第一章 第4课时 勾股定理的应用（内文）-【教与学·学导练】2024-2025学年八年级上册数学同步课件PPT（北师大版）

数 学 八年级 上册 配北师大版 第4课时　勾股定理的应用 第一章　勾股定理 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 3 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 目 录 CONTENTS 02 知识重点 03 对点范例 04 课本母题 05 母题变式 06 创新设计 01 温故知新 (限时3分钟) 温故知新 1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它 的斜边长(　 　) A. 4 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm 2. 在Rt△ ABC 中，它的三边长分别为 a ， b ， c .若 a ＝8， b ＝15，那 么 c2＝(　 　) A. 161 B. 289 C. 225 D. 161或289 C D 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 知识重点 解决有关勾股定理的应用问题，要从实际问题中抽象出 ​三 角形，然后利用勾股定理求解.对于立体图形中的最短路径问题，要先 将立体图形展开为 图形，再利用两点之间 最短，连接 相关点构造直角三角形，然后根据勾股定理求解. 直角　 平面　 线段　 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 对点范例 3. 如图1－4－1，将一根长为8 cm( AB ＝8 cm)的橡皮筋水平放置在桌面 上，固定两端 A 和 B ，然后把中点 C 竖直地向上拉升3 cm至点 D ，则拉 长后橡皮筋的长度为(　 　) 图1－4－1 A. 8 cm B. 10 cm C. 12 cm D. 15 cm B 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 课本母题 知识点1： 勾股定理的应用 【例1】(课本P15习题)如图1－4－2，有一个水池，水面是一个边长为 10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果 把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问：这个 水池水的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 图1－4－2 思路点拨：设未知数表示水池水的深度和芦苇的长度，再根据勾股定理列方程求解即可. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 解：设水池水的深度为 x 尺， 则这根芦苇的长度为( x ＋1)尺. 根据勾股定理，得 x2＋(10÷2)2＝( x ＋1)2. 解得 x ＝12. 则 x ＋1＝13. 答：这个水池水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 母题变式 4. (数学文化)我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题： “今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大意是：如 图1－4－3，一根竹子原本高1丈，折断后竹子顶端恰好抵地，抵地处离 竹子底端3尺远.问折断处离地面的高度是多少？(1丈＝10尺) 图1－4－3 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 解：设折断处离地面的高度是 x 尺，则斜边长是(10－ x )尺. 根据勾股定理，得 x2＋32＝(10－ x )2. 解得 x ＝4.55. 答：折断处离地面的高度是4.55尺. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 知识点2： 圆柱中的最短路径问题 【例2】(课本P13习题)如图1－4－4，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面上圆的周长等于18 cm.在圆柱下底面的点 A 有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点 A 相对的点 B 处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 图1－4－4 思路点拨：先把圆柱的侧面展开，再根据两点之间，线段最短，连接对应线段构造直角三角形，再根据勾股定理求解. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 解：如答图1－4－1，将圆柱侧面展开，连接 AB ，则线段 AB 的长即为 蚂蚁爬行的最短路程. 答图1－4－1 答：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 5. 如图1－4－5，有一圆柱形油罐，底面周长为24 m，高为10 m.从 A 处环绕油罐建梯子，梯子的顶端点 B 正好在点 A 的正上方，梯子最短需 要多少米？ 图1－4－5 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 解：如答图1－4－3，将圆柱形油罐侧面展开，连接 AB ，则线段 AB 的 长即为梯子最短的长度. 答图1－4－3 由题意，得 AC ＝24 m， BC ＝10 m， 根据勾股定理，得 AB2＝ AC2＋ BC2＝676. 所以 AB ＝26(m). 答：梯子最短需要26 m. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 知识点3： 长方体中的最短路径问题 【例3】(课本P15习题改编)如图1－4－6，一个长方体形盒子的长、 宽、高分别为8 cm，8 cm，12 cm .一只蚂蚁想从盒底的点 A 沿盒的表面 爬到盒顶的点 B ，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最 短路程是多少？ 图1－4－6 思路点拨：将长方形的盒子按不同方式展开，不同的展开方式下最短路程有所不同，对比选出最短路程即可. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 方案b，如答图1－4－2②. 根据勾股定理， 得 AB2＝82＋(8＋12)2＝464. 因为400＜464，故蚂蚁爬行的最短路线为方案a，最短路程是20 cm. 解：方案a，如答图1－4－2①. 答图1－4－2 根据勾股定理， 得 AB2＝122＋(8＋8)2＝400. 所以 AB ＝20(cm). 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 6. 如图1－4－7，一个放置在地面上的长方体，长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点 B 与点 C 的距离为5 cm.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短路程是多少？ 图1－4－7 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 解：方案①，如答图1－4－4.根据勾股定理，得 AB2＝ BD2＋ AD2＝(5＋10)2＋202＝625. 所以 AB ＝25(cm). 方案②，如答图1－4－5.根据勾股定理，得 答图1－4－4 答图1－4－5 AB2＝ BE2＋ AE2＝(5＋20)2＋102＝725. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 方案③，如答图1－4－6.根据勾股定理，得 答图1－4－6 AB2＝ AC2＋ BC2＝(20＋10)2＋52＝925. 因为625＜725＜925， 所以取方案①的结果， AB ＝25 cm. 所以蚂蚁爬行的最短路程是25 cm. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 创新设计 7. (综合运用)一架云梯 AD 长25 m，如图1－4－8所示斜靠在一面墙 上，云梯底端离墙7 m( DE ＝7 m). 图1－4－8 (1)这架云梯的顶端离地面的高度 AE 是多少？ 解：在Rt△ ADE 中， AD ＝25 m， DE ＝7 m， 根据勾股定理，得 AE2＝ AD2－ DE2＝252－72＝576. 所以 AE ＝24(m). 答：这架云梯的顶端离地面的高度 AE 是24 m. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 (2)若云梯的顶端 A 下滑了4 m(AA'＝4 m)，则它的底端在水平方向滑动 了多少米？ 解：因为云梯的顶端 A 下滑了4 m， 所以A'E＝ AE －AA'＝20(m). 在Rt△A'D'E中，A'D'＝ AD ＝25 m， 根据勾股定理，得D'E2＝A'D'2－A'E2＝252－202＝225. 所以D'E＝15(m). 所以DD'＝D'E－ DE ＝15－7＝8(m). 答：云梯的底端在水平方向滑动了8 m. 图1－4－8 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 由题意，得 AC ＝12cm， BC ＝ ×18＝9(cm). 根据勾股定理，得 AB2＝ AC2＋ BC2＝225. 所以 AB ＝15(cm). $$