精品解析：2024年四川省南充市名校九年级下学期中考适应性联考（二）数学试题

南充名校2024年中考适应性联考 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前将姓名、座位号、身份证号、准考证号填在答题卡指定位置． 2．所有解答内容均须涂、写在答题卡上． 3．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，需擦净另涂． 4．填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0．5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每个小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂均记0分． 1. 在﹣3、、、3四个实数中，最小的数是（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 2. 如图，在中，，，将沿边所在直线翻折得，连接交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，现有《论语》、《大学》各2本，《孟子》、《中庸》各1本，若从这6本书中随机抽取1本书，则恰好抽取到《大学》的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ） A B. C. D. 6. 如图，在中，，分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，直线分别交、于点D、E，连接．若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于的方程的两根分别为、，则的值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 7 8. 如图，是的弦，半径于点，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数a，b，c，满足（其中，），则的值为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 10. 已知直线与抛物线交于点，与直线交于点．下列说法：①抛物线的顶点一定在直线上；②直线始终在抛物线的下方；③线段长度的最小值为3；④当时，若的长度随的增大而减小，则．其中正确的说法是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. 23④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 计算：的结果为__________． 12. 眼睛是心灵的窗户．为保护学生视力，某中学每学期给学生检查视力，下表是该校9年级班名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是__________． 视力 人数 13. 击地传球是篮球运动中的一种传球方式，利用击地传球可以有效地躲避对手的拦截．传球选手从点A处将球传出，经地面点O处反弹后被接球选手在点D处接住，将球所经过的路径视为直线，此时，若点A距地面的高度为，点D距地面的高度为，传球选手与接球选手之间的距离为，则的长为__________m． 14. 如图，在中，，，，点D，E分别在边上，且，点M、N、F分别是的中点，则的长为__________． 15. 直线经过点，但不经过第一象限，则的最大值为__________． 16. 如图，在等边中，点是边AC上一点，将沿直线翻折得到，连接并延长与直线交于点．下列四个结论：①；②；③；④当点在直线AC上运动时，若，则BE长度的最大值为．其中正确的结论是__________．（填序号）． 三、解答题（本大题9个小题，共86分） 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在中，点在延长线上，，，． （1）求证：； （2）若平分，，求的长． 19. 某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________； （2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数； （3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此一元二次方程总有实数根； （2）设此方程的两个实数根分别为，，若为整数，求整数的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数的图象相交于点C，已知点A的横坐标为1，点C的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）过点作，交轴于点，求的面积． 22. 如图，在中，，的平分线交于点，交于点，以为直径作． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 23. 某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． （1）小强第几天生产的产品数量为200件？ （2）设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； （3）设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 24. 如图，在等腰直角中，，，点为中点，点在边上，以为腰作等腰直角，连接． （1）若，求证：； （2）如图1，当点在边上移动，且点在内部时，探究的大小是否变化？若不变，求的度数；若变化，请说明理由； （3）如图2，当点在外部时，与交于点，若，，求的长． 25. 如图，已知抛物线与轴交于、B两点，与轴交于点C，． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点P为第一象限内抛物线上一点，连接，当时，求点坐标． （3）如图2，过点作交抛物线于点，已知点是线段BC上方抛物线上一点，过点作轴，交于N，在线段、上分别有两个动点E、F，，G是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点H，使得的值最小？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南充名校2024年中考适应性联考 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前将姓名、座位号、身份证号、准考证号填在答题卡指定位置． 2．所有解答内容均须涂、写在答题卡上． 3．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，需擦净另涂． 4．填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0．5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每个小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂均记0分． 1. 在﹣3、、、3四个实数中，最小的数是（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据“正数大于负数”，得到两个负数较小，根据“绝对值大的反而小”，即可得到答案． 【详解】解：∵正数大于负数， ∴3和大于-3和， ∵两个负数，绝对值大的反而小， ，， ∴， ∴最小的数是-3， 故选：A． 【点睛】本题考查的是实数比大小，知道负数中，绝对值大的反而小是解题的关键. 2. 如图，在中，，，将沿边所在直线翻折得，连接交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由翻折，全等三角形的性质，由翻折得到，即可得到，，，然后根据余角的性质得到即可． 【详解】∵将沿边所在直线翻折得， ∴，， ∴，，， ∴， 故选：A． 3. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，现有《论语》、《大学》各2本，《孟子》、《中庸》各1本，若从这6本书中随机抽取1本书，则恰好抽取到《大学》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，解题的关键是熟悉概率公式． 根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得：共有6种等可能的结果， 则恰好抽取到《大学》的概率， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则，负整数指数幂，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，方程是含有未知数的等式，解决本题的关键是找到相等关系，根据相等关系列出方程组． 【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱， 根据“若每人出钱，还差钱”，可列方程； 根据“若每人出钱，还差钱”,可列方程； 所以可得：， 故选：A． 6. 如图，在中，，分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，直线分别交、于点D、E，连接．若，，则线段的长为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，直角三角形中线的性质，明确垂直平分线的作法是解题的关键．根据题意可知是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得出，根据余角的性质得出，根据等角对等边得出，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据题意可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于的方程的两根分别为、，则的值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴公式，解一元二次方程，以及代数式求值，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 先根据二次函数的对称轴公式求出b，则得到一元二次方程为，两根即可求解，再代入求值即可，亦可根据根与系数的关系求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 则方程为：， ， 解得：， ∴， 故选：B． 8. 如图，是的弦，半径于点，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题主要考查了切线的性质，垂径定理，解直角三角形，弧长公式等知识点，解题的关键是求出半径． 根据是的弦，半径于点，，得出，结合是的切线，得出，解直角三角形得出，再根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵是的弦，半径于点，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则的长为， 故选：A． 9. 已知实数a，b，c，满足（其中，），则的值为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，设得到是解此题的关键．设，得出，，，即可得出，结合，，即可得出，代入即可求解． 【详解】解：设， 则，，， ，，， ，，， ，，， ， ，． ，， ， ， 故选：D． 10. 已知直线与抛物线交于点，与直线交于点．下列说法：①抛物线的顶点一定在直线上；②直线始终在抛物线的下方；③线段长度的最小值为3；④当时，若的长度随的增大而减小，则．其中正确的说法是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. 23④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质逐个计算判断即可． 【详解】∵抛物线的顶点为， ∴顶点在直线上， 故①正确； ∵， ∴直线始终在抛物线的下方， 故②正确； 直线与抛物线交于点，与直线交于点， ∴， ∴线段PQ的最小值为2， 故③错误； ∵，开口向上，在对称轴的左侧，长度随的增大而减小， ， ， 则． 故④正确． 综上可得：①②④， 故答案为：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 计算：的结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据绝对值，乘方，零指数幂化简，再计算即可． 【详解】原式， 故答案为：． 12. 眼睛是心灵的窗户．为保护学生视力，某中学每学期给学生检查视力，下表是该校9年级班名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是__________． 视力 人数 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，解题关键是掌握中位数的定义．数据按从小到大排列，若数据是偶数个，中位数是最中间两数的平均数，若数据是奇数个，中位数是正中间的数． 【详解】解：该样本中共有个数据，按照右眼视力从小到大的顺序排列，第、个数据是， 学生右眼视力的中位数为， 故答案为：． 13. 击地传球是篮球运动中的一种传球方式，利用击地传球可以有效地躲避对手的拦截．传球选手从点A处将球传出，经地面点O处反弹后被接球选手在点D处接住，将球所经过的路径视为直线，此时，若点A距地面的高度为，点D距地面的高度为，传球选手与接球选手之间的距离为，则的长为__________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先根据两角分别相等的两个三角形相似证得，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】由题意得，， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴，即， 故答案为：1.8． 14. 如图，在中，，，，点D，E分别在边上，且，点M、N、F分别是的中点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线，根据三角形的中位线可得，，，，即可得到，再由勾股定理求出的值即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∵点M、N、F分别是的中点， ∴是中位线，是中位线， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， 故答案为：． 15. 直线经过点，但不经过第一象限，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，求不等式组的解集，根据一次函数的性质列出关于a的不等式组是解答本题的关键．由直线经过点得，由直线不经过第一象限得，得出，进而可求出的最大值． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵直线不经过第一象限， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 16. 如图，在等边中，点是边AC上一点，将沿直线翻折得到，连接并延长与直线交于点．下列四个结论：①；②；③；④当点在直线AC上运动时，若，则BE长度的最大值为．其中正确的结论是__________．（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆等知识点，延长至，使得，可证明，得到，，进而推出为等边三角形，即可判断①②；可证明，得到，等量代换后得到，即可判断③；连接，由折叠可得：，可得点在的外接圆上，当经过点时最长，由勾股定理求出即可判断④正确． 【详解】延长至，使得． 由翻折可得，， ∵等边， ∴，， ∴， ， ， ， ，， ， 即， 为等边三角形， ，故①正确 由（1）知，，故②错误． ，， ， ， ， ，故③正确． 连接，由折叠可得：，故点在的外接圆上， 当经过点时最长，此时，．故④正确． 综上可知：正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题9个小题，共86分） 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，先根据完全平方公式化简，再代入求值即可． 【详解】原式， 当，时，原式． 18. 如图，在中，点在的延长线上，，，． （1）求证：； （2）若平分，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定； （1）根据已知得出，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据全等三角形的性质以及角平分线的定义，得出，进而得出，即可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ，即：， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：平分， ， 又， ， ， ，， ， 是等边三角形， ． 19. 某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________； （2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数； （3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率． 【答案】（1）100； （2）估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人 （3）列表见解析，刚好抽中两名同学为一男一女的概率为 【解析】 【分析】本题主题考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、列表法求概率等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用“选择地点B的学生人数其其占比”求解即可；利用“选择地点A的学生占比”求解即可； （2）利用“该校学生总数×选择地点C的学生占比”，即可求得答案； （3）根据题意列表，结合表格即可获得答案． 【小问1详解】 解：此次被调查的学生共有（人）； 研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为． 故答案为：100；； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人． 【小问3详解】 解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1男2 男1女1 男1女2 男2 男2男1 男2女1 男2女2 女1 女1男1 女1男2 女1女2 女2 女2男1 女2男2 女2女1 由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种， 刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）． 答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此一元二次方程总有实数根； （2）设此方程的两个实数根分别为，，若为整数，求整数的值． 【答案】（1）见解析 （2）或4或6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，解决本题的关键是熟练掌握公式：①方程有两个不相等的实数根；②方程有两个相等的实数根；③方程没有实数根；④． （1）根据根的判别式，即可证明出方程总有实数根； （2）利用根与系数关系求出，从而列出关于的式子，根据为整数即得出结果． 【小问1详解】 证明：． 无论为何实数，总有；即：， 一元二次方程总有实数根． 【小问2详解】 解：据一元二次方程根与系数的关系可得，， ， 为整数，且为整数． ，， 或2或6或0． 又， 或4或6． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数的图象相交于点C，已知点A的横坐标为1，点C的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）过点作，交轴于点，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数综合题．其中涉及到了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理以及三角形的面积的计算，同时要注意运用数形结合的思想． （1）由点A的横坐标为1可得：，代入直线中，即可求出一次函数解析式．再求出，代入反比例函数即可求出反比例函数解析式． （2）求出点，设，则，，，再结合，根据勾股定理解出，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 点在直线上， ，． 一次函数解析式为：． 点在直线上， ． ． ． 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为：． 【小问2详解】 解：直线交轴于点， 设， 则，，． ， ， ， ， 解得：． 即． ． 22. 如图，在中，，的平分线交于点，交于点，以为直径作． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形； （1）连接，根据平分，等腰三角形的性质，得出，即可证明，进而证明，根据切线的判定定理，即可得证； （2）过点作于，设，则，，根据已知得出，求得，进而解，，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接． ， ， ， ， 点上，． 平分， ， ， ． ， ． 是的切线． 【小问2详解】 解：过点作于， 设，则，， 在中， ， ， ． ， 解得． ，，， 在中，， ， ，． 在中，， 23. 某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． （1）小强第几天生产的产品数量为200件？ （2）设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； （3）设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【答案】（1）小强第10天生产的产品数量为200件 （2）与之间的函数关系式为： （3）①第14天时，利润最大，最大值为576元；②第15天每件产品至少应提价0.5元 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式． （1）把代入，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本与x之间关系即可； （3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；②根据①得出，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可 【小问1详解】 由题意可知，生产的产品数量为200件时，， 故：，解得： 答：小强第10天生产的产品数量为200件． 【小问2详解】 由图象得，①当时，． ②当时，设， 由题意可得， 解得：， ． 综上可得，与之间的函数关系式为：； 【小问3详解】 ①当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， ， 随的增大而增大， 故当时，有最大值为（元）． 当时， ． 当时，有最大值，最大值为576（元） 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元． ②由①可知，， 设第15天提价元，则第15天的利润为：， 由题意得：， 解得：， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元． 24. 如图，在等腰直角中，，，点为的中点，点在边上，以为腰作等腰直角，连接． （1）若，求证：； （2）如图1，当点在边上移动，且点在内部时，探究的大小是否变化？若不变，求的度数；若变化，请说明理由； （3）如图2，当点在外部时，与交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的大小不会变化，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质； （1）通过推理角度得到，即可证明，得到； （2）过点作于，过点作于，根据一线三垂直模型可证明，得到，，进一步证明，由得到，即可得到； （3）过点作于点，由等腰直角三角形求出，由得到，，进而得到，即可求出，再证明，得到，代入计算即可． 【小问1详解】 ，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ． 【小问2详解】 的大小不会变化， 过点作于，过点作于， 则， ， 又∵， ， 又∵， ， ，， ∵， ， ， ， ∵， ， ， ， 故． 【小问3详解】 过点作于点，则， ， ， ， ∴， ∴， ， ，，， ，， 在中，， 在中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 25. 如图，已知抛物线与轴交于、B两点，与轴交于点C，． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点P为第一象限内抛物线上一点，连接，当时，求点的坐标． （3）如图2，过点作交抛物线于点，已知点是线段BC上方抛物线上一点，过点作轴，交于N，在线段、上分别有两个动点E、F，，G是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点H，使得的值最小？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 分析】（1）由题意可知，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴于点．当时，求得，解直角三角形可得，，则，，在中，．设点坐标为，则，，列出方程即可求解； （3）先求得直线解析式为，直线解析式为，结合抛物线求得，设，则，得，过点作轴，，则，，得，当时，有最大值，此时．作点关于的对称点，则，连接与交于点，由，且．可知，故的最小值为，设交轴于点，根据，结合图形求得，根据勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ． ， 由题意得：，解得：， 则抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 过点作轴于点． 当时，即：，解得，， ． ，，，， ，， ， ， ． 在中，． 设点坐标为，则，， ，解得：（不合题意，舍去），， 点坐标为． 【小问3详解】 由（2）可知，，，则， ∵， ∴，则，， 设直线解析式为：，则，， ． 设直线解析式为：，则，， ． 联立解得或， ． 设，则， ， 过点作轴，，则， ， ． 当时，有最大值，此时． ∵是的中点， ∴， 作点关于的对称点，则，连接与交于点， ，且． ， 故的最小值为， ， ，又，， ，， 设交轴于点， ， ，， ， ， ， 在中，， 的最小值为：． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、解直角三角形、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$