2025届高考物理一轮复习讲义：专题1 电磁感应中的动量问题（单棒 电阻 水平导轨模型）

电磁感应中的动量问题解读和专题训练 专题1　“单棒＋电阻+水平导轨”模型 【问题解读】导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解。 　“单棒＋电阻+水平导轨”模型 情境示例 水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒初速度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从开始运动至停下来 求电荷量q －LBΔt＝0－mv0，q＝Δt，则q＝ 求位移x －Δt＝0－mv0，则x＝Δt＝ 应用技巧 初、末速度已知的变加速运动，在用动量定理列出的式子中q＝Δt，x＝Δt；若已知q或x也可求末速度 【专题训练】 1. （2024山东菏泽高二期末）如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内。MP连线与直导轨垂直，整个空间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。现将长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab从一定高度处以速度水平抛出，不计空气阻力，恰落在MP处，与平行金属直导轨MN、PQ碰撞后竖直方向速度突变为0，水平方向速度不变，忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。求 （1）在接触MP之前，ab棒两端间的电势差； （2）金属环刚开始运动时的加速度大小； （3）为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离和该过程中ab棒上产生的焦耳热。 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】 （1）根据题意可知，对金属棒ab平抛过程中，只有水平方向的速度切割磁感线，故在接触MP之前，ab棒两端间的电势差 （2）根据题意可知，导轨电阻不计，金属环在导轨间两段圆弧并联接入电路中，轨道外侧的两端圆弧金属环被短路，由几何关系可得，每段圆弧的电阻为 可知，整个回路的总电阻为. ab刚接触MP时，竖直速度突变为零，通过ab的感应电流为 对金属环由牛顿第二定律有 解得 （3）根据题意，结合上述分析可知，金属环和金属棒ab所受的安培力等大反向，则系统的动量守恒，由于金属环做加速运动，金属棒做减速运动，为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，则有当金属棒ab和金属环速度相等时，金属棒ab恰好追上金属环，设此时速度为v，由动量守恒定律有 解得 对金属棒ab，由动量定理有 则有 设金属棒运动距离为，金属环运动的距离为，则有 联立解得 则:金属环圆心初始位置到MP的最小距离 由能量守恒得 ab棒上产生的焦耳热 2.（16分）（2024年7月湖南名校联考）如图所示，两间距为L、足够长的光滑平行直导轨固定在绝缘水平地面上，左端固定一阻值为R的定值电阻。空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，质量为m的导体棒紧靠电阻垂直放在导轨上，时刻作用于导体棒的水平恒力F使导体棒由静止开始做加速运动，当导体棒达到最大速度时对应的加速距离为d，此时撤去外力F，同时匀强磁场随时间按照某种规律变化，使得导体棒始终做匀速直线运动，已知导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，电路中其他电阻均不计。求： （1）导体棒的最大速度v； （2）电阻上产生的热量Q； （3）通过回路中某截面的电荷量q； （4）导体棒匀速运动时匀强磁场的磁感应强度大小。随时间t的变化规律。 【名师解析】：（1）导体棒达到最大速度时，安培力大小等于F，设导体棒达到最大速度时产生的电动势为E，则有 （1分） （1分） 解得。（1分） （2）电阻上产生的热量Q等于导体棒克服安培力做的功，所以有 （2分） 解得。（1分） （3）设导体棒的加速时间为，加速过程中的平均速度为，对应的平均电动势为，平均电流为，则有 （1分） （1分） （1分） 解得。（1分） （4）撤去外力F后导体棒做匀速直线运动，说明穿过闭合回路的磁通量保持不变，导体棒达到最大速度时穿过闭合回路的磁通量为BLd，导体棒达到最大速度后在t时刻的磁感应强度大小为，则有 （2分） 对导体棒应用动量定理有（2分） 对上式两边求和得（1分） 解得。（1分） 3. (2024·广东深圳高三月考)某物理小组想出了一种理想化的“隔空”加速系统，该系统通过利用其中一个金属棒在磁场中运动产生感应电流从而使另一个金属棒获得速度，这样就避免了直接对其进行加速时所带来的磨损和接触性损伤，该加速系统可以建模抽象为在足够长的固定水平平行导轨上放有两个金属棒MN和PQ，磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场与导轨所在水平面垂直，方向竖直向下，导轨电阻很小，可忽略不计。如图3为模型俯视图，导轨间的距离L＝1.0 m，每根金属棒质量均为m＝1.0 kg，电阻都为R＝5.0 Ω，可在导轨上无摩擦滑动，滑动过程中金属棒与导轨保持垂直且接触良好，在t＝0时刻，两金属棒都处于静止状态，现有一与导轨平行、大小为F＝2.0 N恒力作用于金属棒MN上，使金属棒MN在导轨上滑动，经过t＝10 s，金属棒MN的加速度a＝1.6 m/s2，求： 图3 (1)此时金属棒PQ的加速度； (2)此时两金属棒MN和PQ的速度； (3)金属棒MN和PQ的最大速度差。 答案　(1)0.4 m/s2　(2)18 m/s　2 m/s　(3)40 m/s 解析　(1)恒力作用于MN杆，使其在导轨上向右加速运动，切割磁感线产生感应电流，根据右手定 则知电流方向为M→N，电流流经PQ，根据左手定则MN受安培力水平向左，PQ受到的安培力水平向右，它们都做加速运动，对MN由牛顿第二定律得F－ILB＝ma 对PQ由牛顿第二定律得ILB＝ma′ 联立解得a′＝0.4 m/s2。 (2)设某时刻MN速度为v1，PQ速度为v2，根据法拉第电磁感应定律有I＝ 在t＝10 s时，对MN，由牛顿第二定律得 F－ILB＝ma 整理得F－＝ma 代入数据得v1－v2＝16 m/s 由于作用于两根杆的安培力等大反向，所以作用于两杆系统的合力为水平恒力F，对系统由动量定理得Ft＝(mv1＋mv2)－0 代入数据得v1＋v2＝20 m/s 联立解得v1＝18 m/s，v2＝2 m/s。 (3)MN杆做加速度减小的加速运动，PQ杆做加速度增大的加速运动，最终共加速度，设两金属棒的共同加速度为a共，对系统有F＝2ma共 对PQ杆有ImLB＝ma共 其中Im＝＝ 联立解得Δvm＝＝40 m/s。 4. 如图1所示，两条相距为L的光滑平行金属导轨位于水平面(纸面)内，其左端接一阻值为R的电阻，导轨平面与磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计。金属棒ab垂直导轨放置并接触良好，接入电路的电阻也为R。若给棒平行导轨向右的初速度v0，当流过棒横截面的电荷量为q时，棒的速度减为零，此过程中棒的位移为s。则(　　) 图1 A.当流过棒的电荷量为时，棒的速度为 B.当棒发生位移为时，棒的速度为 C.在流过棒的电荷量达到的过程中，棒释放的热量为 D.整个过程中定值电阻R释放的热量为 答案　C 解析　对ab棒由动量定理有－BLt＝0－mv0，而q＝t，即－BqL＝0－mv0，当流过棒的电荷量为时，有－B·L＝mv1－mv0，解得v1＝v0，A错误；当棒发生位移为s时，q＝＝，则当棒发生位移为时，q′＝＝，可知此时流过棒的电荷量q′＝，代入BLΔt＝BLq′＝mv2－mv0，解得棒的速度为v2＝v0，B错误；定值电阻与导体棒释放的热量相同，在流过棒的电荷量达到的过程中，棒释放的热量为Q＝＝mv＝，C正确；同理可得整个过程中定值电阻R释放的热量为Q′＝×mv＝，D错误。 5. (2023·北京大兴一模)如图1为汽车在足够长水平路面上以恒定功率P启动的模型，假设汽车启动过程中所受阻力F阻恒定，汽车质量为M；如图2为一足够长的水平的光滑平行金属导轨，导轨间距为L，左端接有定值电阻R，导轨处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，将一质 学生用书第258页 量为m的导体棒垂直搁在导轨上并用水平恒力F向右拉动，导体棒和导轨的电阻不计且两者始终接触良好。图3、图4分别是汽车、导体棒开始运动后的v - t图像，图3和图4中的t1和t2已知。 (1)请分别求汽车和导体棒在运动过程中的最大速度vm1和vm2； (2)请求出汽车从启动到速度达到最大所运动的距离x1； (3)求出导体棒从开始运动到速度达到最大所运动的距离x2。 答案：(1)　　(2)－　(3)－ 解析：(1)vm代表的是匀速运动的速度，也就是平衡时物体的运动速度，对汽车启动问题，有 F牵－F阻＝0，P＝F牵vm1 解得vm1＝ 对导体棒问题，有F－ILB＝0 I＝ 解得vm2＝。 (2)由动能定理可知Mv＝Pt1－F阻x1 解得x1＝－。 (3)由法拉第电磁感应定律E＝N可得，在导体棒从开始运动到速度达到最大过程中 ＝B＝BL 由欧姆定律可知＝ 故安＝LB 由动量定理可知Ft2－安t2＝mvm2 联立解得x2＝－。 6．(多选)如图所示，一质量为2m的足够长的U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，bc边长为L，不计金属框电阻。一长为L的导体棒MN置于金属框上，导体棒的阻值为R、质量为m。装置处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中。现给金属框水平向右的初速度v0，在整个运动过程中MN始终与金属框保持良好接触，则(　　) A．刚开始运动时产生的感应电流方向为M→N→c→b→M B．导体棒的最大速度为 C．通过导体棒的电荷量为 D．导体棒产生的焦耳热为mv 答案：AC 解析：金属框开始获得向右的初速度v0，根据右手定则可知电流方向为M→N→c→b→M，故A正确；以整体为研究对象，由于整体水平方向不受力，所以整体水平方向动量守恒，最后二者速度相等，取初速度方向为正方向，根据动量守恒定律可得2mv0＝3mv，可得v＝v0，故B错误；对导体棒根据动量定理可得LBΔt＝mv－0，其中Δt＝q，可得通过导体棒的电荷量为q＝，故C正确；由能量守恒知导体棒产生的焦耳热为Q＝×2mv－×3mv2＝mv，故D错误。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 电磁感应中的动量问题解读和专题训练 专题1　“单棒＋电阻+水平导轨”模型 【问题解读】导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解。 　“单棒＋电阻+水平导轨”模型 情境示例 水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒初速度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从开始运动至停下来 求电荷量q －LBΔt＝0－mv0，q＝Δt，则q＝ 求位移x －Δt＝0－mv0，则x＝Δt＝ 应用技巧 初、末速度已知的变加速运动，在用动量定理列出的式子中q＝Δt，x＝Δt；若已知q或x也可求末速度 【专题训练】 1. （2024山东菏泽高二期末）如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内。MP连线与直导轨垂直，整个空间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。现将长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab从一定高度处以速度水平抛出，不计空气阻力，恰落在MP处，与平行金属直导轨MN、PQ碰撞后竖直方向速度突变为0，水平方向速度不变，忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。求 （1）在接触MP之前，ab棒两端间的电势差； （2）金属环刚开始运动时的加速度大小； （3）为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离和该过程中ab棒上产生的焦耳热。 2.（16分）（2024年7月湖南名校联考）如图所示，两间距为L、足够长的光滑平行直导轨固定在绝缘水平地面上，左端固定一阻值为R的定值电阻。空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，质量为m的导体棒紧靠电阻垂直放在导轨上，时刻作用于导体棒的水平恒力F使导体棒由静止开始做加速运动，当导体棒达到最大速度时对应的加速距离为d，此时撤去外力F，同时匀强磁场随时间按照某种规律变化，使得导体棒始终做匀速直线运动，已知导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，电路中其他电阻均不计。求： （1）导体棒的最大速度v； （2）电阻上产生的热量Q； （3）通过回路中某截面的电荷量q； （4）导体棒匀速运动时匀强磁场的磁感应强度大小。随时间t的变化规律。 3. (2024·广东深圳高三月考)某物理小组想出了一种理想化的“隔空”加速系统，该系统通过利用其中一个金属棒在磁场中运动产生感应电流从而使另一个金属棒获得速度，这样就避免了直接对其进行加速时所带来的磨损和接触性损伤，该加速系统可以建模抽象为在足够长的固定水平平行导轨上放有两个金属棒MN和PQ，磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场与导轨所在水平面垂直，方向竖直向下，导轨电阻很小，可忽略不计。如图3为模型俯视图，导轨间的距离L＝1.0 m，每根金属棒质量均为m＝1.0 kg，电阻都为R＝5.0 Ω，可在导轨上无摩擦滑动，滑动过程中金属棒与导轨保持垂直且接触良好，在t＝0时刻，两金属棒都处于静止状态，现有一与导轨平行、大小为F＝2.0 N恒力作用于金属棒MN上，使金属棒MN在导轨上滑动，经过t＝10 s，金属棒MN的加速度a＝1.6 m/s2，求： 图3 (1)此时金属棒PQ的加速度； (2)此时两金属棒MN和PQ的速度； (3)金属棒MN和PQ的最大速度差。 4. 如图1所示，两条相距为L的光滑平行金属导轨位于水平面(纸面)内，其左端接一阻值为R的电阻，导轨平面与磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计。金属棒ab垂直导轨放置并接触良好，接入电路的电阻也为R。若给棒平行导轨向右的初速度v0，当流过棒横截面的电荷量为q时，棒的速度减为零，此过程中棒的位移为s。则(　　) 图1 A.当流过棒的电荷量为时，棒的速度为 B.当棒发生位移为时，棒的速度为 C.在流过棒的电荷量达到的过程中，棒释放的热量为 D.整个过程中定值电阻R释放的热量为 5. (2023·北京大兴一模)如图1为汽车在足够长水平路面上以恒定功率P启动的模型，假设汽车启动过程中所受阻力F阻恒定，汽车质量为M；如图2为一足够长的水平的光滑平行金属导轨，导轨间距为L，左端接有定值电阻R，导轨处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，将一质 学生用书第258页 量为m的导体棒垂直搁在导轨上并用水平恒力F向右拉动，导体棒和导轨的电阻不计且两者始终接触良好。图3、图4分别是汽车、导体棒开始运动后的v - t图像，图3和图4中的t1和t2已知。 (1)请分别求汽车和导体棒在运动过程中的最大速度vm1和vm2； (2)请求出汽车从启动到速度达到最大所运动的距离x1； (3)求出导体棒从开始运动到速度达到最大所运动的距离x2。 6．(多选)如图所示，一质量为2m的足够长的U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，bc边长为L，不计金属框电阻。一长为L的导体棒MN置于金属框上，导体棒的阻值为R、质量为m。装置处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中。现给金属框水平向右的初速度v0，在整个运动过程中MN始终与金属框保持良好接触，则(　　) A．刚开始运动时产生的感应电流方向为M→N→c→b→M B．导体棒的最大速度为 C．通过导体棒的电荷量为 D．导体棒产生的焦耳热为mv 1 学科网（北京）股份有限公司 $$