2.1 命题、定理、定义4题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 2.1 命题、定理、定义4题型分类 知识点1 命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 注：1、不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”． 2、只有能够判断真假的陈述句才是命题．祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“是有理数吗？”、“今天天气真好！”等． 3、语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键．一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可．命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性． 知识点2 命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 注：1、一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论． 2、有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式． 知识点3 定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． （一） 在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 题型1：命题的概念 1-1．（2024高三上·江西宜春·期末）唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰 “味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（ ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 1-2．（2024高一·全国·课后作业）给出下列语句：①．②3比5大．③这是一棵大树．④求证：是无理数．⑤二次函数的图象太美啦！⑥4是集合中的元素．其中是命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1-3．（2024高一·全国·课后作业）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 1-4．（2024高一上·全国·课后作业）下列语句是命题的是（    ） A．是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．是一次函数吗 D． 1-5．（2024高一上·全国·课后作业）在下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则. A． B． C． D． （二） 1.对于命题真假的判断应根据已学习过的已有定义、定理、公理及已有结论等进行． 2.在数学中，要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例即可；而要说名一个命题是真命题，要经过严格的逻辑推理，一般根据已有的知识（如数学中的定义、定理、公式等）判断. 题型2：命题真假的判断 2-1．（2024高一上·四川南充·开学考试）下列命题中，真命题的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 2-2．（2024高一上·全国·课后作业）有下列命题：①所有人都喜欢吃苹果；②若，则；③空集是任何集合的真子集.其中真命题共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2-3．（2024高一·江苏·假期作业）下列语句为真命题的是（　　） A． B．四条边都相等的四边形为矩形 C． D．今天是星期天 2-4．（2024高一·江苏·假期作业）下列命题中真命题有（　　） ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2-5．（2024高一上·江苏连云港·期中）关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 （三） 要写出一个命题的条件和结论，一般是把一个命题改写成“如果p，那么q”的形式，其中p是条件，q是结论． 题型3：命题的结构形式 3-1．（2024高一·江苏·课后作业）写出下列命题的条件和结论. （1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等； （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等； （3）若a，b都是偶数，则是偶数； （4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同； （5）若，则； （6）若，则方程有实数解. 3-2．（2024高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 3-3．（2024高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）绝对值相等的数也相等； （2）矩形的对角线相等； （3）角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）两角分别相等的两个三角形相似. 3-4．（2024高一上·江苏·课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 题型4：根据命题的真假求参数 4-1．（2024高一·江苏·假期作业）若“方程有两个不相等的实数根”是真命题，则的取值范围是 . 4-2．（2024高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 4-3．（2024高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 4-4．（2024高一·全国·课后作业）已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（2024高一上·全国·课后作业）下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024高一·江苏·假期作业）下列命题是真命题的是（　　） A．若xy＝1，则x，y互为倒数 B．平面内，四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 3．（2024高一上·北京·阶段练习）下列命题中的真命题是（    ） A． B．集合中最小的数是1 C．的解集可表示为 D． 4．（2024高二下·四川绵阳·阶段练习）下列语句是命题的是（    ） A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树 C．求证： D．3比5大 5．（2024高一·全国·专题练习）命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（    ） A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大 B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大 C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角 D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边 6．（2024高一上·上海嘉定·阶段练习）有以下命题： （1）命题：“在△ABC中，若BCAC，则∠A∠B”； （2）已知，命题“若，则且”； （3）已知，命题“若且，则”. 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2024高一上·河南濮阳·阶段练习）已知集合，，则下列命题中是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2024高一上·辽宁·阶段练习）下列命题是假命题的有（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．若，那么 D．若，那么 9．（2024高一上·广西贺州·阶段练习）下列命题中假命题的个数是（   ） （1）有四个实数解 （2）设a，b，c是实数，若二次方程 无实根，则ac≥0 （3）若 ，则x≠2 A．3 B．2 C．1 D．0 10．（江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2023-2024学年高一上学期第一次调研测试数学试题）关于的方程，有四个命题：甲：该方程两根之和为；乙：是该方程的根；丙：是该方程的根；丁：该方程两根异号．如果有且只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11．（2024高一上·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 12．（2024高一上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 13．（2024高三下·北京·开学考试）在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意，；（2）对任意a，，；（3）对任意a，b，，.给出下列三个结论： ①； ②对任意a，b，，； ③存在a，b，，； 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 14．（2024·福建泉州·二模）甲､乙､丙三人独立解答同一份试卷，试卷共有5题，每人都至少正确解答其中3题，则下列说法一定正确的是（    ） A．至少有2题有多于一人正确解答 B．至少有1题三人都正确解答 C．至少有1题三人都无法正确解答 D．至多有1题无人正确解答 二、多选题 15．（2024·广东肇庆·三模）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若时，则或 16．（2024高一上·广东揭阳·阶段练习）给出以下四个命题，其中真命题是:（    ） A．命题“若互为相反数，则” B．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方” C．命题“若，则有实根” D．命题“若是正整数，则都是正整数” 17．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）下列命题是真命题的为（    ） A．{x∈N|x3+1=0}不是空集 B．若a<0，则|a|>0 C．相似三角形的对应角相等 D．若整数m是偶数，则m是合数 18．（2024高一·江苏·假期作业）（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 三、填空题 19．（2024高一上·上海宝山·阶段练习）下列语句 ①考数学开心吗？ ②好好做作业，争取下次数学能及格 ③2不是素数 ④0是自然数 其中是命题的语句的序号有 . 20．（2024高一上·上海普陀·阶段练习）将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若…则…”形式 . 21．（2024高一上·北京·期中）能够说明“存在不相等的正数，使得”是真命题的一组的值为 22．（2024高一·全国·课后作业）下列命题： ①如果实系数一元二次方程满足，那么这个方程有实根； ②如果，那么除以的余数是或； ③设，如果是的倍数，那么中至少有一个是的倍数； ④已知a，，若，则. 其中是假命题的序号为 . 23．（2024高二上·吉林·期末）若和或都是假命题，则的范围是 24．（2024高一·全国·课后作业）下列四个命题，其中真命题是 ．（填序号） ①若，则x，y互为相反数；    ②面积相等的三角形全等； ③若，则有实数解；    ④若，则． 25．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）若“，”是真命题，则实数的取值范围是 ； 26．（2024高一上·上海徐汇·阶段练习）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为 四、解答题 27．（2024高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）平行于同一条直线的两条直线平行； （3）两个无理数的和是无理数； （4）乘积为正数的两个数同号； （5）两个奇数的和是偶数； （6）矩形的四个角相等； （7）等腰三角形的两个底角相等； （8）直径所对的圆周角是直角. 28．（2024高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 29．（2024高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假． (1)当时，无实根； (2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除． 30．（2024高一上·全国·课后作业）判断下列命题的真假： (1)一个实数不是质数就是合数； (2)若或，则； (3)正方形既是矩形又是菱形； (4)若，则 31．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根； （1）若p为真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围； （3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 32．（2024高一·江苏·课后作业）写出下列命题的条件与结论. （1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等； （2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等； （3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等； （4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例. 33．（2024高一上·全国·单元测试）若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证:若，，则； (3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题：若，，则必有； 命题：若，，且，则必有. 34．（2024高二上·全国·专题练习）试探究命题“方程有实数解”为真命题时，，满足的条件． 35．（2024高一·上海·专题练习）已知集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 36．（2024高一·全国·课后作业）已知：集合，，：．若，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 2.1 命题、定理、定义4题型分类 知识点1 命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 注：1、不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”． 2、只有能够判断真假的陈述句才是命题．祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“是有理数吗？”、“今天天气真好！”等． 3、语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键．一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可．命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性． 知识点2 命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 注：1、一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论． 2、有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式． 知识点3 定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． （一） 在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 题型1：命题的概念 1-1．（2024高三上·江西宜春·期末）唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰 “味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（ ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 【答案】A 【分析】根据命题的定义可得出结论. 【详解】对于A选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句为命题； 对于B选项，“春来发几枝”是疑问句，不是命题； 对于C选项，“愿君多采撷”是祈使句，不是命题； 对于D选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题. 故选：A. 1-2．（2024高一·全国·课后作业）给出下列语句：①．②3比5大．③这是一棵大树．④求证：是无理数．⑤二次函数的图象太美啦！⑥4是集合中的元素．其中是命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据命题的定义逐个分析判断即可. 【详解】命题是指可以判断真假的陈述句，所以②⑥是命题， ①不能判断真假，不是命题； ③“大树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题； ④是祈使句，不是命题； ⑤是感叹句，不是命题． 故选：A 1-3．（2024高一·全国·课后作业）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【答案】D 【分析】根据命题的定义即可求解. 【详解】命题是能判断真假的陈述句， 由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题， ②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题， 故选：D 1-4．（2024高一上·全国·课后作业）下列语句是命题的是（    ） A．是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．是一次函数吗 D． 【答案】B 【分析】根据命题的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，“是一个大数”无法判断真假，不是命题，A错误； 对于B，“若两直线平行，则这两条直线没有公共点”是可以判断真假的陈述句，是命题，B正确； 对于C，“是一次函数吗”不是陈述句，不是命题，C错误； 对于D，“”无法判断真假，不是命题，D错误. 故选：B. 1-5．（2024高一上·全国·课后作业）在下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题的定义直接判断即可. 【详解】命题是可以判断真假的陈述句，对于选项①②③，均为可判断真假的陈述句，即都是命题. 故选：C. （二） 1.对于命题真假的判断应根据已学习过的已有定义、定理、公理及已有结论等进行． 2.在数学中，要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例即可；而要说名一个命题是真命题，要经过严格的逻辑推理，一般根据已有的知识（如数学中的定义、定理、公式等）判断. 题型2：命题真假的判断 2-1．（2024高一上·四川南充·开学考试）下列命题中，真命题的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据不同四边形的不同性质一一判别即可求解. 【详解】对于A,如图,四边形中, ,但对角线互相垂直,所以A错误; 对于B,菱形的对角线互相垂直且平分,所以B错误; 对于C,等腰梯形的对角线相等,所以C错误; 对于D,根据平行四边形的判定定理, 对角线互相平分的四边形是平行四边形, 所以D正确. 故选:D. 2-2．（2024高一上·全国·课后作业）有下列命题：①所有人都喜欢吃苹果；②若，则；③空集是任何集合的真子集.其中真命题共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】结合不等式性质、集合的知识，依次判断各个命题的真假性即可. 【详解】对于①，不是所有人都喜欢吃苹果，原命题为假命题； 对于②，若，则，即，原命题为真命题； 对于③，空集不是空集的真子集，原命题为假命题. 故选：B. 2-3．（2024高一·江苏·假期作业）下列语句为真命题的是（　　） A． B．四条边都相等的四边形为矩形 C． D．今天是星期天 【答案】C 【分析】先根据命题的定义判断是否是命题，然后再判断真假即可 【详解】对于A，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以A错误， 对于B，此语句是命题，而在平面内四条边都相等的四边形是菱形，所以B错误， 对于C，是命题，且是真命题，所以C正确， 对于D，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以D错误， 故选：C 2-4．（2024高一·江苏·假期作业）下列命题中真命题有（　　） ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①，举反例即可判断；对于②，令，求解即可判断；对于③，根据包含关系即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断. 【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误； ②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确； ③中，互相包含的两个集合相等，③正确； ④中，空集不是本身的真子集，④错误． 故选：B 2-5．（2024高一上·江苏连云港·期中）关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】利用假设法，逐一验证不同命题为假的情况下，是否符合题意，结合一元二次方程的性质，可得答案. 【详解】由题意，假设甲与乙两个命题为真，则丙和丁两个命题一定都为假命题，不符合题意； 假设命题甲为假命题，由命题乙与命题丙为真，则方程的两个根分别为和，此时命题丁为假命题； 综上，只有命题乙为假命题，符合题意. 故选：B. （三） 要写出一个命题的条件和结论，一般是把一个命题改写成“如果p，那么q”的形式，其中p是条件，q是结论． 题型3：命题的结构形式 3-1．（2024高一·江苏·课后作业）写出下列命题的条件和结论. （1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等； （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等； （3）若a，b都是偶数，则是偶数； （4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同； （5）若，则； （6）若，则方程有实数解. 【答案】（1）条件：两个三角形相似；结论：两个三角形的对应角相等. （2）条件：四边形是平行四边形；结论：四边形的对角相等. （3）条件：a，b都是偶数；结论：是偶数. （4）条件：两个实数的积为正数；结论：两个实数的符号相同. （5）条件：；结论：. （6）条件：；结论：方程有实数解. 【分析】根据命题的定义即可得出答案. 【详解】（1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等； 条件：两个三角形相似；结论：两个三角形的对应角相等. （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等； 条件：四边形是平行四边形；结论：四边形的对角相等. （3）若a，b都是偶数，则是偶数； 条件：a，b都是偶数；结论：是偶数. （4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同. 条件：两个实数的积为正数；结论：两个实数的符号相同. （5）若，则 条件：；结论：. （6）若，则方程有实数解. 条件：；结论：方程有实数解. 3-2．（2024高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【答案】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． (2)若，则，是真命题 (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题． 【分析】先写出“若p，则q”的形式，再利用相关定义性质或计算，判断真假. 【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除， 根据奇数的定义可知，奇数不能被2整除，为真命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. 3-3．（2024高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）绝对值相等的数也相等； （2）矩形的对角线相等； （3）角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）两角分别相等的两个三角形相似. 【答案】答案见解析． 【分析】确定出命题的条件和结论后改写． 【详解】（1）条件是：两个数的绝对值相等，结论是：它们相等．“若p，则q”的形式： 若两个数的绝对值相等，则它们也相等； （2）条件是：两条线段是一个矩形的两条对角线，结论是：这两条线段相等，“若p，则q”的形式： 若两条线段是一个矩形的两条对角线，则它们相等； （3）条件是：平面上的点在一个角的角平分线上，结论是：这个点到角的两边的距离相等．“若p，则q”的形式： 若平面上的点在一个角的角平分线上，则这个点到角的两边的距离相等； （4）条件是：两个三角形的两个角分别相等，结论是：这两个三角形相似．“若p，则q”的形式： 若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似． 3-4．（2024高一上·江苏·课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）若一个数是偶数，则它不能被2整除， 根据偶数的定义可知，偶数能被2整除，为假命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. 题型4：根据命题的真假求参数 4-1．（2024高一·江苏·假期作业）若“方程有两个不相等的实数根”是真命题，则的取值范围是 . 【答案】且. 【分析】首先保证二次项系数不为零，再根据判别式求解. 【详解】解析由题意知, 解得：且. 故答案为：且. 【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围问题，比较简单,只要列出满足原命题为真的条件式求解即可. 4-2．（2024高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可． 【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 4-3．（2024高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，可列出不等式，求解即可得出答案； （2）根据真假，可列出关于的不等式，进而可求出答案. 【详解】（1）∵关于的方程有实数根，∴，即， ∴若q为真命题，实数a的取值范围为：. （2）∵为真命题，为假命题， ∴，解得. ∴. 4-4．（2024高一·全国·课后作业）已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由p为真命题，q为假命题列不等式求x的范围. 【详解】∵  命题为真命题， ∴  或 又命题为假命题，∴  或， ∴  或． 所以实数的取值范围为． 一、单选题 1．（2024高一上·全国·课后作业）下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤. 【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确; 对于②，菱形不一定有外接圆，故错误， 对于③，方程的判别式为，故正确， 对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误， 对于⑤，,故正确; 故选：C． 2．（2024高一·江苏·假期作业）下列命题是真命题的是（　　） A．若xy＝1，则x，y互为倒数 B．平面内，四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 【答案】A 【分析】逐一考查所给命题的真假即可. 【详解】对于A，由倒数定义知：若xy＝1，则x，y互为倒数，真命题； 对于B，平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，假命题； 对于C，平行四边形两组对边互相平行，梯形只有一组对边互相平行，故平行四边形不是梯形，假命题； 对于D，当时，有，假命题. 故选：A 3．（2024高一上·北京·阶段练习）下列命题中的真命题是（    ） A． B．集合中最小的数是1 C．的解集可表示为 D． 【答案】A 【分析】根据命题结论是否正确判断即可. 【详解】显然成立，故A正确； 集合中最小的数是0，故B错误； 根据集合元素的互异性可知C错误； 当或时，显然不成立，故D错误. 故选：A 4．（2024高二下·四川绵阳·阶段练习）下列语句是命题的是（    ） A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树 C．求证： D．3比5大 【答案】D 【分析】根据命题的定义逐一判断即可. 【详解】能够判断成立或不成立的陈述句叫命题，只有选项D能够判断出真假，3比5大显然不成立，是假命题， 故选：D 5．（2024高一·全国·专题练习）命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（    ） A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大 B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大 C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角 D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边 【答案】A 【分析】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【详解】命题的大前提是“在三角形中”，条件是“大边”，结论是“对大角”. 故选:A. 6．（2024高一上·上海嘉定·阶段练习）有以下命题： （1）命题：“在△ABC中，若BCAC，则∠A∠B”； （2）已知，命题“若，则且”； （3）已知，命题“若且，则”. 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】（1）根据边角关系判断真假；（2）由可知都不为，由此判断真假；（3）根据平方运算的特点进行判断. 【详解】（1）：根据“大边对大角”可知（1）正确； （2）：若，则都不为，即且，故正确； （3）：若且，则，则，故正确； 故选：D. 7．（2024高一上·河南濮阳·阶段练习）已知集合，，则下列命题中是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】求出集合、，由集合的包含关系可判断AC选项的正误，利用集合间的运算可判断BD选项的正误. 【详解】因为，，则AC选项错误； ，或，故B对，D错. 故选：B. 8．（2024高一上·辽宁·阶段练习）下列命题是假命题的有（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．若，那么 D．若，那么 【答案】A 【分析】由集合与元素的关系和交集并集的定义逐一判断，即可求解 【详解】对于A，若，那么x可能不属于B，故A错误； 对于B，若，则x是集合A和B的公共元素，那么，故B正确； 对于C，若，那么，故C正确； 对于D，若，那么，故D正确． 故选：A． 9．（2024高一上·广西贺州·阶段练习）下列命题中假命题的个数是（   ） （1）有四个实数解 （2）设a，b，c是实数，若二次方程 无实根，则ac≥0 （3）若 ，则x≠2 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】在（1）中先求得后再求解； 在（2）中由可得出ac≥0成立；在（3）中由且可推出x≠2成立. 【详解】在（1）中，得或，故，只有两解，故（1）错误； 在（2）中无实根，则，即，所以ac≥0是正确的，故（2）正确； 在（3）中若 ，则且，即x≠2成立，故（3）正确； 故选：C. 10．（江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2023-2024学年高一上学期第一次调研测试数学试题）关于的方程，有四个命题：甲：该方程两根之和为；乙：是该方程的根；丙：是该方程的根；丁：该方程两根异号．如果有且只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】由题意，可推断得乙丙丁不可能同时为真命题，所以甲是真命题，所以和不可能同时是该方程的根，则乙丙中有一个假命题，丁为真命题，然后分析甲乙丁为真命题和甲丙丁为真命题两种情况，即可得答案. 【详解】若和是该方程的根，则两根同号， 所以乙丙丁不可能同时为真命题，即甲是真命题； 因为该方程两根之和为，则和不可能同时是该方程的根， 所以乙丙中有一个假命题，丁为真命题； 若甲乙丁为真命题，是该方程的根，得另一根为， 此时方程为，符合题意； 若甲丙丁为真命题，是该方程的根，得另一根为， 此时两根同号，不符合题意，所以可知丙为假命题. 故选：C 11．（2024高一上·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据命题的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A 12．（2024高一上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】ABC选项举出反例即可判断，D选项结合不等式的性质即可判断. 【详解】A选项：若，满足，但是，因此是假命题，故A错误； B选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故B错误； C选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故C错误； D选项：因为，则，且，因此，因此是真命题，故D正确， 故选：D. 13．（2024高三下·北京·开学考试）在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意，；（2）对任意a，，；（3）对任意a，b，，.给出下列三个结论： ①； ②对任意a，b，，； ③存在a，b，，； 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据新运算的性质化简判断①，将②等式两边展开判断是否相等，将且代入③，根据运算性质化简等号两侧即可判断. 【详解】①，错误； ②，而，故，正确； ③当且时，，而，显然成立，正确. 故选：C 14．（2024·福建泉州·二模）甲､乙､丙三人独立解答同一份试卷，试卷共有5题，每人都至少正确解答其中3题，则下列说法一定正确的是（    ） A．至少有2题有多于一人正确解答 B．至少有1题三人都正确解答 C．至少有1题三人都无法正确解答 D．至多有1题无人正确解答 【答案】A 【分析】用反证法说明A正确，用反例说明BCD错误． 【详解】假设没有2题有多于一人正确解答，取极端情况，假设3人均答对3题，有一题3人均答对，且三人回答的其它两个问题均不同，则至少还需要六道不同的题，与题设不符，故A正确； 5道题编号为，甲正确解答，乙正确解答，丙正确解答，则每题都只有2人正确解答．B错； 如果3人都正确解答了所有题，则C错； 如果三人都是正确解答，这时有两题没有人正确解答．D错； 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，对于含有至多、至少等词语的命题，可用反证法证明它是正确的．可用反例法说明它是错误． 二、多选题 15．（2024·广东肇庆·三模）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若时，则或 【答案】ABC 【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断． 【详解】，若，则，且，故A正确. 时，，故D不正确. 若，则且，解得，故B正确. 当时，，解得或，故C正确. 故选：ABC． 16．（2024高一上·广东揭阳·阶段练习）给出以下四个命题，其中真命题是:（    ） A．命题“若互为相反数，则” B．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方” C．命题“若，则有实根” D．命题“若是正整数，则都是正整数” 【答案】ABC 【分析】显然AB正确，当时，代入判断，即可判断选项C，取代入计算，即可判断选项D. 【详解】显然选项A正确，两个全等三角形的面积比与周长的平方比均为，所以选项B正确；当时，，所以方程有实根，C正确；取，则是正整数，但不是正整数，故D错误. 故选：ABC 17．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）下列命题是真命题的为（    ） A．{x∈N|x3+1=0}不是空集 B．若a<0，则|a|>0 C．相似三角形的对应角相等 D．若整数m是偶数，则m是合数 【答案】BC 【分析】对于选项A，由x∈N，x3≥0判断；对于选项B，由绝对值的意义判断；对于选项C，由相似三角形判断；对于选项D，由2为偶数，但是2是质数判断. 【详解】解：对于选项A，x∈N，x3≥0，所以{x∈N|x3+1=0}是空集，为假命题，故选项A错误； 对于选项B，若a<0，则|a|>0，为真命题，故选项B正确； 对于选项C，相似三角形的对应角相等，为真命题，故选项C正确； 对于选项D，2为偶数，但是2是质数，故选项D错误； 故选：BC. 18．（2024高一·江苏·假期作业）（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】ABD 【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可. 【详解】因为方程有实数根，所以，解得或， 故当，，时符合条件. 故选：ABD. 三、填空题 19．（2024高一上·上海宝山·阶段练习）下列语句 ①考数学开心吗？ ②好好做作业，争取下次数学能及格 ③2不是素数 ④0是自然数 其中是命题的语句的序号有 . 【答案】③④ 【分析】根据命题的概念即得. 【详解】因为可以判断真假的陈述句为命题， 所以①为疑问句，不是命题； ②不能判断真假，不是命题； ③为假命题； ④为真命题； 所以是命题的语句的序号有③④. 故答案为：③④. 20．（2024高一上·上海普陀·阶段练习）将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若…则…”形式 . 【答案】若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 【分析】确定命题的条件和结论，然后改写． 【详解】命题中条件是：“两个角是等腰三角形的两底角”，结论是“角是锐角”，改写为： 若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 故答案为：若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 21．（2024高一上·北京·期中）能够说明“存在不相等的正数，使得”是真命题的一组的值为 【答案】， 【分析】本题先假设成立，再求出，最后令值即可. 【详解】解：-假设成立，则， 当时，，此时、是不相等的正数， 故命题为真命题的一组，的值为：， 故答案为：， 【点睛】本题考查利用命题的真假求参数值，答案不唯一，是开放性试题. 22．（2024高一·全国·课后作业）下列命题： ①如果实系数一元二次方程满足，那么这个方程有实根； ②如果，那么除以的余数是或； ③设，如果是的倍数，那么中至少有一个是的倍数； ④已知a，，若，则. 其中是假命题的序号为 . 【答案】③④ 【分析】在的情况下，利用确定方程均有实根，由此可知①正确； 分别在和确定除以的余数，知②正确； 通过反例可确定③④错误. 【详解】对于①，方程为一元二次方程，； 当时，若，则，方程有实根；①正确； 对于②，若，则，则除以的余数是； 若，则，则除以的余数是； 综上所述：如果，那么除以的余数是或，②正确； 对于③，若，，，则是的倍数，但此时均不是的倍数，③错误； 对于④，若，则，④错误. 故答案为：③④. 23．（2024高二上·吉林·期末）若和或都是假命题，则的范围是 【答案】 【分析】先由和或都是假命题，求出x的范围，取交集即可. 【详解】若为假命题，则有或 若或是假命题，则 所以的范围是 即的范围是 胡答案为： 24．（2024高一·全国·课后作业）下列四个命题，其中真命题是 ．（填序号） ①若，则x，y互为相反数；    ②面积相等的三角形全等； ③若，则有实数解；    ④若，则． 【答案】①③ 【分析】①叙述正确，为真命题，面积相等的三角形不一定全等，②为假命题；，则③为真命题；若，则，故④为假命题. 【详解】若，则x，y互为相反数，叙述正确，故①为真命题； 面积相等的三角形不一定全等，故②为假命题； 若，则，故有实数解，则③为真命题； 若，则，故④为假命题. 故答案为：①③. 25．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）若“，”是真命题，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【分析】由题意将不等式恒成立问题转化为最值问题，求出的最大值，从而得到实数的取值范围. 【详解】由题意“，”是真命题，则恒成立， 设，的最大值为，. 实数的取值范围是. 故答案为： 26．（2024高一上·上海徐汇·阶段练习）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为 【答案】3 【分析】根据新定义逐一判断即可求解 【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确， （2）若数域有非零元素，则， 从而，故（2）正确； （3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误， （4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确， 故真命题的个数是3. 故答案为：3 四、解答题 27．（2024高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）平行于同一条直线的两条直线平行； （3）两个无理数的和是无理数； （4）乘积为正数的两个数同号； （5）两个奇数的和是偶数； （6）矩形的四个角相等； （7）等腰三角形的两个底角相等； （8）直径所对的圆周角是直角. 【答案】答案见解析. 【分析】首先弄清命题的条件和结论，然后进行改写即可． 【详解】解：（1）在平面内，若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行； （2）若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行； （3）若两个数是无理数，则它们的和是无理数； （4）若两个数的乘积为正数，则这两个数同号； （5）若两个数是奇数，则它们的和是偶数； （6）若一个四边形为矩形，则它的四个角相等； （7）若一个三角形为等腰三角形，则它的两个底角相等； （8）若圆的弦为直径，则它所对的圆周角是直角. 28．（2024高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 【答案】答案见解析 【分析】分析出命题的条件、结论即可求解. 【详解】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数． （2）若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根． （3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分. 29．（2024高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假． (1)当时，无实根； (2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）首先利用命题的形式进行转换，进一步判定结果； 【详解】（1）当时，无实根，改为：若，则无实根． 由于，．故该命题为真命题． （2）一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除，改为：若一个整数的个位数是0，则这个数一定能被5整除，也能被2整除， 易知此命题为真命题． 30．（2024高一上·全国·课后作业）判断下列命题的真假： (1)一个实数不是质数就是合数； (2)若或，则； (3)正方形既是矩形又是菱形； (4)若，则 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)真命题 (4)真命题 【分析】（1）举反例说明即可； （2）通过方程的根分析即可； （3）利用正方形的性质说明即可 （4）利用集合间的运算性质说明即可. 【详解】（1）1既不是质数也不是合数，故该命题为假命题. （2）当或时，代入中结果为0，故该命题为真命题； （3）正方形具有矩形和菱形的所有性质，故它既是矩形又是菱形， 故该命题为真命题； （4）由，故集合为集合的子集即， 故改命题为真命题； 31．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根； （1）若p为真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围； （3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据p为真，对进行分类讨论，即可求出a的取值范围； （2）先根据为真命题，求出的范围，再根据p与q都是假命题，求出的取值范围，再求出补集即可； （3）若p与q中有且仅有一个为真命题，则一真一假，即可求出的取值范围. 【详解】解：（1）若p为真命题，即对于任意实数都有恒成立， 当时，满足题意， 当时，则 ， 解得：， 综上所述：； （2）若为真命题，即关于的方程有实数根， 则， 解得：， 若p与q都是假命题， 则， 解得：， 若p与q中至少有一个为真命题， 则； （3）若p与q中有且仅有一个为真命题， 则或， 解得：或， 综上所述：. 32．（2024高一·江苏·课后作业）写出下列命题的条件与结论. （1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等； （2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等； （3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等； （4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例. 【答案】答案见详解 【分析】根据命题的“若，则”形式，依次分析得到条件，结论即可 【详解】（1）由题意，根据命题的“若，则”形式 条件：两个三角形全等 结论：这两个三角形的对应高相等 （2）由题意，根据命题的“若，则”形式 条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等 结论：这两个三角形全等 （3）由题意，根据命题的“若，则”形式 条件：一个四边形是菱形 结论：这个四边形的四边相等 （4）由题意，根据命题的“若，则”形式 条件：两条直线被一组平行线所截 结论：所得的对应线段成比例 33．（2024高一上·全国·单元测试）若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证:若，，则； (3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题：若，，则必有； 命题：若，，且，则必有. 【答案】(1)集合不是“好集”， 有理数集是“好集”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)命题、均为真命题，理由见解析 【分析】（1）按照新定义，判断、是否符合条件即可； （2）根据条件进行推导，先判断，进而可证； （3）类似（2）根据“好集”的性质进行推导即可. 【详解】（1）（1）集合不是“好集”. 理由：假设集合是“好集”. 因为，，所以，这与矛盾，所以集合B不是“好集”. 有理数集是“好集”. 理由： 因为，， 对任意的，，有，且时，， 所以有理数集是“好集”. （2）证明:因为集合是“好集”， 所以， 若，，则，即. 所以，即. （3）命题、均为真命题，理由如下： 对任意一个“好集”，任取，， 若，中有0或1时，显然. 若，均不为0，1，由定义可知，，， 所以，即，所以. 由（2）可得，即. 同理可得. 若或，则. 若且，则. 所以，所以. 由（2）可得，所以. 综上可知，，即命题为真命题. 若，，且，则，所以，即命题q为真命题. 34．（2024高二上·全国·专题练习）试探究命题“方程有实数解”为真命题时，，满足的条件． 【答案】，或，． 【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可． 【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为．综上可得当或时，方程有实数解． 【点睛】解答本题的关键一是进行分类讨论，二是熟知一元一次方程、一元二次方程有根的条件，考查对方程根的有关知识的理解，属于基础题． 35．（2024高一·上海·专题练习）已知集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（1）由解方程求出的值，再检验或时是否成立，从而得出实数的值； （2）由得出，结合子集的定义得出可能为，，，，分别讨论这四种情况，得出实数的取值范围． 【详解】（1）∵，∴，即，解得或. 当时，，，满足 当时，，满足 ∴所求实数的值是或． （2）∵，∴，即可能为，，， 当时，，解得 当集合中只有一个元素时，，解得，此时，即集合不可能为或 当时，由根与系数的关系可知方程组无解，则不可能为 ∴所求实数的取值范围是． 【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于由交集运算，推理得出，在判断不可能为时，主要是根据根与系数的关系，列出方程组，由方程组无解进行判断. 36．（2024高一·全国·课后作业）已知：集合，，：．若，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据给定条件对a的取值进行分类讨论，结合集合的包含关系即可计算作答. 【详解】依题意，，即，解得， 当时，则有，解得，有成立，于是有， 当，即时，由得：，解得， 综上得：， 所以实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$