第一章 专题二 本章重难点-【教与学·学导练】2024-2025学年八年级上册数学同步课件PPT（北师大版）

数 学 八年级 上册 配北师大版 专题二　本章重难点 第一章　勾 股 定 理 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 一、勾股定理与图形的面积 【例1】如图Z1－2－1，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形 都是正方形. 已知正方形 A ， B ， C ， D 的边长分别是11，15，8，11， 则最大正方形 E 的面积为(　 　) 图Z1－2－1 C A. 346 B. 530 C. 531 D. 532 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【对点训练】 1. 如图Z1－2－2，在Rt△ ABC 中，分别以这个三角形的三条边为边长 向外作正方形，正方形的面积分别记为 S1， S2， S3.若 S3＋ S2－ S1＝ 18.则图中阴影部分的面积为(　 　) 图Z1－2－2 B 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 二、勾股定理的逆定理 【例2】下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是(　 　) A. 7，24，25 B. 8，15，17 C. 5，11，12 D. 18，24，30 C 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【对点训练】 2. 以下列各组数为三角形的三边长，所得三角形是直角三角形的是 (　 　) A. 3，3，2 B. 0.3，0.4，0.5 C. 5，5，5 D. 5，12，15 B 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 图Z1－2－3 A A. 10 B. 12 C. 14 D. 20 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【对点训练】 3. (典型变式)如图Z1－2－4，有一块长、宽、高分别为6，4，3的长方 体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点 A 处沿着长方体表面爬到 顶点 B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长的平方是(　 　) 图Z1－2－4 C A. 67 B. 97 C. 85 D. 81 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 四、勾股定理的应用(实际应用) 【例4】如图Z1－2－5，货车卸货时支架侧面是Rt△ ABC ，其中 ∠ ACB ＝90°.已知 AB ＝2.5 m， AC ＝2 m，则 BC 的长为(　 　) 图Z1－2－5 A. 1.5 m B. 2 m C. 2.5 m D. 3 m A 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【例5】如图Z1－2－6，小明和小华同时从 P 处分别向北偏东60°和南 偏东30°方向出发，他们的速度分别是3 m/s和4 m/s，则10 s后他们之间 的距离为(　 　) 图Z1－2－6 A. 30 m B. 40 m C. 50 m D. 60 m C 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【对点训练】 4. 如图Z1－2－7，一文物被探明位于点 A 地下48 m 处，由于点 A 地面 下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离点 A 14 m的点 B 处斜 着挖掘，那么要找到文物至少要挖(　 　) 图Z1－2－7 C A. 14 m B. 48 m C. 50 m D. 60 m 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 5. 如图Z1－2－8，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒的内部底面直径 是9 cm，内壁高12 cm. 若这支铅笔长为18 cm，则这只铅笔在笔筒外面 部分的长度不可能是(　 　) 图Z1－2－8 A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 6 cm A 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 五、勾股定理的应用(数学文化) 【例6】如图Z1－2－9，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹 高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原 高1丈(1丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹 子底部6尺远，则折断处离地面的高度为(　 　) 图Z1－2－9 B A. 3 尺 B. 3.2 尺 C. 3.6 尺 D. 4 尺 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【对点训练】 6. (典型变式)《九章算术》中记载着这样一个问题：如图Z1－2－10， 已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步， 乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又 斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多 远？解：设甲、乙两人从出发到相遇用了 x 个单位时间.根据勾股定 理，可列方程为(　 　) D 图Z1－2－10 A. (3 x )2＝(7 x )2－102 B. (3 x )2＋(7 x )2＝102 C. (3 x )2＝(7 x －10)2 D. (3 x )2＋102＝(7 x －10)2 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 六、直角三角形的判定及相关计算 【例7】如图Z1－2－11，在△ ABC 中， D 是边 BC 的中点， E 是边 AC 的中点，连接 AD ， BE . (1)若 CD ＝8， CE ＝6， AB ＝20，判断△ ABC 是否是直角三角形，并 说明理由； 解：△ ABC 是直角三角形. 理由：因为 D 是边 BC 的中点， E 是边 AC 的中点， CD ＝8， CE ＝6， 所以 AC ＝2 CE ＝12， BC ＝2 CD ＝16. 所以 AC2＋ BC2＝400. 因为 AB ＝20，所以 AB2＝400. 所以 AB2＝ AC2＋ BC2. 所以△ ABC 是直角三角形. 图Z1－2－11 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (2)若∠ C ＝90°， AD ＝13， AE ＝6，求△ ABC 的面积. 图Z1－2－11 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 图Z1－2－12 (1)判断△ ACD 是否是直角三角形，并说明理由； 所以 AC2＝ CD2＋ AD2.所以△ ACD 是直角三角形. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (2)求线段 DE 的长. 图Z1－2－12 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 七、验证勾股定理 【例8】我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律 和公式，这种方法称之为“无字证明”.下面是用三块全等的直角三角 形移、拼、补所形成的“无字证明”图形.已知直角三角形直角边长分 别为 a ， b ，斜边长为 c ，图Z1－2－13①和②的面积相等，请你根据此 图验证勾股定理. 图Z1－2－13 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 图Z1－2－13 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【对点训练】 8. (典型变式)某数学兴趣小组的同学用火柴盒研究验证勾股定理的新方 法.如图Z1－2－14，火柴盒的一个侧面 ABCD 倒下到 FGCE 的位置，连 接 AF ， AC ， CF . 设 BC ＝ a ， AB ＝ b ， AC ＝ c . 图Z1－2－14 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (1)判断△ ACF 的形状，并说明理由； 解：△ ACF 是等腰直角三角形. 理由：根据题意，得△ ABC ≌△ FGC . 所以∠ FCG ＝∠ ACB ， AC ＝ FC . 在矩形 ABCD 中， ∠ BCD ＝∠ ACB ＋∠ ACD ＝90°， 所以∠ ACF ＝∠ FCG ＋∠ ACD ＝90°. 所以△ ACF 是等腰直角三角形. 图Z1－2－14 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 (2)请利用直角梯形 ABEF 的面积验证勾股定理. 图Z1－2－14 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 A. 6 B. C. 5 D. 三、勾股定理的应用(展开图最短路径) 【例3】如图Z1－2－3，圆柱的底面直径为 ， BC ＝12，动点 P 从点 A 出发，沿着圆柱的侧面移动到 BC 的中点 S ，则移动的最短距离为(　 　) 解：因为 E 是边 AC 的中点， AE ＝6， 所以 AC ＝2 AE ＝12. 在Rt△ ACD 中，∠ C ＝90°， AD ＝13， 根据勾股定理，得 CD ＝ ＝ ＝5. 所以 BC ＝2 CD ＝10. 所以△ ABC 的面积为 AC · BC ＝ ×12×10＝60. 【对点训练】 7. 如图Z1－2－12，在四边形 ABCD 中，∠ B ＝90°， AC 为对角线， DE ⊥ AC 于点 E ， AB ＝8， BC ＝6， CD ＝2 ， AD ＝2 . 解：△ ACD 是直角三角形. 理由：在Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝8， BC ＝6， 根据勾股定理，得 AC2＝ AB2＋ BC2＝82＋62＝100. 所以 AC ＝10. 因为 CD ＝2 ， AD ＝2 ， 所以 CD2＋ AD2＝(2 )2＋(2 )2＝100. 解：在Rt△ ACD 中， DE ⊥ AC 于点 E ， 所以 S△ ACD ＝ AC · DE ＝ AD · CD . 所以 DE ＝ ＝ ＝2 . 解：设图Z1－2－13①的面积为 S1， 则 S1＝ a2＋ b2＋3· ab ＝ a2＋ b2＋ ab . 设图Z1－2－13②的面积为 S2， 则 S2＝ c2＋3· ab ＝ c2＋ ab . 因为 S1＝ S2， 所以 a2＋ b2＋ ab ＝ c2＋ ab . 所以 a2＋ b2＝ c2. 解：因为 BC ＝ a ， AB ＝ b ， AC ＝ c ， EF ＝ CG ＝ BC ＝ a ， CE ＝ GF ＝ AB ＝ b ， FC ＝ AC ＝ c . 所以 S梯形 ABEF ＝ ( EF ＋ AB )· BE ＝ ( a ＋ b )( a ＋ b )＝ a2＋ ab ＋ b2； ＝ ＋ ＋ ＝ ab ＋ ab ＋ c2＝ ab ＋ c2. 所以 a2＋ ab ＋ b2＝ ab ＋ c2，即 a2＋ b2＝ c2. 所以 a2＋ b2＝ c2. $$