精品解析：江苏省南通市如皋中学2025届高三上学期期初考试数学试题

江苏省如皋中学2024—2025学年度高三年级测试 数学试卷 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由Venn图确定集合的表示，然后计算可得. 【详解】图中阴影部分表示的集合为， 由，，得或， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 2. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算． 【详解】设圆锥母线长为，高为，底面半径为， 则由，得，所以， 所以． 故选：B． 3. 顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程中参数的几何意义即可列式求解. 【详解】设抛物线方程为或， 依题意知，∴. ∴抛物线方程为. 故选：C. 4. 方程的实数解有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】由换底公式变形解对数方程即可. 【详解】，所以或， 所以或， 所以方程的实数解有2个. 故选：C. 5. 已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段的中点为，利用点差法求得，再利用三角形面积公式求解． 【详解】设，由题可知，， 则，所以，即，解得， 所以，则， 所以， 故选：B． 6. 已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】找出与圆有四个公共点的等价条件，据此结合充分条件、必要条件概念判断即可. 【详解】由圆的方程为可得圆心，半径， 若圆与函数相交，则圆心到直线的距离， 即， 若函数的图象与圆有四个公共点，则原点在圆的外部， 即，解得， 综上函数的图象与圆有四个公共点则， 所以“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的必要不充分条件， 故选：B 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，直线交双曲线的左支于点．若，，，且的外接圆交双曲线的一条渐近线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线定义得到，，由勾股定理逆定理得为直角，在中，由勾股定理得，故，设的外接圆交双曲线的一条渐近线于点，得到方程组，联立得 【详解】因为点M，N分别在双曲线C的右支和左支上， 所以． 又，，，所以， 解得，， 所以，所以是直角． 在中，，所以， 解得， 所以，即． 又的外接圆交双曲线的一条渐近线于点， 所以，所以点的坐标满足，解得， 所以，故. 故选：D． 8. F1、F2分别是椭圆的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF1，∠ABF1=30°，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：如图所示，设，因为，所以， ，所以，解得 ，所以，，在中，由余弦定理得 ，化为，所以 ，化简得，所以，故选A． 考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质． 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了余弦定理和椭圆离心率的求解，注重考查了学生的推理能力和计算能力、转化与化归思想的应用，解答中，根据题设条件，得出，，在根据余弦定理列出关于的方程是解答的关键． 二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则 可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则 可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则 可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则 可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 10. 如图，正方体的棱长为4，点是其侧面上的一个动点（含边界），点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得二面角大小为 B. 存在点，使得平面与平面平行 C. 当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为 D. 当为的中点时，四棱锥外接球的表面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意，证得，得到二面角的平面角，可得判定A错误；利用线面平行的判定定理分别证得平面 ，平面 ，结合面面平行的判定定理，证得平面平面，可判定B正确；取中点，证得，得到，得到点在侧面内运动轨迹是以为圆心、半径为的劣弧，可判定C正确；当为中点时，连接 与交于点，求得，得到四棱锥外接球的球心为，进而可判定D错误. 【详解】对于A，在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，所以A错误； 对于B，如图所示，当M为中点，为中点时， 在正方体中，可得， 因为平面 ，且平面 ，所以平面 ， 又因为，且平面 ，且平面 ，所以平面 ， 因为，且平面，所以平面平面，所以B正确； 对于C，如图所示，取中点，连接， ，， 在正方体中，平面，且， 所以平面，因为平面，可得， 则， 则点在侧面内运动轨迹是以为圆心、半径为2的劣弧， 分别交，于，如图所示，则， 结合对称性可知，， 则，劣弧的长为，所以C正确； 对于D，当为中点时，可得 为等腰直角三角形，且平面平面， 连接 与交于点，可得， 所以四棱锥外接球的球心即为 与的交点， 所以四棱锥外接球的半径为，其外接球的体积为，所以D错误. 故选：BC. 11. 已知抛物线上存在一点到其焦点的距离为3，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为坐标原点．则（ ） A. 抛物线的方程为 B. 直线一定过抛物线的焦点 C. 线段长的最小值为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，求得抛物线的方程，可判定A正确；设，得出和的方程，联立方程组，结合 ，得到是方程的两个不等式的实数根，再由韦达定理和，可判定D正确；由，得出直线，结合直线的点斜式的形式，可判定B不正确，再由圆锥曲线的弦长公式，结合二次函数的性质，可判定C正确. 【详解】由抛物线，可得焦点坐标，准线方程为， 因为抛物线上存在一点到其焦点的距离为， 由抛物线的定义可得，可得 ， 所以抛物线的方程为，所以A正确； 设，显然直线的斜率存在且不为0，设斜率为， 可得的方程为， 联立方程组，整理得， 因为是抛物线的切线，所以，即， 且点的纵坐标为，代入抛物线方程，可得横坐标为，即， 设直线的斜率存在且不为0，设斜率为， 同理可得：，且， 所以是方程的两个不等式的实数根，所以， 因为， 所以 ，所以D正确； 由 ，且，可得， 则直线的方程为，即， 又由，可得， 所以，即， 所以直线一定过定点，该点不是抛物线的焦点，所以B不正确. 由直线的斜率不为0，设直线的方程为 ，且， 联立方程组，整理得，所以， 则 ，当且仅当 时，等号成立， 即的最小值为，所以C正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：解决直线与抛物线有关问题的方法与策略： 1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 过点的等轴双曲线的方程为________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出双曲线方程，代入点的坐标，利用待定系数法求解即可. 【详解】因为双曲线为等轴双曲线， 所以设双曲线方程为，， 将点代入得，解得， 所以双曲线方程为， 故答案为： 13. 过点的直线l与曲线有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为__________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题意，将曲线，变形为， ，分析可得其为圆的上部分， 结合直线与圆的位置关系即可． 【详解】由题意可设直线，又曲线可化为， ， 作出直线l与曲线的图象如图所示： 设图中直线，，，的斜率分别为，，，， 则，，， 又直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 解得（舍去）或， 要使两图象有两个不同的交点，则． 故答案为： 14. 已知过点 可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数导数求解函数的切线方程，由切线过点 可得.构造新函数，结合函数导数判断函数的单调性求得极值，根据数形结合求得实数a的取值范围. 【详解】由题意，设点为曲线的切点， 则切线方程为，整理得， 将点 代入可得. 令，则， 当时， ，单调递减； 当时，，单调递增； 当时， ，单调递减. 又 ，，当时，方程有3个不同的实数根， 即当时，有3个不同的满足方程， 即过点 可作三条直线与曲线相切. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据导数与函数单调性、极值的关系即可求解； （2）结合函数单调性对 分类讨论即可求解. 【小问1详解】 ， 由 ，得；由 ，得． 在上单调递增，在 上单调递减． 的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 由（1）知在上单调递增，在 上单调递减． ，． ①当时，在上单调递减，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，． . 16. 设椭圆 的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为. （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若 的面积为，求直线的方程. 【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ），或. 【解析】 【详解】试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出 两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据 的面积为解方程求出，得出直线的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是. 所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为. （Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得 ，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令 ，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以. 所以，直线的方程为，或. 【考点】直线与椭圆综合问题 【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键. 17. 如图，直三棱柱的体积为1，，，． （1）求证： ； （2）求二面角 的余弦值． 【答案】（1）证明：直三棱柱的体积为： ， 则 ，四边形为正方形， 法一：在直棱柱中，面 ，， 又平面 ，则， 因为，， ， 平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为，所以 ， 在正方形中，有 ， 因为 ， ，， 平面， 所以 平面，又 平面， 所以 ． 法二：直棱柱，平面 ，又， 以为原点，，，所在直线为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系， 则， ，， ， ， ， ， ，所以 ． （2） 【解析】 【分析】（1）法一：由线面垂直证明即可；法二：用空间直角坐标系证明即可； （2）法一：过作 于，连接，由已知得出 为二面角 的平面角，求解即可；法二：建立空间直角坐标系求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得 ， 设 ，在 中，过作 于，连接， 因为 ， ， 平面 ，且 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以 ， 所以 为二面角 的平面角， 因为，，得， 又在 中，，得， ， 所以二面角 的余弦值为． 法二： ， ，， ， ， ， ，设平面的法向量： ， 则，取 ，得 ， ， ，设面的法向量 ， 则，取 ，得 ， 设二面角 的大小为，则： ， 因为为锐角，所以二面角 余弦值为． 18. 设双曲线的方程为，直线过抛物线的焦点和点.已知的焦距为且一条渐近线与平行. （1）求双曲线的方程； （2）已知直线过双曲线上的右焦点，若与交于点（其中点在第一象限），与直线交于点 ，过 作平行于的直线分别交直线轴于点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求抛物线的焦点，根据双曲线的一条渐近线与平行可得，再由双曲线的焦距为即可求解双曲线的方程； （2）设直线的方程为，联立直线与双曲线并结合韦达定理得，然后联立直线与直线得，联立直线与直线得,即可计算. 【小问1详解】 因为拋物线的焦点为， 所以直线的斜率， 因为双曲线的一条渐近线与平行， 所以，即 . 又因为双曲线的焦距为，即， 所以， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 双曲线的右焦点为， 由题意知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为， 联立，消去得， 且， 所以， 将代入得， 所以. 直线方程为，与直线联立， 可得， 因为， 所以. 因为，所以， 所以为 的中点，即. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，第二问解题的关键是设直线的方程为，联立直线与双曲线结合韦达定理得，然后联立直线与直线得，联立直线与直线得,计算量较大，容易混淆. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个不同的根． (i)求的取值范围； (ii)证明：． 【答案】（1） 当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． （2）（i）； （ii）不妨设，则，且． 证法一： 当时，，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即 ， 又，所以， 故，所以，得证． 证法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增， 又 ， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）(i)参变分离可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最值，即可求出的取值范围；(ii) 不妨设，则，分、两种情况讨论，当时，，利用导数说明函数的单调性，即可证明 ，再由基本不等式即可得证. 【小问1详解】 由题意得，，则， 由，解得． 显然 ， 若，则当时，单调递增，当时，单调递减； 若，则当时，单调递减，当时，单调递增． 综上，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． 【小问2详解】 （i）由，得， 设，由(1)得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时， ，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故的取值范围是． （ii）略 【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省如皋中学2024—2025学年度高三年级测试 数学试卷 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 方程的实数解有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点 是双曲线右支上一点，直线交双曲线的左支于点．若，，，且的外接圆交双曲线的一条渐近线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 8. F1、F2分别是椭圆的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF1，∠ABF1=30°，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 10. 如图，正方体的棱长为4，点 是其侧面上的一个动点（含边界），点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得二面角大小为 B. 存在点，使得平面与平面平行 C. 当为棱的中点且时，则点 的轨迹长度为 D. 当 为的中点时，四棱锥外接球的表面积为 11. 已知抛物线上存在一点到其焦点的距离为3，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为坐标原点．则（ ） A. 抛物线的方程为 B. 直线一定过抛物线的焦点 C. 线段长的最小值为 D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 过点的等轴双曲线的方程为________________. 13. 过点的直线l与曲线有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为__________． 14. 已知过点 可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为______. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在区间上的最小值． 16. 设椭圆 的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为. （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设上两点， 关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若 的面积为，求直线的方程. 17. 如图，直三棱柱的体积为1，，，． （1）求证： ； （2）求二面角 的余弦值． 18. 设双曲线的方程为，直线过抛物线的焦点和点.已知的焦距为且一条渐近线与平行. （1）求双曲线的方程； （2）已知直线过双曲线上的右焦点，若与交于点（其中点在第一象限），与直线交于点，过作平行于的直线分别交直线轴于点，求. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个不同的根． (i)求的取值范围； (ii)证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $