1.3勾股定理的应用 课时作业2024-2025学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级上册数学1.3勾股定理的应用 课时作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（　　） A． B． C． D． 2．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm，底而周长为12cm，在圆柱的下底面的内壁A处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　） A．2cm B．2cm C．4cm D．10cm 3．如图是一块长、宽、高分别是、和的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点出发，沿长方体的表面爬到和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D． 4．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺 ）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是（    ） A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 5．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在长方体中，，，，点在棱上，，现有一只蚂蚁从点开始，沿着长方体的表面爬行到点，则它爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 7．函数的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底而A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为（　　）．（取3） A． B． C．4 D．3 二、填空题 9．生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的时，则梯子比较稳定．现有一长度为9 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5 m高的墙头吗？ (填“能”或“不能”)． 10．如图，由于台风的影响，一棵树在离地面3m处折断，树顶落在离树干底部5m处，则这棵树在折断前（不包括树根）的长度是 m． 11．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，则两船相距 ． 12．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为 13．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是 km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的 方向． 三、解答题 14．在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为800米，与公路上另一停靠点B的距离为600米，且，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明． 15．如图，某公路上两点的正南方有两村庄，现要在公路上建一个车站，使两村到车站的距离相等，已知，，请计算车站到点的距离．    16．一架梯子长米，如图斜靠在墙上，梯子的底部离墙的底端的距离为米．    (1)求梯子的顶端与地面的距离； (2)如果梯子的顶端上升了米，那么梯子底部在水平方向是不是也向墙的底端靠近了米？为什么？ 17．如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向千米有一台风中心正在B处形成，并沿着北偏东45°的BC方向以15千米/小时的速度向C移动，AD⊥BC于D，如果在距台风中心150千米的区域内都将受到台风的影响，请问： （1）通过计算说明，台风会否影响到A市？ （2）画图计算说明，台风中心从B处出发后，经过几小时会影响到A市，对A市持续影响的时间有多少小时？在第几小时时对A市的影响最大？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B D A C D A 1．B 【分析】根据底面半径求得直径为，根据勾股定理求得吸管在杯子中的最大长度，进而即可求解． 【详解】解：∵底面半径为，则直径为，高为， ∴吸管露在杯口外的长度最少为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 2．D 【分析】根据题意画出图形，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：BC=10cm，AB= cm，CE=2cm， ∴BE=BC-CE=8cm， 在 中，由勾股定理得： ， 即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离10cm． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，画出图形是解题的关键． 3．B 【分析】分三种情况讨论即可，然后利用勾股定理即可求得最短线段的长，再比较三种情况下最短的线段即可得到答案． 【详解】第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是和， 则所走的最短线段是； 第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和， 所以走的最短线段是； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和， 所以走的最短线段是； 因为， 所以第二种情况最短． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是平面展开——最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段． 4．D 【分析】依题意，芦苇的长度为直角三角形的斜边，水深为一直角边，另一直角边为5尺，由勾股定理即可列出方程，进而得到答案． 【详解】解：设水深x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺， 依题意，由勾股定理，得：， 解得， 所以芦苇的长度为13尺． 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，将题目描述问题转化成直角三角形求边长的问题是解题的关键． 5．A 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，当笔斜放时，运用勾股定理可得的最大值，当笔竖立时可得最小值，由此即可求解． 【详解】解：当笔竖立时，； 当笔斜放时，， ∴， 故选：A ． 6．C 【分析】本题考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，先把长方体侧面把按两种方法展开来，分别求出点点的最短距离，比较后即可求解，利用展开图分两种情况分析求解是解题的关键． 【详解】解：当长方体侧面按图展开时，线段的长度为点点的最短距离， 过点作于点，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当长方体侧面按图展开时，线段的长度为点点的最短距离， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是， 故选：． 7．D 【分析】构造Rt△PAC和Rt△PBD，使AC=1，BD=2，CP=，PD=，把问题转化为最短路径问题，通过作对称点，利用两边之和大于第三边进行求解，即可知道答案． 【详解】解：如图，构造Rt△PAC和Rt△PBD，使AC=1，BD=2，CP=，PD=， 原问题转化为：在直线上求一点P，使得PA+PB的值最小； ∵， ∴当A、B、P三点共线时，的最小值为AB； 过B点作BE∥，交AC的延长线于点E，则AE=AC＋CE=AC＋BD=3，BE=CD=， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数最小值问题，解题的关键是掌握如何把代数式转化为几何图形． 8．A 【分析】本题考查了平面展开图的最短路径问题，将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再利用两点之间线段最短，结合勾股定理求出答案． 【详解】解：如图，即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线， 圆柱底面半径为， ， 又， ， 即蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为． 故选A． 9．不能 【分析】根据梯子的长度得到梯子距离墙面的距离，然后用勾股定理求出梯子的顶端距离地面的高度后与8.5比较即可作出判断． 【详解】解：∵梯子底端离墙约为梯子长度的，且梯子的长度为9米， ∴梯子底端离墙约为梯子长度为9×=3米， ∴梯子的顶端距离地面的高度为：， ∵， ∴梯子的顶端不能到达8.5米高的墙头． 故答案为：不能． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据习惯和告诉的梯子的长度求出梯子的底端距离墙面的距离． 10．（3+） 【详解】试题分析：如图，由题意得AB=3m，BC=5m，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得AB==（米）．所以大树的高度是（3+）米． 考点：勾股定理． 11． 【分析】根据题意画出图形，判断出三角形的形状解答即可． 【详解】如图所示：    由题意可得：（海里），（海里）， ∴， 即是直角三角形， ∴（海里）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理解答，体现了数形结合的优点． 12．/8米 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 13． 5 正北 【分析】根据勾股定理和方向角解题即可. 【详解】∵∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km， ∴AB===5（km）， 又∵A地在C地的正东方向， 则B地在C地的正北方向． 故答案为5；正北． 【点睛】本题考查勾股定理的应用；方向角．正确理解题意，将生活问题转化为数学问题是解题的关键. 14．公路段没有危险不需要暂时锁锁，见解析 【分析】过点C作于点D，由勾股定理求出AB的长，再由面积相等求出CD的长，与450米比较即可判断是否要封锁公路． 【详解】公路段没有危险不需要暂时封锁 如图，过点C作于点D． ∵，米，米， ∴（米）． ∴（米）． ∵， ∴公路段没有危险不需要暂时封锁． 【点睛】本题考查了直角三角形在实际生活中的应用，涉及勾股定理、图形的面积，用等积法求高是本题的关键，当然也可以用勾股定理建立方程求高，相对来说本题解法更简单． 15．车站到点的距离为 【分析】根据题意得，，设，则，由勾股定理可得，，由此列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：，， 设，则， 由勾股定理可得： ，， ， 解得：， ， 车站到点的距离为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可． 16．(1)米； (2)梯子底部在水平方向不是也向墙的底端靠近了4.0米；原因见解析． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出的长即可； （2）根据梯子的顶端上升米后，梯子底部在水平方向移动的距离，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据勾股定理可得，梯子的顶端与地面的距离为： （米）， 答：梯子的顶端与地面的距离为米． （2）解：梯子的顶端上升米后，梯子的顶端与地面的距离为： （米）， 此时梯子的底部离墙的底端的距离为： （米）， 梯子底部在水平方向移动的距离为： （米）， ∵， ∴梯子底部在水平方向不是也向墙的底端靠近了米．    17．（1）受到台风影响，见解析（2）12小时，第8小时． 【详解】试题分析：（1）在Rt△ABD中,利用勾股定理直接得出AD的长比较即可；（2）利用勾股定理分别得出BE，DE，DF的长进而分别得出答案． 试题解析：解：（1）在Rt△ABD中，∠B=∠A=45°，则AD=BD，∵,∴AD=BD=120km＜150km，∴A市会受到台风影响； （2）在BC上取两点E，F，使AE=AF=150km，在Rt△ADE中， DE=90（km），同理可得：DF=90km， BE=BD-ED=120-90=30（km），∴，， 答：经过2小时会影响到A市，对A市持续影响的时间有12小时，在第8小时时对A市的影响最大． 考点：勾股定理． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$