第一章 专题四 模型拓展——勾股定理模型-【教与学·学导练】2024-2025学年八年级上册数学同步课件PPT（北师大版）

数 学 八年级 上册 配北师大版 专题四　模型拓展——勾股定理模型 第一章　勾 股 定 理 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 目 录 CONTENTS 02 针对训练 01 模型解读 模型解读 模型一：翻折勾股模型 模型图示： ( a － x )2＋ b2＝ x2 ( c － b )2＋ x2＝( a － x )2 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 ( a － x )2＝ b2＋ x2 ( a － x )2＝ b2＋ x2 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 1. 如图Z1－4－1，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°. 若两直角边 AC ＝6， BC ＝8，将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使 AC 恰好落在斜边 AB 上，且 点 C 与点 E 重合，求 CD 的长. 图Z1－4－1 针对训练 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 解得 x ＝3. 所以 CD 的长为3. 图Z1－4－1 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 2. 如图Z1－4－2，在长方形 ABCD 中， AB ＝1， AD ＝3.将此长方形 折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF ，求 AE 的长. 图Z1－4－2 解：由折叠的性质，得 BE ＝ DE . 设 AE ＝ x ，则 DE ＝3－ x . 所以 BE ＝ DE ＝3－ x . 在Rt△ ABE 中，根据勾股定理，得 AB2＋ AE2＝ BE2，即12＋ x2＝(3－ x )2. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 模型解读 模型二：共边勾股模型 模型图示： a2－ b2＝ m2－ n2＝ c2 a2－ b2＝ m2－ n2＝ c2 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 　 　 a2－ b2＝ m2＋ n2＝ c2 a2－ b2＝ m2＋ n2＝ c2 　 a2－ b2＝ m2－ n2＝ c2 a2＋ b2＝ m2＋ n2＝ c2 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 3. 如图Z1－4－3，在△ ABC 中， AB ＝2， BC ＝6， AC ＝5，求边 BC 上的高. 图Z1－4－3 针对训练 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 解：如答图Z1－4－1，过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D . 设 BD ＝ x ，则 CD ＝6－ x . 根据勾股定理，得 AB2－ BD2＝ AD2＝ AC2－ CD2， 即22－ x2＝52－(6－ x )2. 答图Z1－4－1 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 模型解读 模型三：等腰勾股模型 模型图示： 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 　 a2＋ b2＝ c2＝( m － b )2 a2＋ b2＝( m ＋ a )2 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 4. 如图Z1－4－4，在△ ABC 中， AB ＝6， AC ＝8， BC ＝10， BC 的垂 直平分线分别交 AC ， BC 于点 D ， E . 求 CD 的长. 图Z1－4－4 针对训练 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 在△ ABC 中， AB ＝6， AC ＝8， BC ＝10， 所以 AB2＋ AC2＝62＋82＝100， BC2 ＝102 ＝100. 所以 AB2＋ AC2＝ BC2. 所以△ ABC 是直角三角形，∠ A ＝90°. 因为 DE 垂直平分 BC ，所以 DC ＝ DB . 设 DC ＝ DB ＝ x ，则 AD ＝8－ x . 解：如答图Z1－4－2，连接 DB . 答图Z1－4－2 在Rt△ ABD 中，根据勾股定理，得 AB2＋ AD2＝ BD2，即62＋(8－ x )2＝ x2. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 模型解读 模型四：378和578模型 模型图示： 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 5. 在△ ABC 中， AB ＝ 16， AC ＝ 14， BC ＝ 6，求△ ABC 的面积. 解：因为 AB ＝ 16，AC ＝ 14， BC ＝ 6， 所以 BC ∶ AC ∶ AB ＝3 ∶7 ∶8. 所以该三角形可以和三边长的比为5 ∶7 ∶8的三角形(边长为10，14，16)拼成一个边长为16的等边三角形， 如答图Z1－4－3. 针对训练 答图Z1－4－3 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 模型解读 模型五：垂美四边形模型 规定：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 模型图示： a2＋ d2＝ b2＋ c2 S四边形 ABCD ＝( AC · BD )÷2 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 a2＋ d2＝ b2＋ c2 S四边形 ABCD ＝( AC · BD )÷2 条件：在四边形 ABCD 中，对角线 AC ⊥ BD . 结论：垂美四边形对边的平方和相等，面积等于对角线乘积的一半. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 针对训练 6. 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.小美同学猜想“垂 美四边形两组对边的平方和相等”，如图Z1－4－5，在四边形 ABCD 中，若 AC ⊥ BD ，则 AB2＋ CD2＝ AD2＋ BC2.请判断小美同学的猜想是 否正确，并说明理由. 图Z1－4－5 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 解：猜想正确. 理由：因为在四边形 ABCD 中， AC ⊥ BD ， 所以∠ AOB ＝∠ COD ＝∠ BOC ＝∠ AOD ＝90°. 所以 AB2＝ OA2＋ OB2， CD2＝ OC2＋ OD2， BC2＝ OB2＋ OC2， AD2＝ OA2＋ OD2. 所以 AB2＋ CD2＝ OA2＋ OB2＋ OC2＋ OD2， BC2＋ AD2＝ OB2＋ OC2＋ OA2＋ OD2. 所以 AB2＋ CD2＝ AD2＋ BC2. 图Z1－4－5 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：由翻折的性质，得 AE ＝ AC ＝6， DE ＝ CD ，∠ AED ＝∠ C ＝90°. 设 CD ＝ DE ＝ x ，则 BD ＝8－ x . 在Rt△ ABC 中， AB ＝ ＝10， 所以 BE ＝ AB － AE ＝10－6＝4. 在Rt△ DEB 中，根据勾股定理，得 DE2＋ BE2＝ BD2，即 x2＋42＝(8－ x )2. 解得 x ＝ . 所以 AE 的长为 . 解得 x ＝ . 所以 AD ＝ ＝ ＝ ， 即边 BC 上的高是 . ＋ b2＝ c2 a2＋ b2＝ c2＝( m ＋ b )2 解得 x ＝ . 所以 CD 的长为 . 条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时， 结论：①两个三角形拼在一起构成一个等边三角形； ②两个三角形的面积分别为6 ，10 ； ③边3，8与边5，8的夹角都是60°. 过点 A 作 AH ⊥ BD 于点 H ，则 BH ＝ DH ＝ BD ＝8. 在Rt△ ABH 中，根据勾股定理，得 AH ＝ ＝8 . 所以△ ABC 的面积为 BC · AH ＝ ×6×8 ＝24 . $$