精品解析：2023年海南省昌江县思源学校中考数学综合练习试题（一）

2023年海南省昌江县思源学校中考数学综合练习试卷（一） 一、选择题（每题3分，本大题满分36分，） 1. 的相反数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2. 当时，代数式的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 北斗卫星导航系统是我国着眼于经济社会发展需要，自主建设、独立运行的卫星导航系统，属于国家重要空间基础设施．截至2022年3月，北斗高精度时空服务覆盖全球百余个国家和地区，累计服务超11亿人口，请将11亿用科学记数法表示为（　　） A. 1.1×108 B. 1.1×109 C. 1.1×1010 D. 1.1×1011 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 某校举行“预防溺水，从我做起”演讲比赛，7位评委给选手甲的评分如下：90，93，88，93，85，92，95，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 95，92 B. 93，93 C. 93，92 D. 95，93 8. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（ ） A. 37° B. 43° C. 53° D. 54° 9. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，A、B是上的两点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（　　） A. 5 B. C. 6 D. 8 12. 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 二、填空题（每题3分，本大题满分12分，） 13. 分解因式： _______. 14. 点，都在反比例函数的图象上，则___．（填“”或“”） 15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E=________． 16. 如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 三、解答题（本大题满分72分） 17. 计算： （1）计算：； （2）化简：． 18. 学校开展大课间活动，某班需要购买A，B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？ 19. 为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是： A组： B组： C组： D组： E组： 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了_______名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数； （4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？ 20. 如图，小红站在学校电子显示屏正前方5m远的A处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为，显示屏底端C的仰角为，已知小红的眼睛与地面的距离． （1）填空： 度， 度； （2）电子显示屏的底端C距地面多少？ （3）电子显示屏高的值为多少？（结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 21. 已知，F为的边上的一个动点（不与C、D重合），连接并延长交的延长线于点E． （1）如图（1），当F为的中点且于点A时，连接、． ①求证：； ②试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图（2），当且的面积为1时．求的面积． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线=与x轴交于点，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； （3）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （4）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年海南省昌江县思源学校中考数学综合练习试卷（一） 一、选择题（每题3分，本大题满分36分，） 1. 的相反数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的概念求解即可． 【详解】-（-3）=3，即-3的相反数是3， 故选：C． 【点睛】本题主要考查相反数．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，在任意一个数的前面填上“-”号，新的数就表示原数的相反数． 2. 当时，代数式的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】将代入代数式即可求值． 【详解】解：将代入． 故选：D． 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握代入法求代数式的值是解题的关键． 3. 北斗卫星导航系统是我国着眼于经济社会发展需要，自主建设、独立运行的卫星导航系统，属于国家重要空间基础设施．截至2022年3月，北斗高精度时空服务覆盖全球百余个国家和地区，累计服务超11亿人口，请将11亿用科学记数法表示为（　　） A. 1.1×108 B. 1.1×109 C. 1.1×1010 D. 1.1×1011 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：11亿． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，除法，积的乘方以及幂的乘方，根据同底数幂的乘法，除法，积的乘方以及幂的乘方的运算法则进行求解判断即可． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意． 故选：A． 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】移项再合并同类项即可把未知数的系数化“1”，从而可得答案． 【详解】解：， 移项，合并同类项得： 故选D 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步骤”是解本题的关键． 6. 书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式直接求概率即可； 【详解】解：一共有3本书，从中任取1本书共有3种结果， 选中的书是物理书的结果有1种， ∴从中任取1本书是物理书的概率=. 故选： B． 【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键． 7. 某校举行“预防溺水，从我做起”演讲比赛，7位评委给选手甲的评分如下：90，93，88，93，85，92，95，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 95，92 B. 93，93 C. 93，92 D. 95，93 【答案】C 【解析】 【分析】现将数列从小达到重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】数列从小达到重新排列如下： 85，88，90，92，93，93，95， 中位数为：92，众数为：93， 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，理解中位数和众数的定义是解答本题的关键． 8. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（ ） A. 37° B. 43° C. 53° D. 54° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3＝37°， ∵∠FEG＝90°， ∴ ∴∠1＝90°－∠3＝90°－37°＝53° 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 9. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 所以． 经检验，是原方程的解． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 10. 如图，是的直径，A、B是上的两点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是的直径，可得，进而可求出，然后由等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵ ∴． ∵， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 11. 如图，在中，，，分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（　　） A. 5 B. C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再由作法得垂直平分，所以， 所以， 从而得到， 然后根据含度角的直角三角形三边的关系求的长，进而求出的长． 【详解】连接， 如图 ∵， ∴， 由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 12. 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，设，则，则，在中勾股定理建列方程，求得，进而求得，根据，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处， ,， ，， 设，则，， 在中， 即， 解得， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，正切的定义，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 二、填空题（每题3分，本大题满分12分，） 13. 分解因式： _______. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】解：． 故答案为. 14. 点，都在反比例函数的图象上，则___．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】由反比例函数的图像性质得到在同一象限内，随的增大而减小，即可得到答案． 【详解】解：， 在同一象限内，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据反比例函数的图像性质判断出函数的增减性，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E=________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可以得出∠BAC=60°，而将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°，可知∠C′AE=45°，可以求出AC=AC′=EC′=3，据此即可求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=6， 则∠BAC=60°，AC=3，BC=3， 将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后， 则∠C′AC=15°，AC= AC′=3，B′C′=BC=3， ∴∠C′AE=45°， 而∠AC′E=90°，故△AC′E是等腰直角三角形， ∴AC=AC′=EC′=3 ∴B′E= B′C′- EC′=33． 故答案为：33． 【点睛】本题考查旋转变换、直角三角形30度角的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 16. 如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 【答案】##4.8 【解析】 【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案． 【详解】∵四边形EFGH是矩形， ∴， ∴， ∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高， ∴， ∴， ∵， 代入可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键． 三、解答题（本大题满分72分） 17. 计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握相关的性质以及运算法则． （1）先根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂以及有理数乘方的法则化简，然后计算加减即可； （2）根据完全平方公式以及单项式乘多项式的法则化简，然后合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 学校开展大课间活动，某班需要购买A，B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？ 【答案】购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设购买1根A种跳绳x元，1根B种跳绳y元，根据“购买10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购买15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元”即可得出二元一次方程组，求解即可 【详解】解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元． 根据题意，得 解得 答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元． 19. 为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是： A组： B组： C组： D组： E组： 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了_______名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数； （4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？ 【答案】（1）100 （2） 补全统计图如图所示 （3）D组所对应的扇形圆心角度数为 （4）估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人 【解析】 【分析】（1）根据统计图中组的人数与占比，计算求解即可； （2）根据组人数占比为，求出组人数为人，然后作差求出组人数，最后补全统计图即可； （3）根据组人数的占比乘以计算求解即可； （4）根据两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，本次共调查了（人）， 故答案为：100． 【小问2详解】 解：由统计图可知，组人数占比为， ∴组人数为（人）， ∴组人数为（人）． 【小问3详解】 解：由题意知，D组所对应的扇形圆心角度数为， ∴D组所对应的扇形圆心角度数为． 【小问4详解】 解：由题意知，（人） ∴估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息． 20. 如图，小红站在学校电子显示屏正前方5m远的A处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为，显示屏底端C的仰角为，已知小红的眼睛与地面的距离． （1）填空： 度， 度； （2）电子显示屏的底端C距地面多少？ （3）电子显示屏高的值为多少？（结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 【答案】（1）45，40 （2）电子显示屏的底端C距地面 （3）电子显示屏高的值约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）由题意得，，即可求解； （2）延长交地面与点，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答； （3）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， 则，； 故答案为：45，40； 【小问2详解】 延长交地面与点E，过点A作， 由题意得：，， 在中，， ∴， ∴， ∴电子显示屏的底端C距地面； 【小问3详解】 在中，， ∴， ∴， ∴电子显示屏高的值约为． 21. 已知，F为的边上的一个动点（不与C、D重合），连接并延长交的延长线于点E． （1）如图（1），当F为的中点且于点A时，连接、． ①求证：； ②试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图（2），当且的面积为1时．求的面积． 【答案】（1） ①证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； ②解：结论：四边形是平行四边形． 理由：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的全等和相似，熟练掌握平行四边形的判定以及三角形的全等和相似的性质是解题的关键， （1）①根据四边形是平行四边形，可得，即可证明；②由①的全等可得，再根据，即可判断四边形的形状为平行四边形； （2）根据四边形是平行四边形，易证得，，根据相似三角形的性质：面积比是相似比的平方，可得，,由于，可得，，进而可得到的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2中， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴,, ∵， ∴，， ∴， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线=与x轴交于点，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； （3）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （4）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）存在，点M的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明是等腰直角三角形，则，即可求解； （3）与抛物线的对称轴的交点即为点Q，求出直线的解析式，进而即可求解； （4）当为平行四边形对角线时，则，解得：，即可求解；当为平行四边形对角线时，同理可解． 【小问1详解】 解：点，在抛物线的图象上， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由（1）知，抛物线的表达式为：， 令，解得：或， 故点； ①过作于点，过点作轴交于点，如图： ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设，，则， ， ， 当时，的最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大； 面积的最大值； 【小问3详解】 设点，点，， 与关于对称轴对称， 连接与对称轴的交于点， 设解析式为， ， 解得， ， 当时，， ， 点； 【小问4详解】 存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况：①当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ②当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ③当为平行四边形对角线时， 则， 解得：， 点的坐标为； 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $