四川天府新区实外高级中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试卷

1 四川天府新区实外高级中学高 2022 级入学考试 数 学 试 卷 命题：郭明 （时间:120 分钟 试卷满分：150 分） 一、选择题(单选题)：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1. 已知集合 2{ | 1 0}A x x   ，集合  1, 1,3B a a   ，若 A B ，则 a （ ） A． 1 B．0 C．1 D．2 2. 过点  1,0 且与直线 2 2 0x y   平行的直线方程是( ) A． 2 1 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 2 0x y   D． 2 1 0x y   3. 记 nS 为等比数列 na 的前 n项和．若 ,24,12 4635  aaaa 则  n n a S ( ) A． 12 n B． n 122 C． 122  n D． 121 n 4．故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的 阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中.中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9 的整 数倍称为“吉数”.若从 1，3，5，7，9 这五个阳数，2，4，6，8 这四个阴数中各取一个数组成两位数， 则这个两位数恰好是“吉数”的概率是（ ） A． 1 5 B． 9 20 C． 3 10 D． 1 4 5．已知  7 2 70 1 2 71 2x a a x a x a x      ，则下列结论错误的是（ ） A． 0 1a  B． 3 280a   C． 1 2 7 2a a a    D． 1 2 72 7 7a a a    6．函数   3 2 2f x x ax bx a    在 1x  处有极值 10，则点  ,a b 为（ ） A．  3, 3 B．  4,11 C．  3, 3 或  4,11 D．不存在 7. 已知抛物线 2 6y x 的焦点为 F ，准线为 l，过 F的直线与抛物线交于点 A、B，与直线 l交于点 D，若  1AF FB     且 4BD   ，则 ( ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 8．古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施 2 子安贝（古 印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月 31 天计算，记此人第 n日布 施了 na 子安贝（其中 *1 31,n n  N ），数列 na 的前 n项和为 nS .若关于n的不等式 2 1 1254n n nS a ta    恒 成立，则实数 t的取值范围为（ ） 2 A．  , 28 B．  ,30 C．  ,31 D．  ,32 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对得部分分． 9．若正实数 ,a b满足 2 1a b  ，则下列说法正确的是（ ） A. 1 2 a b  的最小值为 8 B. ab的最小值为 1 8 C. 2a b 的最大值为 2 D. 2 24a b 的最小值为 1 2 10. 某个班级共有学生 40 人，其中团员 15 人．全班共分成 4 个小组，第一小组有学生 10 人，其中团员 x 人，如果要在班内选一人当学生代表，在已知该代表是团员的条件下，这个代表恰好在第一小组内的概 率是 4 15 ，则 x 不可能的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．已知函数 2 2 2( ) ex x xf x   ，则下列结论正确的是（ ） A．函数 ( )f x 有极小值 B．函数 ( )f x 在 1x  处切线的斜率为 4 C．当 2 2 62e , e k       时， ( )f x k 恰有三个实根 D．若  0,x t 时， max 2 6( ) e f x  ，则 t的最小值为 2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分。 12.若命题：“ 0x R ，使 2 0 0 1 0mx mx   ”是假命题，则实数 m 的取值范围为___________． 13.如图，在棱长为 1 的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M N， 分别为 BC AD， 的中点，则直线 AM 和CN 夹角的余弦值______． 14. 已知              2 2 2 2, 2 1, 0 , 2 1, 0S x y x y m y x y x y m y            ，   1, 2T x y y x       ， P S T  ，则下列结论中正确的是__________ ①. 当 1 2 m  时，    3 3, 0 2 ,0 , 2 ,02 2S x y y                       ； ②. 当 5 1 2 m   时，P 有 1 个元素； ③. 若 P 有 2 个元素，则 5 5 5 51, 1 1, 1 2 2 2 2 m                       ； ④. 若 P 有 4 个元素，则 m 无整数解； 3 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）已知 na 为等差数列， nb 为公比 1q  的等比数列，且 1 1 1a b  ， 2 2a b ， 5 3a b ． (1)求 na 与 nb 的通项公式； (2)设 1 1 n n n n c b a a    ，求数列 nc 的前n项和 nT ； 16.（15 分） 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是矩形， 2PA AD  ， 4AB  ， M，N分别是线段 AB，PC 的中点． (1)求证：MN / /平面 PAD； (2)在线段 CD 上是否存在一点 Q，使得直线 NQ 与平面 DMN 所成角的正弦值为 1 3 ？若存在，求出 CQ CD 的值； 若不存在，请说明理由． 17．（15 分）自古以来，成都就被称为“天府之国”，无数文人墨客在此毫不吝啬地为之挥洒笔墨，留下 千古诗篇名句，在唐代李白的诗中这样描写到“九天开出一成都,万户千门入画图”，就连马可·波罗都 称之为“世界上最美丽华贵之天城”．第 31 届大运会将在被称为“天府之国”的成都举办，组委会计划 采用服务知识问答和技能考核的形式，从报名者中择优选取一部分成为正式的大运会志愿者、 (1)已知报名者1,2,3组人数之比为3:3: 4，将这 3 组报名者混在一起进行大运会志愿服务知识问答，假设 1,2,3组中的每一个人答对某道题的概率分别为 0.90, 0.95, 0.90，从中任选一人，求此人答对该题的概率； (2)从 4 名女性报名者和 3 名男性报名者中随机选出 3 名进行大运会服务技能考核，记 X 为其中女性的人 数，求 X 的数学期望． 4 18、（17 分）已知椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     的短轴长为 2 3，离心率 1 2 e  ． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若 1 2F F、 分别是椭圆C的左､右焦点，过 2F 的直线 l与椭圆C交于不同的两点 A B、，求△F1AB 的面 积的最大值． 19.（17 分） 设函数   lnf x x x （1）分析  f x 的单调性和极值； （2）设   1 1 e e g x f x       ，若对任意的 0x  ，都有  g x mx 成立，求实数 m 的取值范围； （3）若 1 2x x ，且满足      2 21 2 1 21 12f x f x x x    时，证明： 1 2 2x x  .