精品解析：吉林省长春市南湖实验中学2022-2023学年九年级下学期第三次推荐生考试数学试题

2022-2023学年度九年级下学期第三次推荐生考试数学学科试题 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 1个天文单位是地球与太阳之间平均距离，即1.496亿千米．“1.496亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由6个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（　　） A. BE＝EF B. EF∥CD C. AE平分∠BEF D. AB＝AE 8. 如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点A在直线上运动．以A为顶点在第一象限内作矩形，使各边所在直线与坐标轴平行，且．若函数（）的图象同时经过矩形顶点B、D，则k的值为（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：___． 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围________ 11. 如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若，则等于______度． 12. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B．已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了______米．（参考数据：，，） 13. 边长均为5的正五边形与正六边形按如图的方式拼接在一起，连结，则以为半径的与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和为______． 14. 已知二次函数，当对应的函数值y随x的增大而增大，且对应的图象与直线有公共点时，a的取值范围为______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 一个不透明的口袋中有三张卡片，上面分别标有数字，，2，每张卡片除数字不同外其余均相同．现随机从中摸出一张卡片，记录所摸取的卡片上的数字后放回并搅匀，再随机摸取一张卡片，记录卡片上的数字，用列表法或树形图法求两次记录数字之和是正数的概率． 17. 某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动装．用8100元购进甲种运动装的数量与用9000元购进乙种运动装的数量相同．若两种运动装各购进一套共需380元，求每套甲、乙运动装的进价各为多少元． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图（保留作图痕迹）． （1）将绕着点C顺时针旋转，在图①中作出旋转后的对应线段． （2）在图②中作线段，使点E在边上，且． （3）在图③中作的角平分线． 19. 如图，在中，，为边上的中线．四边形中，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）连结，交于点F，若，，则的长为______． 20. 某中学八、九两个年级各有学生180人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样调查，过程如下： （1）收集数据 从八、九两个年级各随机抽取20名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下： 八年级 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77 九年级 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40 （2）整理、描述数据 按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 成绩x 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 八年级 0 0 1 11 7 1 九年级 1 0 0 7 10 2 （说明：成绩80分及以上为体质健康优秀，70﹣79分为体质健康良好，60﹣69分为体质健康合格，60分以下为体质健康不合格） （3）分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表，请将表格补充完整： 平均数 中位数 众数 八年级 78.3 77.5 　 　 九年级 78 　 　 81 （4）得出结论 ①估计九年级全体学生中体质健康优秀的学生人数为　 　 ②可以推断出　 　年级学生的体质健康情况更好一些，理由为　 　至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 21. 张师傅开车到某地送货，汽车出发前油箱中有油60升，行驶一段时间，张师傅在加油站加油，然后继续向目的地行驶．已知加油前、后汽车都匀速行驶，汽车行驶时每小时的耗油量一定加油前油箱中剩余油量Q（升）与汽车行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示，已知加油完毕油箱中剩余油量为50升． （1）张师傅开车行驶______小时后开始加油，本次加油______升． （2）求加油前Q与t之间的函数关系式． （3）如果加油站距目的地210千米，汽车行驶速度为70千米/时，张师傅要想到达目的地，油箱中的油是否够用？请通过计算说明理由． 22. 在菱形中，P是对角线上一点． 【感知】如图①，过点P作交于点M，作交于点N．易证．（不需要证明） 【应用】如图②，，，的两边分别交边、于点E、F（E、F不与菱形顶点重合），连结． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若，则面积最小值时，与的面积之比为______． 【拓展】如图③，，的两边分别交边所在直线于点E、F，连结，当，，且时，线段的长为______． 23. 如图，中，，，，点D在边上运动，连结．点D不与A、B重合时，过点A作，交于点E，交于点F．设的长为x． （1）边的长为______． （2）当是以为腰的等腰三角形时，求x的值． （3）运动过程中，当点B、F的距离最小时，直接写出这个最小值及此时的面积． （4）运动过程中，当所在直线将的面积分为两部分时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过、．已知点，，，其中点在轴下方，当不重合时，以、为边作矩形． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上时，求点的坐标； （3）当矩形与抛物线在点之间部分图象（包括端点）恰好有两个公共点时，直接写出的取值范围； （4）点为直线与抛物线对称轴的交点，设矩形关于点的对称图形为矩形，当两个矩形的边与抛物线共有不少于两个交点，且交点中最高点与最低点的纵坐标之差为1时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年度九年级下学期第三次推荐生考试数学学科试题 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 1个天文单位是地球与太阳之间平均距离，即1.496亿千米．“1.496亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法----表示较大的数，把一个绝对值大于10的数记成的形式，其中，n是比原整数位数少1的数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案． 【详解】解：1.490亿， 故选：C． 3. 如图是由6个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】从左面看易得第一层有2个正方形，第二层有2个正方形． 故选B. 【点睛】本题考查的知识点是简单组合体的三视图，解题关键是读清题意，知道题目是需要哪个方向的视图再进行作答. 4. 将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 解得，， 解得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：． 5. 如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角得到，再由三角形内角和定理求出，则由圆周角定理可得． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，熟知同圆或等圆，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 6. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设索长为x尺，竿子长为y尺， 根据题意得： 故选A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（　　） A. BE＝EF B. EF∥CD C. AE平分∠BEF D. AB＝AE 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可． 【详解】由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA． ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE， ∵AF＝AB， ∴AF＝BE， ∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AF＝AB， ∴四边形ABEF是菱形， ∴AE平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，故选项A、C正确， ∵CD∥AB， ∴EF∥CD，故选项B正确； 故选D． 【点睛】本题考查尺规作图，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8. 如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点A在直线上运动．以A为顶点在第一象限内作矩形，使各边所在直线与坐标轴平行，且．若函数（）的图象同时经过矩形顶点B、D，则k的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合，矩形的性质，先设，结合矩形的性质可得，，再结合反比例函数的性质可得答案． 【详解】解：∵第一象限内的点A在直线上运动． 设， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴，， ∵函数（）的图象同时经过矩形顶点B、D， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故选：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：___． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可 【详解】解：． 故答案为: . 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围________ 【答案】 【解析】 【分析】根据∆>0列式求解即可. 【详解】由题意得 4-8m>0， ∴. 故答案为. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 11. 如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若，则等于______度． 【答案】114 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质得,又，即可得. 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴. 故答案为：. 12. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B．已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了______米．（参考数据：，，） 【答案】112 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，坡度坡角问题，锐角三角函数等知识，解直角三角形即可求解． 【详解】解：在中，米， ∴米 ， ∴这名滑雪运动员的高度下降了112米， 故答案为：112 13. 边长均为5的正五边形与正六边形按如图的方式拼接在一起，连结，则以为半径的与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，扇形的面积，求出扇形圆心角，利用扇形的面积公式求解 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴以为半径的与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和=扇形的面积， 故答案为： 14. 已知二次函数，当对应的函数值y随x的增大而增大，且对应的图象与直线有公共点时，a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，理解在函数图象中的几何意义及二次函数的增减性是解本题的关键．根据二次函数图象开口和对称轴，得出随的增大而增大图象只取对称轴左侧部分，求出时对应的值，利用推断的取值范围． 【详解】解：由二次函数解析式可知： 函数开口向下，对称轴为直线， ∴在时，随的增大而增大， ∴，即， 当时，， 解得：或（在对称轴右侧，故舍去）， ∵当时，对应的图象与直线有公共点， ∴且， ∴且， 综上，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16. 一个不透明的口袋中有三张卡片，上面分别标有数字，，2，每张卡片除数字不同外其余均相同．现随机从中摸出一张卡片，记录所摸取的卡片上的数字后放回并搅匀，再随机摸取一张卡片，记录卡片上的数字，用列表法或树形图法求两次记录数字之和是正数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 【详解】画树状图 或列表 第一次 第二次 2 0 1 2 0 1 4 由表格知，共有9种等可能结果，其中两次记录数字之和是正数的有3种结果， 所以两次记录数字之和是正数的概率为． 17. 某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动装．用8100元购进甲种运动装的数量与用9000元购进乙种运动装的数量相同．若两种运动装各购进一套共需380元，求每套甲、乙运动装的进价各为多少元． 【答案】甲种运动装每套180元，乙种运动装每套200元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，可设每套甲运动装的进价为x元，则每套乙运动装的进价为元，利用“用8100元购进甲种运动装的数量与用9000元购进乙种运动装的数量相同”得出等式求出答案 【详解】解：设甲种运动装每套x元．根据题意，得 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意． 所以． 答：甲种运动装每套180元，乙种运动装每套200元． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图（保留作图痕迹）． （1）将绕着点C顺时针旋转，在图①中作出旋转后的对应线段． （2）在图②中作线段，使点E在边上，且． （3）在图③中作的角平分线． 【答案】（1） 如图， 则线段就是所求的线段． （2） 如图， 线段就是所求的线段． （3） 根据旋转的性质，作图如下： 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，画图即可． （2）根据，得到，构造相似比即可． （3）根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，画图即可， 本题考查了网格作图，熟练掌握旋转性质，相似的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，，为边上的中线．四边形中，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）连结，交于点F，若，，则的长为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识: （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断； （2）证明推出，由此即可解决问题 【小问1详解】 证明：∵ ∴四边形是平行四边形， ∵为的中点， ∴ ∴ ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴ ∵ , ∵ ∴ ∴, ∴ 20. 某中学八、九两个年级各有学生180人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样调查，过程如下： （1）收集数据 从八、九两个年级各随机抽取20名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下： 八年级 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77 九年级 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40 （2）整理、描述数据 按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 成绩x 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 八年级 0 0 1 11 7 1 九年级 1 0 0 7 10 2 （说明：成绩80分及以上为体质健康优秀，70﹣79分为体质健康良好，60﹣69分为体质健康合格，60分以下为体质健康不合格） （3）分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表，请将表格补充完整： 平均数 中位数 众数 八年级 78.3 77.5 　 　 九年级 78 　 　 81 （4）得出结论 ①估计九年级全体学生中体质健康优秀的学生人数为　 　 ②可以推断出　 　年级学生的体质健康情况更好一些，理由为　 　至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 【答案】（3）75，80.5；（4）①108；②九； 【解析】 【分析】（3）分析数据：根据众数和中位线的定义即可得； （4）①总人数乘以样本中九年级体质优秀人数占九年级人数的比例即可得； ②从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些． 【详解】解：（3）八年级体质健康测试成绩的众数为：75，九年级体质健康测试成绩的中位数为80.5； 故答案为75，80.5； （4）①估计九年级体质健康优秀的学生人数为180×＝108人， 故答案为108； ②可以推断出九年级学生的体质健康情况更好一些，理由为两年级学生的平均数基本相同，而九年级的中位数以及众数均高于八年级，说明九年级学生的体质健康情况更好一些． 故答案为九；两年级学生的平均数基本相同，而九年级的中位数以及众数均高于八年级，说明九年级学生的体质健康情况更好一些． 【点睛】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． 21. 张师傅开车到某地送货，汽车出发前油箱中有油60升，行驶一段时间，张师傅在加油站加油，然后继续向目的地行驶．已知加油前、后汽车都匀速行驶，汽车行驶时每小时的耗油量一定加油前油箱中剩余油量Q（升）与汽车行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示，已知加油完毕油箱中剩余油量为50升． （1）张师傅开车行驶______小时后开始加油，本次加油______升． （2）求加油前Q与t之间的函数关系式． （3）如果加油站距目的地210千米，汽车行驶速度为70千米/时，张师傅要想到达目的地，油箱中的油是否够用？请通过计算说明理由． 【答案】（1）3，35 （2） （3） 油箱中的油够用， 该车每小时耗油量为：（升） 到达目的地还需耗用（升） ∵ ∴张师傅要想到达目的地，油箱中的油够用 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出结论：（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出加油前Q与t之间的函数关系式；（3）根据每小时耗油量固定，求出到达目的地还需耗油量． （1）观察函数图象可知张师傅开车行驶3小时后开始加油，由加油后的剩余油量一加油前的剩余油量=加油量，即可求出本次加油的升数； （2）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出加油前Q与t之间的函数关系式； （3）先求出每小时的耗油量，再求出到达目的地还需耗油量，将其与油箱中剩余油量比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：观察函数图象可知：张师傅开车行驶3小时后开始加油，（升） 故答案为：3；35； 【小问2详解】 解：设加油前Q与t之间的函数关系式为， 将代入得：　 ， 解得， 所以加油前Q与t之间的函数关系式为是． 【小问3详解】 略 22. 在菱形中，P是对角线上一点． 【感知】如图①，过点P作交于点M，作交于点N．易证．（不需要证明） 【应用】如图②，，，的两边分别交边、于点E、F（E、F不与菱形顶点重合），连结． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若，则面积最小值时，与的面积之比为______． 【拓展】如图③，，的两边分别交边所在直线于点E、F，连结，当，，且时，线段的长为______． 【答案】 【应用】（1）是等边三角形，理由如下： 四边形是菱形，， ， ， 点、、、共圆， ，， 是等边三角形； （2）； 【拓展】或 【解析】 【分析】应用：（1）可推出点、、、共圆，从而，，从而得出是等边三角形； （2）可证得，进一步得出结果； 拓展：分两种情况，可推出，进而得出，解：作于，作于，进一步得出结果． 【详解】解：应用： （1）略 （2）当时，的边长最小，则面积最小， 此时， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：； 拓展： 如图，当点E在点B左侧时， 同理（1）可得：是等腰三角形， 四边形是菱形，， ，是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 作于，作于， 可得， 可得，， ， ， 当点E在点B右侧时， 同理：； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关接触知识． 23. 如图，中，，，，点D在边上运动，连结．点D不与A、B重合时，过点A作，交于点E，交于点F．设的长为x． （1）边的长为______． （2）当是以为腰的等腰三角形时，求x的值． （3）运动过程中，当点B、F的距离最小时，直接写出这个最小值及此时的面积． （4）运动过程中，当所在直线将的面积分为两部分时，直接写出的长． 【答案】（1）4 （2）2或 （3）最小值为，面积为 （4）或2 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得出答案； （2）分两种情况，由等腰三角形的性质可得出答案； （3）由题意知点F在以为直径的圆上，取的中点O，连接，交圆O于点F，此时最小，过点F作于点M，证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案 （4）分两种情况，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案 【小问1详解】 解：∵， ∴， 帮答案为：4； 【小问2详解】 解：分两种情况 ：①若， ∴； ②若，则 ∵，， . ∴ ∴， ∴或时，是以为腰的等腰三角形； 【小问3详解】 解：如图， ∴点F在以为直径的圆上，取的中点O，连接，交圆O于点F，此时最小， ∵ ∴， ∴的最小值为， 过点F作于点M， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【小问4详解】 解：分两种情况：①若时，， 过点D作交于点G，如图， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ； ②若时，， 过点D作交于点H，如图， 同理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，或 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题，学会用转化的思想思考问题、 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过、．已知点，，，其中点在轴下方，当不重合时，以、为边作矩形． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上时，求点的坐标； （3）当矩形与抛物线在点之间部分图象（包括端点）恰好有两个公共点时，直接写出的取值范围； （4）点为直线与抛物线对称轴的交点，设矩形关于点的对称图形为矩形，当两个矩形的边与抛物线共有不少于两个交点，且交点中最高点与最低点的纵坐标之差为1时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）将点E代入函数解析式求出m的值，从而确定E点坐标； （3）当E点在抛物线上时，，当C点在抛物线上时，， 解得或（舍），当B点在上时，，解得；当B点在上时，，结合题意可得或是满足题意； （4）结合图象，当时，先确定时，两个矩形的边与抛物线共有不少于两个交点；当最低点在上，最高点在上时，解得或（舍）；当最低点在上，最高点在上时，解得或（舍）；当时，时，两个矩形的边与抛物线共有不少于两个交点；当最高点在上，最低点在上时，解得． 【小问1详解】 解：将、代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 点E在抛物线上， ， 解得或， 即E点的坐标为或； 【小问3详解】 当E点在抛物线上时，， 当C点在抛物线上时，， 解得或（舍）； 当B点在上时，， 解得； 当B点在上时，， 或时，矩形与抛物线在点之间部分图象（包括端点）恰好有两个公共点； 【小问4详解】 ， 抛物线的对称轴为直线， ， 四边形是矩形， ， ，，，， 当时， F点在E点上方，如下图所示， 当时，矩形与抛物线有一个交点，此时矩形与抛物线没有交点， 当在抛物线上时，， 解得或（舍）， 当时，矩形与抛物线没有交点，此时矩形与抛物线有一个交点， 时，两个矩形的边与抛物线共有不少于两个交点； ， ， 与D的纵坐标之差为， 当时，， 若要交点中最高点与最低点的纵坐标之差为1，最高点与最低点在同一个矩形的边上， 当最低点在上，最高点在上时，， 解得或（舍）； 当最低点在上，最高点在上时，， 解得或（舍）； 当时，如下图所示， F点在E点下方， 当D点在抛物线上时，， 解得（舍）或， 当时，矩形与抛物线有一个交点，此时矩形与抛物线没有交点， 当在抛物线上时，， 解得（舍）或， 当时，矩形与抛物线没有交点，此时矩形与抛物线有一个交点， 时，两个矩形的边与抛物线共有不少于两个交点； 当最高点在上，最低点在上时，， 解得， 综上所述：m的值为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象和性质、矩形的性质，本题属二次函数综合题目．熟练掌握函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $