第一章 专题三 本章创新考点-【教与学·学导练】2024-2025学年八年级上册数学同步课件PPT（北师大版）

数 学 八年级 上册 配北师大版 专题三　本章创新考点 第一章　勾 股 定 理 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 目 录 CONTENTS 02 创新变式 01 创新考点 创新考点 考点一：勾股数；直角三角形；整式 【例1】(创新题)已知整式 A ＝( n2－1)2＋(2 n )2，整式 B ＞0. (1)尝试：化简整式 A ； 解：A ＝( n2－1)2＋(2 n )2 ＝ n4－2 n2＋1＋4 n2 ＝ n4＋2 n2＋1 ＝( n2＋1)2. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 解：因为 A ＝ B2＝( n2＋1)2， B ＞0， 所以 B ＝ n2＋1. (2)发现： A ＝ B2，求整式 B ； 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 (3)联想：由上可知， B2＝( n2－1)2＋(2 n )2，当 n ＞1时， n2－1，2 n ， B 为直角三角形的三边长，如图Z1－3－1.填写下表中 B 的值： 直角三角形三边长 n2－1 2 n B 勾股数组Ⅰ — 8 ⁠ 勾股数组Ⅱ 35 — ⁠ 17　 37　 图Z1－3－1 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 创新变式 1. (创新变式)【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为 “勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.据《周髀算经》 记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论.像3，4，5这 样为三边长构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 【问题解决】 (2)柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8， 10；8，15，17；….若此类勾股数的勾为2 m ( m ≥3， m 为正整数)，求 其弦.(用含 m 的式子表示) 解：因为 m 为正整数， 所以2 m 为偶数. 设其股是 a ，则其弦是 a ＋2. 根据勾股定理，得(2 m )2＋ a2＝( a ＋2)2. 解得 a ＝ m2－1. 则 a ＋2＝ m2－1＋2＝ m2＋1. 所以其弦是 m2＋1. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 创新考点 考点二：勾股定理的验证；勾股定理的应用；数学文化 【例2】勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，据传当年毕达哥拉 斯借助如图Z1－3－2所示的两个图验证了勾股定理. 图Z1－3－2 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 (1)请你根据图Z1－3－2验证勾股定理； 解：因为两个图的大正方形的边长均为 a ＋ b ， 所以两个图的面积相等. 图Z1－3－2 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 (2)如图Z1－3－3①，分别以直角三角形的三条边为直径向外作半圆，三个半圆的面积分别记作 S1， S2， S3.若 S1＋ S2＋ S3＝20，则 S3＝ ​； 图Z1－3－3 10　 (3)如图Z1－3－3②，分别以直角三角形的三条边为直径向外作半圆， 直角三角形的两条直角边长分别为3，5，则图中两个月形图案(阴影部 分)的面积为 ​. 7.5　 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 2. (教材创新变式)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅 “弦图”(如图Z1－3－4①)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今. 图Z1－3－4 创新变式 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 (1)若将“弦图”中的两个三角形进行旋转，得到图Z1－3－4②，请利 用图Z1－3－4②验证勾股定理； 解：作辅助线如答图Z1－3－1. 答图Z1－3－1 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 (2)如图Z1－3－5①②③，分别以直角三角形的三条边为边长向外作等 边三角形和等腰三角形，这三个图形中面积关系满足 S1＋ S2＝ S3的 有 个； 图Z1－3－5 3　 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再分别以该直角三角 形的两直角边为边长向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图 Z1－3－6①所示的“勾股树”.在如图Z1－3－6②所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形 M 的边长为定值 m ，四个小正方形 A ， B ， C ， D 的边长分别为 a ， b ， c ， d ，则 a2＋ b2＋ c2＋ d2＝ ​. m2　 图Z1－3－6 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【应用举例】观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些 勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过. 当勾为3时，股4＝ ×(9－1)，弦5＝ ×(9＋1)； 当勾为5时，股12＝ ×(25－1)，弦13＝ ×(25＋1)； 当勾为7时，股24＝ ×(49－1)，弦25＝ ×(49＋1). 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： (1)若勾用 n ( n ≥3，且 n 为奇数)表示，请用含有 n 的式子表示股和弦， 则股＝ 　 ，弦＝ 　 ； ( n2－1)　 ( n2＋1)　 在图Z1－3－2①中，大正方形的面积为 a2＋ b2＋4· ab ＝ a2＋ b2＋2 ab ； 在图Z1－3－2②中，大正方形的面积为 c2＋4· ab ＝ c2＋2 ab . 所以 a2＋ b2＋2 ab ＝ c2＋2 ab . 所以 a2＋ b2＝ c2. 图形的面积可表示为 a2＋ b2＋2· ab ＝ a2＋ b2＋ ab ， 也可表示为 c2＋2· ab ＝ c2＋ ab . 所以 a2＋ b2＋ ab ＝ c2＋ ab . 所以 a2＋ b2＝ c2. $$