ a ∥ b ，∠ ACB ＝90°， ∴∠ AGF ＝∠1＋∠ ACB ＝∠1＋90°. ∵∠2是△ AFG 的外角，∠ BAC ＝30°， ∴∠2＝∠ BAC ＋∠ AGF ＝30°＋∠1＋90°，即∠2－∠1＝120°. 132°　 图Q7－12 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (3)小颖同学将图Q7－12②中的直线 b 向上平移得到图Q7－12③，请你 写出图Q7－12③中的∠1与∠2的数量关系，并说明理由. 解：∠2＝∠1＋90°. 理由：∵∠ CMN ＝∠1，∠ ACB ＝90°，∠ ANM 是△ CMN 的外角， ∴∠ ANM ＝∠ CMN ＋∠ ACB ＝∠1＋90°. ∵ a ∥ b ， ∴∠2＝∠ ANM . ∴∠2＝∠1＋90°. 图Q7－12 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 16. (综合探究)如图Q7－13①，在△ ABC 中， D 是 AB 上一点， DE ∥ BC 交 AC 于点 E ，点 F 是线段 DE 延长线上一点，连接 FC ，∠ BCF ＋ ∠ ADE ＝180°. 图Q7－13 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (1)求证： CF ∥ AB ； 证明：∵ DE ∥ BC ， ∴∠ ADE ＝∠ B . ∵∠ BCF ＋∠ ADE ＝180°， ∴∠ BCF ＋∠ B ＝180°. ∴ CF ∥ AB . 图Q7－13 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (2)如图Q7－13②，连接 BE ，若∠ ABE ＝40°，∠ ACF ＝60°，求 ∠ BEC 的度数； 解：∵ CF ∥ AB ， ∴∠ ABC ＋∠ BCF ＝180°. ∴∠ ABE ＋∠ EBC ＋∠ ECB ＋∠ ACF ＝180°. ∵∠ ABE ＝40°，∠ ACF ＝60°， ∴∠ EBC ＋∠ ECB ＝180°－40°－60°＝80°. ∴∠ BEC ＝180°－(∠ EBC ＋∠ ECB )＝180°－80°＝100°. 图Q7－13 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (3)如图Q7－13③，在 (2) 的条件下，点 G 是线段 FC 延长线上一点，若 ∠ EBC ∶∠ ECB ＝7∶13， BE 平分∠ ABG ，求∠ CBG 的度数. 图Q7－13 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 A. 若 a ＝－1， b ＝1，则 a ， b 互为倒数 B. 若∠1＝90°，∠2＝90°，则∠1与∠2是对顶角 C. 若 ＝3，则 a ＝3 D. 若∠α＝40°，∠β＝50°，则∠α，∠β互为余角 (答案不唯一)　 解：若( a ，3)为“美好点”， 则有 a ＋3＝3 a . 解得 a ＝ . ∴ a 的值为 . (3)已知点( x ， y )的横、纵坐标是关于 x ， y 的二元一次方程组 的解，请判断点( x ， y )是否为“美好点”？若是， 请求出 m 的值；若不是，请说明理由. 解：当 m ＝ 时，点( x ， y )是“美好点”. 理由：解方程组 得 若点( x ， y )是“美好点”， 则有 m －1＋(－1)＝( m －1)×(－1). 解得 m ＝ . ∴当 m ＝ 时，点( x ， y )是“美好点”. 解：由(2)知∠ EBC ＋∠ ECB ＝80°. ∵∠ EBC ∶∠ ECB ＝7∶13， ∴∠ EBC ＝80°× ＝28°. ∵ BE 平分∠ ABG ，∠ ABE ＝40°， ∴∠ EBG ＝∠ ABE ＝40°. ∴∠ CBG ＝∠ EBG －∠ EBC ＝40°－28°＝12°. $$