3 勾股定理的应用&专题培优 利用勾股定理解决最短距离问题的常见类型-【提优精练】2024-2025学年八年级上册数学（北师大版）

智学酷 提优精练 数学 八年级 上册(BS _ 勾股定理的应用 抗掘教材,高于教材 知识点一 基础培优题 勾股定理在求最短距离中的应用 2.(教材P13问题变式)如图,有一个圆柱,底面 一题两用(理解知识·激活思维) 周长为15cm,高AB-8cm,在圆柱的下底 1.有一圆柱形容器如图所示,A,B分别为 面A.点处有一只蚂蚁,它想绕圆柱侧面一周 容器下底面与上底面圆周上相对的两点 爬行到点B处,那么它所爬行的最短路程是 B.17cm A.8cm C.23 cm D.13cm 基础设问 (1)画出该容器的侧面展开图 第2题图 第3题图 3.(教材P15T4变式)某校“光学节”的纪念品 (2)如果该容器高8cm,底面半径为 是一个底面为等边三角形的三校镜(示意图 2cm.一只蚂蚁从点A沿容器的外侧面 如图所示).在三校镜的侧面上,从顶点A到 顶点A镶有一圈金属丝,已知此三楼镜的高 爬到点B处吃食,求爬行的最短路程(z 取3) 为8cm,底面边长为2cm,则这圈金属丝的 长度至少为_. 知识点二-勾股定理逆定理的实际应用 4.(教材P13做一做变式)李叔叔建房时挖地基 延展设问 的平面图如图所示,按标准应为长方形,他在 (3)如图,另有一圆柱形敞口容器,高为 挖完后测量了一下,发现AB=DC=8m. 1.2m,底面周长为1m.如图,在容器内壁 AD=BC-6m.AC-9m,请你运用所学知 离容器底部0.3m的点B处有一蚊子,此 识帮他检验一下该地基挖得是否合理 时,一只壁虎正好在容器外壁,离容器上 沿0.3m且与蚊子相对的点A处,求壁虎 捕捉蚊子的最短距离 1 数学和支 勾股定理 知识点三. 处,葛藤的最短长度是 勾股定理在日常生活中的应用 尺.(丈和尺 5.(教材P13例题变式)如图所示,铁路上A,B 是古代的长度单位) 两点(看作直线上的两点)相距40km,C.D 8.如图,A,B两个小镇在河流CD同侧,到河 为两村庄(看作两个点),AD AB,BC1 岸的距离分别为AC=10 km,BD-30 km AB,垂足分别为A.B,AD=24 km,BC 且CD一30km.现在要在河边修建一个自来 16 km.现在要在铁路旁修建一个煤栈,使得 水厂,向A,B两镇供水.铺设水管的费用为 C.D两村庄到煤栈的距离相等,煤栈应建在 每千米3万元,请你在河岸上确定水厂的位 距A点多少千米处? 置,使铺设水管的费用最低,并求出最低 D. 费用. (2 。 能力提升题 综合应用,提升能力 素养创新题 抛战创新,素养发展 6.如图(示意图),一个三级台阶,它的每一级的 9.如图,某沿海城市A接到台风 长、宽、高分别是5cm,3cm,1cm,A和B是 警报,在该市正南方向100km 这个台阶的两个相对的端点,A点处有一只 的B处有一台风中心,沿BC 蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,请你想一 方向以20km/h的速度向C处 想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到 移动.已知城市A到BC的距离AD=60km. B点,最短路程是 ) 那么台风中心经过多长时间可以从B处移 A.12 cm B.13 cm C.14 cm D.15 cm #行 到D处?如果在距台风中心30km的圆形 区域内都有受到台风破坏的危险,正在D处 游玩的游客在接到台风警报后的几小时内指 离才可脱离危险? 中数数 第6题图 第7题图 7.(传统文化)我国古代有这样一道数学问题 “枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤 自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几 何?”题意是:如图所示(示意图),把枯木看作 一个圆柱,因为一丈是10尺,所以该圆柱的 高是20尺,底面周长是3尺,有葛藤自点A 处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B 数数学科技 智学酷 提优精练 数学 八年级 上册(BS) 专题培优 利用勾股定理解决最短距离问题的常见类型 类型一 展开图中的最短距离问题 3.如图,有一透明的长方体玻瑜 1.如图(示意图),在一个长为 鱼缸,其长AD=80cm,高 8m、宽为5m的长方形草 AB-60cm,水深AE-40 cm. 地上放着一根长方体木材, 在水面上紧贴内壁G处有一鱼 已知该木材的较长边和场 惧,G在水面线EF上,且.EG-60cm.一小 地宽AD平行,横截面是边长为2m的正方 虫想从鱼缸外的点A沿缸壁爬进鱼缸内的 点G处吃鱼弭,求小虫爬行的最短路线的 形,则一只蚂蚁从点A处爬过木材到达点C 长度, 处需要走的最短路程是 m. 2.(阅读理解题)葛藤常常绕着树干盘旋而上 它有一手“绝招”,就是它绕树上升的路线,总 E 是沿着最短路线盘旋前进,阅读以上信息,你 能设计一种方法解决下列问题吗? D (1)葛藤绕着树于盘旋而上的示意图 如图所示,如果树的底面周长为 30.cm:从点A绕一圈到点B,葛藤 升高40cm,则它的爬行路程是多少 科枝 厘米? (2)如果树的底面周长为80cm,绕一圈爬行 中数数字科技 100cm,那么爬行一圈升高多少厘米?如果 爬行10圈到达树顶,那么树于高多少米? 类型 平而图形中的最短距离问题 4.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是 AB边上的一点,且AE-3.Q为对角线AC 上的动点,则\BEQ周长的最小值为( ) B.6 A.5 C.7 D.8 中数数字科支 第4题图 第5题图 5.如图,在Rt△ABC中,ACB-90*,AC 6.BC=8,AD平分CAB交BC于点D. E.F分别是AD,AC上的动点,则EF+CE 的最小值为 . 中数数字科支 中数数学科技所以这块地的面积为S△w一S。D=30 最短距离。 6=24(m2). .....D 13.解：(1)810 (2)①因为示+（四2）=m+ ”-2m3+1_n3+2n2+1 4 (四)+2出， 4 由题意，得AD=0.5m,BD=L.2m, 所以当n是大于1的奇数时，(u,“号， 所以AB=A'D2+BD=0.5+1.2= ”为勾殷数。 1.3,所以A'B=1.3m. 2 故壁虎捕捉蚊子的最短距离为1.3m ②因为(2n)2+(n2-1)2=4n2+n'-2n2+ 2.B3.10cm 1=n+2n2+1. 4解：因为AB=DC=8m,AD=BC=6m. (n2+1)2=n'+2n2+1, 所以AB+BC=82+6=64+36=100. 所以(2n)P+(n2-1)=(n2+1)2. 因为AC=9=81. 所以当2m是大于2的偶数时，(2m,n2一1， 所以AB+BC≠AC,所以∠ABC≠90 n2+1)为勾股数. 所以该地基挖得不合理。 故答案为n2+1 5.解：煤栈应建在距A点16km处. 3勾股定理的应用 6B解析：如图，将台阶面展开.因为AC=3X 3+1×3=12(cm).BC=5cm.所以AB2= 1解：(1)如图 AC+BC=169,所以AB=13cm,所以蚂 B 蚁爬行的最短路程是13m.故选B (2)如图，在(1)中展开图的基础上连接AB, 则AB的长即为所求. B 5 7.25解析：把枯木的侧面展开5次，可以转化 为如图所示的形状，一条直角边（即枯木的 经计算，AB=10m故爬行的最短路程为10cm 高)长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺）. (3)如图，将容器侧面展开，作点A关于EF 设葛藤的最短长度为1尺，则1=20十15= 的对称点A',连接A'B,则A'B的长度即为 625=25,所以1=25. 数数字技 专题培优 利用勾股定理解决最短距离 问题的常见类型 1.13解析：如图，将蚂蚁爬行的平面展开，则 8.解：如图，作点A关于CD的对称点A',连接 展开图中的AB=8+2X2=12(m),BC= A'B,A'B与CD交于点P,过点A'作CD的 5m,于是AC2=AB2+BC-122+52=132, 平行线，交BD的延长线于点E, 所以最短路程为AC=13m. 则点P即为所求的水厂的位置，△A'BE为 D M 直角三角形. A N E B 2.解：(1)它的爬行路程是50cm. (2)爬行一圈升高60cm:树千高6m. E 3.解：如图所示，作点A关于BC的对称点A', 在Rt△A'BE中， 连接AG,A'G交BC于点Q,小虫沿着A 易得BE=BD+DE=30+10=40(km), Q→G的路线爬行时，路程最短. A'E=CD=30 km. 由勾股定理，得A'B=A'E十BE=30+ 40=502, 所以A'B=50km,所以50×3=150（万元）. 所以铺设水管的最低费用为150万元. 9.解：因为AB=100km,AD=60km,所以在 Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD= AB一AD=80,所以BD=80km. 在Rt△A'EG中，AE-80cm,EG=60cm, 因为80÷20=4(h). 所以台风中心经过4h可以从B处移到D处. 所以A行=AE+子=100，所以AG=100am 如图，以点D为圆心，以30km为半径作圆. 所以AQ+QG=A'Q+QG=A'G=100cm, 因为在距台风中心30km的圆形区域内都有 所以小虫爬行的最短路线的长度为100cm, 受到台风破坏的危险，所以游客要在台风中 4,B解析：如图，连接BD,DE. 心到达E处之前撒离因为BE=BD一DE= 80一30=50(km),50÷20=2.5(h),所以正在 D处游玩的游客在接到台风警报后的2.5h 内撤离才可脱离危险。 因为四边影ABCD是正方形，所以，点B与点 D关于直线AC对称，所以DE的长即为BQ十 QE的最小值.因为DE=AD+AE=4+ 32=5,所以DE=5,所以△BEQ周长的最 6 小值为DE+BE=5+1=6,故选B 在Rt△ABC中，AC=6,BC=8,由勾股定 解析：如图所示，在AB上取点F',使 理，得AB=10,所以CH=AC·BC_24 AB AF'=AF,过点C作CH⊥AB,垂足为H. 易得EF+CE=EF'+CE, 所以当C,E,F共线，且点F与点H重合 时，EF+CE的值小，最小值为得 【点搜】鱼线段最短 第二章实数 1认识无理数 因为整数的平方不可能是11，分数的平方也 1.解：(1)2 不可能是1山， (2)线段AC的长不可能是整数，也不可能是 所以CD的长不可能是整数，不可能是分 分数。 数，不可能是有理数 理由：找不出平方的结果是2的整数，也找不 12.解：(1)x不是有理数.理由如下： 出平方的结果是2的分数 由题意，得元x2=10x,所以x2=10,所以x 这说明了有些数既不是整数，也不是分数，即 不是有理数. 它们不是有理数，而这些数又是现实生活中 (2)因为3<10<4，所以x的整数部分是3. 客观存在的数。 (3)因为3.16=9.9856,3.163=10.004569. (3)线段AC精确到0.1的长是1.4. 所以x精确到十分位是3.2 2.B 3.AB.GH 13解：设正方形的边长为xm,则x2=3 4解：答案不唯一，合理即可.例如：画出一条长 因为12<3<2.所以1<x<2. 度是无理数的线段AB,一条长度是有理数的 因为1.7=2.89.1.82=3.24， 线段CD,如图所示 所以1.72<3<1.82，所以1.7<x<1.8 因为1.732=2.9929.1.74°=3.0276. D 所以1.73<3<1.742， 所以1.73<x<1.74. 因为1.732-2.999824， 5.B6.A7.C8.29.C 1.7332=3.003289. 所以1.7322<31.733， 10.一吾一号（答案不唯一） 所以1.732<x<1.733. 11.解：在Rt△ACD中，AC为斜边，AC=6. (1)精确到十分位就是保留一位小数，即正 AD=5, 方形的边长为1.7m. 所以CD=AC-AD=6一5=11. (2)精确到百分位就是保留两位小数，即正 7