精品解析：河南省南阳市邓州市城区第五初级中学校2023-2024学年九年级上学期1月月考数学试题

2023-2024学年第一学期河南省南阳市邓州市城区第五初级中学九年级数学竞赛试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，计算的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把代入原式即可求出答案． 【详解】解： = = =， ∵， ∴， ∴原式==1， 故选A. 【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则． 2. 班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】采用树状图法，确定所有可能情况数和满足题意的情况数，最后运用概率公式解答即可. 【详解】解：根据题意列树状图如下： 由上表可知共有12中可能，满足题意的情况数为6种 则，两位同学座位相邻的概率是 . 故选C. 【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，正确画出树状图成为解答本题的关键. 3. 若关于x的一元二次方程的解是，则关于y的一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，根据题意两个方程可得出的解是，进而可求出． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的解是， ∴关于的一元二次方程的解是， ∴关于y的一元二次方程的解是． 故选：D． 4. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线＞0， ∴b＞0， ∵与y轴的负半轴相交， ∴c＜0， ∴y=bx+c的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数y=图象在第二四象限， 只有D选项图象符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键． 5. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC，AB于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交BC于点E．则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本作图得平分，作于，如图，根据角平分线的性质得，再利用等腰直角三角形的性质得，，，设，则，，，所以，然后根据正切的定义求解． 【详解】解：由作法得平分， 作于，如图， 为角平分线，，， ， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， 设，则，， ， ， ， 在中，． 故选：． 【点睛】本题考查了作图基本作图：作已知角的角平分线，等腰直角三角形的判定与性质，正切等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图像经过，如果实数表示的值，实数表示的值，那么的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与坐标轴交点问题，熟练掌握相关知识是解题关键．根据该函数图像与轴交于正半轴，可得；根据该函数图像经过，可得，，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：由图像可知，该函数图像与轴交于正半轴， ∴， ∵该函数图像经过， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 7. 如图，将两个全等的正方形与重叠放置，若，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与交于，连接，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】设与交于，连接， 四边形和四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积正方形的面积的面积的面积， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 8. 已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为 联立 解得：或 ∴， 由，则，对称轴为直线， 设，则点在上， ∵且， ∴点在点的左侧，即，， 当时， 对于，当，，此时， ∴， ∴ ∵对称轴为直线，则， ∴的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键． 9. 如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数图象逐个分析即可． 【详解】由函数图象可得： 当时，或；故①错误； 当时，有最小值；故②正确； 点在直线上，直线与函数图象有3个交点，故③错误； 将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合． 10. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得， 同理可得，， ∴即， 解得， ∴， ∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据已知易得，从而可得，然后利用二次根式的性质以及分式的运算法则进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， 故答案为：． 12. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan 15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到点D，使BD=AB，连接AD，得∠D=15°， 所以tan 15°==．类比这种方法，计算的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，可知AC=BC，延长CB到点D，使BD=AB，得∠D=22.5°，根据勾股定理求出AB=，可求CD= ，利用定义求tan 22.5°，取倒数即可． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°， ∴AC=BC， 延长CB到点D，使BD=AB， 得∠D=22.5°， 根据勾股定理AB=， CD=BC+BD=AC+AB=， tan 22.5°=， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查类比方法求三角函数值，勾股定理，掌握三角函数的定义，勾股定理的应用，以及构图取半角的方法是解题关键． 13. 如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数图像可得AB=4=BC，作∠BAC的平分线AD，∠B＝36°可得∠B＝∠DAC＝36°，进而得到，由相似求出BD的长即可． 【详解】根据函数图像可得AB=4，AB+BC=8， ∴BC=AB=4， ∵∠B＝36°， ∴， 作∠BAC的平分线AD， ∴∠BAD＝∠DAC＝36°＝∠B， ∴AD=BD，， ∴AD=BD=AC， 设， ∵∠DAC＝∠B＝36°， ∴， ∴， ∴， 解得： ，（舍去）， ∴， 此时(s)， 故答案为：. 【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明． 14. 如图，、分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点，连接，若正方形的边长为2．则线段的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明△BCE≌△CDF，推出，确定当A、G、C三点共线时，AG最短，此时点G与点O重合，由此求出答案． 【详解】解：连接AC、BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，， ∵ ， ∴BE=CF， ∴△BCE≌△CDF， ∴， ∵， ∴， ∴， 当A、G、C三点共线时，AG最短， 连接MF、MO， ∵， ∴， ∴当A、G、C三点共线时，此时点G与点O重合， ∵AD=2，OA=OD，, ∴, 故答案为：． 【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质熟记各定义并应用解决问题是解题的关键． 15. 如图，在中，点D、E分别为边中点，点P为直线上一动点，连接，当为直角三角形时，的长度为________． 【答案】或或6或4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等，注意分类讨论是解题的关键． 分情况讨论：内接于，的长就是半径，是中位线，当P在D点右侧时，根据即可求得的长度，当P在D点左侧时，根据 即可求得的长度；利用可得 求得的长度， 即可求得的长度；利用可得即可求得的长度． 【详解】解： 如图，内接于， ∵是的中位线， ∵点D、E分别为边中点， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴， ∴ 综上，或或6或4． 三、解答题（共8小题 ，满分75分 ） 16. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． （1）绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝　 　． x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 …… y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣1 ﹣2.5 ﹣3.8 …… ②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象； （2）探究函数性质，请写出函数y＝-|x|的一条性质：　 　； （3）运用函数图象及性质 ①写出方程-|x|＝5的解　 　； ②写出不等式-|x|≤1的解集　 　． 【答案】（1）①1； ②描点，③连线如下： （2）的图象关于轴对称轴（答案不唯一） （3）①或；②或 【解析】 【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描点，连线即可； （2）观察函数图象，可得函数性质； （3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案． 【小问1详解】 ①列表：当x=2时，， 故答案为：1； ②描点，③连线如下： 【小问2详解】 观察函数图象可得：的图象关于y轴对称， 故答案为：的图象关于y轴对称； 【小问3详解】 ①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1， 的解是x=1或x=-1， 故答案为：x=1或x=-1， ②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1， ∴的解集是x≤-2或x≥2， 故答案为：x≤-2或x≥2． 【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键． 17. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系，y值越大，表示接受能力越强． x 0 43 5 53.5 h k 20 55 30 31 （1）点是二次函数的顶点，则 ， ； （2）用光滑的曲线在所给的坐标系中画出二次函数的图象； （3）根据图象，当内，学生的接受能力逐步 （填“增强”，“不变”或“降低”）；，学生的接受能力逐步 （填“增强”，“不变”或“降低”）． （4）某同学对概念的接受能力达到59时，提出概念所用的时间是多少分钟？ 【答案】（1）13，59.9 （2） 如图；     （3）增强；降低 （4）10分钟或16分钟 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的解析式将其改写成顶点式的形式即可； （2）根据表格中的数据描点连线即可； （3）根据图象解答即可； （4）令， 求出x的值即可． 【小问1详解】 ， 故答案为：13，59.9； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线x=13， 当时，学生的接受能力逐步增强； 当时，学生的接受能力逐步降低． 故答案为：增强；降低；． 【小问4详解】 当时，， 解得，， 某同学对概念的接受能力达到59时，提出概念所用的时间是10分钟或16分钟． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，在解题时注意数形结合思想的运用是解题关键． 18. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 【答案】能求出信号塔的高，信号塔的高为； 【解析】 【分析】过作，垂足为，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，进而设根据锐角三角函数解答即可． 【详解】解：过作，垂足为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵的长为，高为， ∴． ∴在中，()． ∵，， ∴． ∴． ∴设． ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 即信号塔的高为． ∴能求出信号塔的高，信号塔的高为． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键． 19. 如图，矩形中，，，． （1）如图1，把矩形沿折痕折叠，点B的对应点为点E，交于点H，求证：； （2）如图2，把矩形沿折痕折叠，点B的对应为E，点A的对应点为F，使得点D落在线段上，求的长度； （3）在图2的基础上，以点B为中心，逆时针旋转，使得，其他条件不变，求阴影部分面积． 【答案】（1） 证明：由折叠可知：， 又四边形为矩形，则， 所以， 所以， 则． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠前后的对应角相等，再由两直线平行，内错角相等，可得出，进而解决问题． （2）由折叠前后的对应线段相等，再由勾股定理可求得长，进而得出长，最后放到中解决问题． （3）可过点作的垂线，求得垂线段长，然后进一步可求出，的长，最后可过点作垂线，借助勾股定理解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由折叠可知：，，． 在中，，， 所以． 所以． 在中， ， 又，且， 所以， 解得． 【小问3详解】 解：分别过，两点作的垂线，垂足分别为，， 由折叠可知：，则， 又， 所以，则． 又，则． 所以，． 又， 令，则，，． 所以， 又， 则在中，， 解得：． 则． 过点作的垂线，垂足为， 因为，，则． 所以． 【点睛】本题考查矩形的有关性质，以及翻折的性质，抓住翻折前后的对应角、对应边相等，和巧妙的运用勾股定理是解决问题的关键． 20. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． （1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 【答案】探索发现：；问题解决：（1）；（2）大于且小于 【解析】 【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可； 问题解决：（1）令二次函数代入函数解析式即可求解； （2）设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度．结合，即可求解. 【详解】探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系， 设，， 由题意得：，， 解得：， ∴． 问题解决（1） 解：依题总，得． 解得，（舍），， 当时，． 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为． （2）解：设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度． ， ， ， 在中， 当时，； 当时，． ． 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，利用待定系数法求函数的解析式，关键是把实际问题分析转变成数学模型． 21. 加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/． （1）当___________时，元/； （2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ （3）学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？ 【答案】（1） （2）当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小； （3）当a为时，2025年的总种植成本为元． 【解析】 【分析】（1）求出当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，当时，，求出当时的x的值即可； （2）当时，，由二次函数性质得到当时，有最小值，最小值为，当时，由一次函数性质得到当时，有最小值，最小值为，比较后即可得到方案； （3）根据2025年的总种植成本为元列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，把点代入得， ， 解得， ∴当时，， 当时，， ∴当时，，解得， 即当时，元/； 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，， ∵， ∴随着x的增大而减小， ∴当时，有最小值，最小值为， 综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小； 【小问3详解】 由题意可得， 解得（不合题意，舍去）， ∴当a为时，2025年的总种植成本为元． 【点睛】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用、一次函数的应用等知识，读懂题意，正确列出函数解析式和方程是解题的关键． 22. （1）如图1，为四边形的对角线，，，E，F，G分别为的中点，连接．判断的形状，并说明理由； （2）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在上，且，．求的取值范围； （3）如图3，在四边形中，，，，点E，F分别在上，且，，求的值． 【答案】（1）解：是直角三角形；理由如下： 点E、F、G分别是的中点， 、分别为、的中位线， ，， ，， ，， ，， ，， ， 是直角三角形； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到、分别为、的中位线，则，，所以，，，由此即可求解； （2）如图，连接，在上截取，连接，则，可证 ，得到，则，同理，得到，则，再根据三角形三边数量关系即可求解； （3）如图，连接，在上截取，连接，作交的延长线于点，可证，得，证，得，根据，得，则，所以，，由勾股定理得到，，由此即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）如图，连接，在上截取，连接，则， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的取值范围是； （3）如图，连接，在上截取，连接，作交的延长线于点， ，，，， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 【点睛】本题主要考查中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形三边数量关系，勾股定理的运用，掌握中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展： （3）将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，，通过相似求出，即可解出． 【小问1详解】 延长过点F作， ∵， ， ∴， 在和中 ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：在上截取，使，连接． ， ， ． ， ． ． ， ． ． 【小问3详解】 解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为， ． 在中， ， ． ，由（2）知，． ． ， ， ， 在上截取，使，连接，作于点O． 由（2）知，， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ． 【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第一学期河南省南阳市邓州市城区第五初级中学九年级数学竞赛试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，计算的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程的解是，则关于y的一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 4. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC，AB于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交BC于点E．则（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图像经过，如果实数表示的值，实数表示的值，那么的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，将两个全等的正方形与重叠放置，若，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则______． 12. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan 15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到点D，使BD=AB，连接AD，得∠D=15°， 所以tan 15°==．类比这种方法，计算的值为_______． 13. 如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________． 14. 如图，、分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点，连接，若正方形的边长为2．则线段的最小值为______________． 15. 如图，在中，点D、E分别为边中点，点P为直线上一动点，连接，当为直角三角形时，的长度为________． 三、解答题（共8小题 ，满分75分 ） 16. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． （1）绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝　 　． x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 …… y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣1 ﹣2.5 ﹣3.8 …… ②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象； （2）探究函数性质，请写出函数y＝-|x|的一条性质：　 　； （3）运用函数图象及性质 ①写出方程-|x|＝5的解　 　； ②写出不等式-|x|≤1的解集　 　． 17. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系，y值越大，表示接受能力越强． x 0 43 5 53.5 h k 20 55 30 31 （1）点是二次函数的顶点，则 ， ； （2）用光滑的曲线在所给的坐标系中画出二次函数的图象； （3）根据图象，当内，学生的接受能力逐步 （填“增强”，“不变”或“降低”）；，学生的接受能力逐步 （填“增强”，“不变”或“降低”）． （4）某同学对概念的接受能力达到59时，提出概念所用的时间是多少分钟？ 18. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 19. 如图，矩形中，，，． （1）如图1，把矩形沿折痕折叠，点B的对应点为点E，交于点H，求证：； （2）如图2，把矩形沿折痕折叠，点B的对应为E，点A的对应点为F，使得点D落在线段上，求的长度； （3）在图2的基础上，以点B为中心，逆时针旋转，使得，其他条件不变，求阴影部分面积． 20. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． （1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 21. 加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/． （1）当___________时，元/； （2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ （3）学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？ 22. （1）如图1，为四边形的对角线，，，E，F，G分别为的中点，连接．判断的形状，并说明理由； （2）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在上，且，．求的取值范围； （3）如图3，在四边形中，，，，点E，F分别在上，且，，求的值． 23. 问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展： （3）将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $