精品解析：广西南宁市第三中五象校区学2024-2025学年高二上学期月考数学试题（一）

南宁三中五象校区高2023级高二上数学（一） 出题人：罗卫玲 审题人：黄兵 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积约为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是（ ） A. 极差是4 B. 众数小于平均数 C. 方差是1.8 D. 数据的80%分位数为4 10. 已知，，且，则（） A. B. C. D. 11. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线平面 C. 当时， D. 直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是________. 13. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 14. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）； （2）若认定评分在内的学生为“运动爱好者”，评分在内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率. 16. 如图，在四棱锥中平面ABCD，E为PD的中点，，，． （1）求证：平面平面 （2）求直线EC与平面PAC所成角的正弦值． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 18. 已知的内角所对的边分别是. （1）求角； （2）若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围. 19. 如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； （3）当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中五象校区高2023级高二上数学（一） 出题人：罗卫玲 审题人：黄兵 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解对数不等式求出集合A，再结合交集定义计算即可. 【详解】因为，所以，即， 所以 所以. 故选：C. 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用同角三角关系可得直线l的斜率，结合直线的点斜式方程运算求解. 【详解】设直线l的倾斜角为，则，可得， 则直线l的斜率， 且直线l经过点， 所以直线l的方程为，即. 故选：A. 4. 已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式，结合已知条件，直接求解即可. 【详解】由题可知：， 故在方向上的投影向量为. 故选：B. 5. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 6. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积约为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据球、圆柱、圆台的表面积公式计算即可. 【详解】由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为， 而圆台一个底面的半径为，圆台的母线长为，则，， ，， 所以． 故选：A． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数及正弦函数的单调性，借助媒介数比较大小. 【详解】依题意， 所以. 故选：A 8. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是（ ） A. 极差是4 B. 众数小于平均数 C. 方差是1.8 D. 数据的80%分位数为4 【答案】AC 【解析】 【分析】由极差的定义计算后判断选项A；由众数和平均数的定义计算后判断选项B；计算数据方差判断选项C；计算80%分位数判断选项D. 【详解】数据从小到大排列为1，1，2，3，3，3，3，4，5，5． 对于A，该组数据的极差为，故A正确； 对于B，众数为3，平均数为，两者相等，故B错误； 对于C，方差为，故C正确； 对于D，，这组数据的分位数为第8个数和第9个数的平均数4.5，故D错误． 故选：AC． 10. 已知，，且，则（） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本不等式逐一判断即可. 【详解】对于,因为,且, 所以，即, 当且仅当时等号成立，故错误； 对于,根据选项中可知, 当且仅当时等号成立，故正确; 对于C，, 当且仅当时等号成立,故C错误; 对于D，， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线平面 C. 当时， D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，将三棱锥转换成后易得其体积为定值；对于B，建系后，证明与平面的法向量不垂直即可排除B项；对于C，设出，利用证得，再计算，结果不为0，排除C项；对于D，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】 对于A，如图1，因,故A正确； 对于B，如图2建立空间直角坐标系，则, 于是，， 设平面的法向量为，则，故可取， 由知 与不垂直， 故直线与平面不平行，即B错误； 对于C，由上图建系，则, , 因P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点,不妨设，则，， 由题意，，即，于是， 此时，故与不垂直，即C错误； 对于D，由图知平面的法向量可取为，因， 设直线与平面所成角为， 则，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答. 【详解】因为向量，， 若与的夹角是锐角，等价于且不共线， 则，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 14. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）； （2）若认定评分在内的学生为“运动爱好者”，评分在内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率. 【答案】（1），中位数是分 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为求得，根据中位数的求法求得中位数. （2）先按分层抽样计算出、抽取的人数，然后利用列举法求得所求概率. 【小问1详解】 依题意，，解得. 前三组的频率为， 所以中位数为分. 【小问2详解】 的频率为，的频率为，两者的比例是， 所以抽取的名学生中，中的有人，记为； 在中的有人，记为； 从中抽取人，基本事件有， 共种，其中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的是： ，共种，故所求概率为. 16. 如图，在四棱锥中平面ABCD，E为PD的中点，，，． （1）求证：平面平面 （2）求直线EC与平面PAC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 由题知，，，所以，又 由余弦定理得， 所以，， 即，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）将问题转化为证明平面，利用已知，结合勾股定理即可得证； （2）利用（1）中结论判断线面角，结合直角三角形性质将所求转化为即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，在平面内的射影为，所以在平面内的射影也为， 故直线EC与平面PAC所成角即为. 因为，所以， 所以，又因为E为PD的中点，所以， 所以，所以. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 【答案】（1）， （2） 函数在上为减函数， 证明如下：任取，且， 则， 因为，所以，，，， 所以， 即，所以函数在上为减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和单调性列方程来求得，从而求得的解析式. （2）根据单调性的定义，计算来判断的单调性. （3）利用函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 所以，而，所以，解得， 所以，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是奇函数， 所以不等式可化为， 因为函数在上为减函数，所以． 解得，所以不等式的解集为． 18. 已知的内角所对的边分别是. （1）求角； （2）若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，可得，再结合余弦定理，即可求得角B； （2）求出的外接圆半径，由正弦定理结合三角恒等变换可表示出，结合角A的范围，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 化简可得，由余弦定理得， 因为为三角形内角，，所以. 【小问2详解】 因为的外接圆面积为，故其外接圆半径为， 因为，所以由正弦定理可得 故， 所以 ， 因为为锐角三角形，则， ， 即的周长的取值范围为. 19. 如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； （3）当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） 因为， 所以，即平面， 平面，平面， 所以 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直； （2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可； （3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为二面角是直二面角， 所以平面平面，平面平面，平面，平面， 以分别为轴建立空间直角坐标系， 设平面法向量为， 设平面法向量为 ， 令，得，所以， 设二面角为，则为锐角， 故， ， 【小问3详解】 分别以反方向和方向分别为轴，过做的垂线为z轴， 设，，显然， ， ，得出，则，则， 因为，，故， 化简得， 而在轴上的射影、构成直角三角形，则，且，解得， 设平面的法向量为， 设直线PE与平面ABC所成角为， ， 则， 令，，令，则，且， ， 根据对勾函数在上单调递减，且恒大于0， 则函数在单调递增，则，即， 则，即正弦值的取值范围. 【点睛】方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $