广东省多校联考2024-2025学年高三上学期一调考试数学试题

2024—2025学年度上学期高三年级一调考试 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将木试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.设，，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.曲线在原点处的切线斜率为（ ） A. B.0 C. D.1 4.若、、为三个集合，，则一定有（ ） A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为，的图象关于中心对称，是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 6.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：Ah），放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间，若计算时取，，则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ） A.1.25 B.1.75 C.2.25 D.2.55 7.已知函数，“存在，，的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 8.已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 10.已知函数，，由，则（ ） A. B. C.的最小值为 D. 11.麦克斯韦妖（Maxwell’s demon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的.当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制.但他无法清晰地说明这种机制.他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里.麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形.可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上幢击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功.这是第二类永动机的一个范例.而直到信息嫡的发现后才推酥了麦克斯韦妖理论.设随机变量X所有取值为，且，，定义的信息熵，则（ ） A.时， B.时，若，则与正相关 C.若，， D.若，随机变量的所有可能取值为，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知命题“，使得”是假命题，则的取值范围是________. 13.若有，则的取值范围是________. 14.已知函数，其极大值点和极小值点分别为，，记点，，直线交曲线于点，若存在常数，使得，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 设集合，. （1）若且，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 16.（本小题满分15分） 函数的定义域为. （1）设，求的取值范围； （2）若恒成立，求的范围. 17.（本小题满分15分） 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）探究的最小值. 18.（本小题满分17分） 2023年我国汽军出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长57.9%.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：KWh）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元/KWh. （1）当车速为多少时，车䥻每千米的耗电量最低？ （2）已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？ 19.（本小题满分17分） 已知，，函数. （1）若，求； （2）设.记为的所有零点组成的集合，，为的子集，它们各有个元素，且.设，，，且，.证明：. 答案 一、选择题 1.A【解析】因为，，.故选A. 2.C【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.故选C. 3.D【解析】因为，则.故选D. 4.A【解析】因为，所以，，，所以，，.所以，对于A.因为，所以，故A正确；对于B，当且仅当时，，故B错误；对于C，当时，满足，故C错误；对于D，当时，满足，故D错误.故选A. 5.D【解析】的图象关于中心对称，则；是偶函数，则，则的图象关于轴对称，则；令代入得，，解得，代入得到.故选D. 6.C【解析】根据题意由可得，两式相除可得， 即可得，两边同时取对数可得，即可得； 即.故选C. 7.B【解析】若存在，，函数的图象既关于直线对称.又关于点对称. 因为，且，则，则，解得， 又因为是的真子集. 所以“存在，，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称” 是“”的必要不充分条件.故选B. 8.C【解析】根据题意可得对于函数，当时， 即时，，此时满足恒成立， 因此，只需恒成立即可，因此恒成立； 又易知，所以可得，因此可得； 当时，即或时，此时， 若，可得恒成立，因此只需满足在上恒成立，显然不合题意； 若，可得恒成立，因此只需满足在上恒成立，不妨取，可得，显然不合题意； 综上可知，实数的取值范围是.故选C. 二、选择题 9.BCD【解析】对于A，，故A错误；对于B， ，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选BCD. 10.AD【解析】由题意知，.所以.即，解得，故A正确；B错误；，当且仅当时等号成立，又，所以，故C错误；因为， 当且仅当时等号成立，又，所以，故D正确.故选AD. 11.ABD【解析】对于A，若，则，，因此，A正确； 对于B，当时，，， 令，， 则， 即函数在上单调递增，所以与正相关，B正确； 对于C，C错误，详解略； 对于D，在，随机变更的所有可能的取值为， 且， ， ， 由于，即有，则， 因此，所以， 即成立，D正确.故选ABD. 三、填空题 12.【解析】因为命题“，使得”是假命题， 所以命题“，使得”是真命题. 即对，恒成立，令，则， 所以，所以.故答案为. 13.【解析】由题意可得， 令函数.则， 在上是增函数，所以.故答案为. 11.4 详解略 四、解答题 15.解：（1）因为，且，所以，解得，，（5分） 综上所述，的取值范围为.（6分） （2）由题意，需分为和两种情形进行讨论：（７分） 当时，，解得，，满足题意；（9分） 当时，因为，所以，解得，（11分） 或无解； 综上所述，的取值范围为.（13分） 16.解：（1），，在上单调递增， 当时，取最小值为， 当时，取最大值为2，的取值范围为.（7分） （2）在上恒成立，（9分） 又，当且仅当即时取等号，（13分） 的最小值为，.（15分） 17.解：（1）当时，，则， 由，得.（4分） 所以所求的切线方程为，即.（6分） （2）由題意得的定义域为. 由，得（8分） 当时，，在上单调递增，没有最小值. 当时，令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增，（13分） 所以.（15分） 18.解：（1）由 有，令，得或（舍）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当车速为时，车辆每千米的耗电量最低.（9分） （2）设司机的工资为元.则行车的总费用为 . 由题意知时，. 得，即司机每小时的工资为150元.（17分） 19.解：（1）根据题意有. 当时，，单调递减，当时，，单调递增，（3分） 故， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，，故若，则.（7分） （2）由题设可知，由（1）可知， ，且在和分别单调， 若有两个零点，，则正、负各一个，（9分） 故共有个零点，即有个元素，且个是正数，个是负数. 又因为，各有个元素，且，故的所有元素要么属于，要么属于.（12分） 若且，则，且 故至少有个零点是正数，这与恰有个零点是正数矛盾， 同理，，也不能同为负数.故与异号，，（14分） 由上不妨设， 则，， 设，则，单调递减，（16分） 故，即， 故，. 所以.（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$