精品解析：四川省自贡市富顺县安和实验学校2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题

2023-2024学年四川省自贡市富顺县安和实验学校八年级（上）第三次月考数学试卷（12月份） 一、单选题（本题有8个小题，每个小题3分，共24分，每个小题只有一个选项符合题意） 1. 下列图形中，对称轴的条数最多的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次判断各图像的对称轴条数比较即可 【详解】解：A、圆有无数条对称轴，故此选项正确； B、此图形有1条对称轴，故此选项错误； C、矩形有2条对称轴，故此选项错误； D、有1条对称轴，故此选项错误； 故选A． 【点睛】熟练掌握对称轴概念是解决本题的关键，难度较小 2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、没把一个多项式转化成几个整式的积，不属于因式分解，故此选项不符合题意； C、是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意； D、是把一个多项式转化成几个整式的积，属于因式分解，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是把这个多项式因式分解． 3. 三角形的两边分别为11，23，则第三边长可以是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可解决问题． 【详解】解：设三角形第三边长是， 由题意得：， ，只有D选项在此范围内， 故选：D． 4. 如图：若，且，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得AC=AB=5，由EC=AC﹣AE求解即可． 【详解】解：∵，AB=5， ∴AC=AB=5， ∵AE=2， ∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、线段的和与差，熟练运用全等三角形的性质是解答的关键． 5. 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（　　） A. 25° B. 35° C. 40° D. 50° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵AB=AD， ∴∠B=∠ADB， ∵∠BAD=40° ∴∠B=∠ADB=70°， ∵AD=DC， ∴∠C=∠DAC， ∴∠C=∠ADB=35°． 故选：B． 6. 如果是个完全平方式，那么m的值是（ ） A. 8 B. C. D. 8或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的结构求解即可． 【详解】解：∵是个完全平方式， ∴， ∴，则或， 故选：D． 7. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式与几何图形，根据两个正方形及长方形面积的计算公式即可得到答案． 【详解】解：解：根据图甲可得阴影面积为， 根据图乙可得阴影面积为， ∴可以验证等式， 故选：C． 8. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可． 【详解】过P作PF∥BC交AC于F. 如图所示： ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD=60，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF， ∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ. ∵在△PFD和△QCD中, ∴△PFD≌△QCD(AAS)， ∴FD=CD， ∵AE=EF， ∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DE=AC， ∵AC=1， ∴DE=. 故选：B. 二、填空题（本题共6个小题，每个小题3分，共计18分） 9. 如图是外周边缘为正八边形的木花窗挂件，则这个正八边形的每个内角为_______． 【答案】135° 【解析】 【分析】根据正多边形的内角和公式计算即可． 【详解】∵八边形的内角和为（8-2）×180°=1080°， ∴正八边形的每个内角为1080°÷8=135°， 故答案为：135°． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和，掌握知识点是解题关键． 10. 已知实数a，b满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 11. 分解因式：（a﹣b）2﹣4b2＝_____． 【答案】（a+b）（a﹣3b） 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可． 【详解】解：（a﹣b）2﹣4b2 ＝（a﹣b+2b）（a﹣b﹣2b） ＝（a+b）（a﹣3b）． 故答案为：（a+b）（a﹣3b）． 【点睛】本题主要考查了公式法进行因式分解的知识，解题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，注意因式分解要彻底． 12. 如图，在中，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，，则的长为 _____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点．根据线段垂直平分线的性质得出，求出，根据含角的直角三角形的性质得出，求出即可得到答案． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点E，交于点D ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 13. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是________． 【答案】120° 【解析】 【分析】延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N，要使得△AMN的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=120°和△AMN的内角和是180°即可列出方程求解． 【详解】解：延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N 如图所示，此时△AMN的周长最小 ∵∠ABM=90° ∴∠EBM=90° 在△AMB和△EMB中 ∴△AMB≌△EMB ∴∠BEM=∠BAM ∴∠AMN=2∠BAM 同理可得：△AND≌△FDN ∴∠NAD=∠NFD ∴∠ANM=2∠NAD 设∠BAM=x，∠MAN=z，∠NAD=y ∵∠BAD=120° ∴ 解得： 即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°． 故答案为：120°． 【点睛】本题主要考查的是三角形周长最小的条件，涉及到的知识点为全等三角形的判定及性质、三角形内角和的应用，正确添加合适的辅助线是解题的关键． 14. 如图, 在 中, ．点 在直线 上, 动点 从 点出发 沿 的路径向终点 运动; 动点 从 点出发沿 路径向终点 运动．点 和 点 分别以每秒 和 的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停 止运动, 分别过点 和 作 直线 于 直线 于 ．当点 运动时间为___________秒时, 与 全等． 【答案】2或6##6或2 【解析】 【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果； 【详解】解：如图1所示： 与全等， ， ， 解得∶； 如图2所示： 点与点重合， 与全等， ， 解得∶； 故答案为∶或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键． 三、解答题（本题有5个小题，每个小题5分，共计25分） 15. 先化简，再求值： ，其中，满足． 【答案】，6 【解析】 【分析】根据整式的四则混合运算先化简代数式，再根据确定x和y的值，代入求值即可． 【详解】解： =4x2-4xy+y2-4x2+y2+3xy-2y2 =． ∵ ∴， ∴， ∴原式=． 【点睛】本题考查代数式的化简求值．熟练掌握整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键． 16. 分解因式 （1）； （2）a2(x-y)+16(y-x)． 【答案】（1） （2）（x﹣y）（a+4）（a﹣4） 【解析】 【分析】（1）直接利用公式法分解因式即可； （2）先提提取公因式，然后运用公式法分解因式即可． 【小问1详解】 解： =； 【小问2详解】 a2（x﹣y）+16（y﹣x） =a2（x﹣y）-16（x﹣y） =（x﹣y）（a2﹣16） ＝（x﹣y）（a+4）（a﹣4）． 【点睛】题目主要考查利用提公因式法及公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 17. 已知等腰三角形的一个角为40°，求它另外两个角的度数． 【答案】另外两个角的度数是70°，70°或40°，100° 【解析】 【分析】由等腰三角形的一个角是40度，可以分为若40°的角是顶角与若40°的角是底角去分析求解． 【详解】解：若40°的角是顶角，则底角为：（180°-40°）=70°， ∴此时另外两个角的度数是70°，70°； 若40°的角是底角，则另一底角为40°， ∴顶角为：180°-40°-40°=100°， ∴此时另外两个角的度数是100°，40°． ∴另外两个角的度数是：70°，70°或40°，100°． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是注意分类讨论思想的应用，注意别漏解． 18. 如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且AC=DB，过点D作DE∥AC，并截取AB=DE，且点C、E在AB同侧，连接BE． 求证：BC=EB． 【答案】 证明：∵DE∥AC， ∴∠EDB=∠A． 在△DEB与△ABC中， ， ∴△DEB≌△ABC（SAS）， ∴EB=BC． 【解析】 【分析】由DE∥AC，根据平行线的性质得出∠EDB=∠A，又BD=CA，DE=AB，利用SAS即可证明△DEB≌△ABC，从而得到EB=BC． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质． 19. 如图，∠A＝∠D＝90°，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，求证：BC＝AB+CD． 【答案】 如图所示，过点E作EF⊥BC交BC于F， ∵BE平分∠ABC，∠A=90°，EF⊥BC， ∴AE=FE，∠EFC=∠D=90°， 又∵BE=BE， ∴Rt△AEB≌Rt△FEB（HL）， ∴AB=FB， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE=FE， 又∵CE=CE， ∴Rt△CED≌Rt△CEF（HL）， ∴CD=CF， ∴BC=BF+CF=AB+CD． 【解析】 【分析】如图所示，过点E作EF⊥BC交BC于F，由角平分线的性质得到AE=FE，即可证明Rt△AEB≌Rt△FEB得到AB=FB，再证明Rt△CED≌Rt△CEF得到CD=CF，即可推出BC=BF+CF=AB+CD． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 20. 如图，在中，，， F为延长线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） ， ， ， 又， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； （1）根据题中条件，利用“HL”判定； （2）由等腰三角形的性质，求出，利用（1）的结论， 可得，再由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ， 由（1）知，，可得， ． 21. 如图所示， （1）写出顶点C的坐标； （2）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标； （3）若点A2（a，b）与点A关于x轴对称，求a﹣b的值． 【答案】（1）C（﹣2，﹣1）； （2） B1（﹣3，1）； （3）a﹣b=3． 【解析】 【详解】试题分析：（1）观察图形，直接写出点C的坐标即可；（2）在平面直角坐标系中，分别找出点A、B、C关于y轴对称点A1、B1、C1，顺次连接即可；（3）根据点A的坐标求得点A2的坐标，即可得a、b的值，从而求得a-b的值. 试题解析： （1）C（-2，-1） （2）如图，B1（-3，1） （3）∵A（1，2）与A2（a，b）关于x轴对称，可得：a=1，b=-2 ， ∴a-b=3． 22. 如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． (1)求证：AD=BE； (2)求∠AEB的度数． 【答案】（1）∵△ACB和△ECD都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， 又∵∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴AD=BE； （2）∠AEB=60°． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，然后根据SAS证明△ACD≌△BCE，即可得出AD=BE； （2）由△ECD是等边三角形可得∠CDE=∠CED=60°，根据补角的性质可求∠ADC=120°，根据全等三角形的性质可得∠BEC=∠ADC=120°，进而根据∠AEB=∠BEC﹣∠CED可得出答案． 【详解】证明：略 （1） （2）在等边△ECD中， ∠CDE=∠CED=60°， ∴∠ADC=120°， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠BEC=∠ADC=120°， ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=120°﹣60°=60°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的应用，能推出△ACD≌△BCE是解此题的关键． 五、解答下列各题（本题共2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分） 23. 任意一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且），正整数的所有这种分解中，如果两因数之差的绝对值最小，我们就称是正整数的最佳分解．并规定：．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为，所以4×6是24的最佳分解，所以． （1）求的值； （2）如果一个两位正整数，（为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为，若为4752，那么我们称这个数为“最美数”，求所有“最美数”； （3）在（2）所得“最美数”中，求的最大值． 【答案】（1）；（2）“最美数”为48和17；（3）. 【解析】 【详解】试题分析： （1）由题意可得：，结合即可得到18的最佳分解是：，从而可得：； （2）由题意易到：，，由此可得：结合，可得，再结合都是自然数，且即可列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求得符合条件的的值，从而可得“最美数”的值； （3）由（2）中所得结果结合（1）中的方法即可求得的最大值. 试题分析： （1）∵，且， ∴是的最佳分解， ∴； （2）由题意可知：， ， ∴， ∴ ，即 ， ∵为自然数，且， ∴ ， 解得：， ∵为自然数，且， ∴或， ∴或， 即“最美数”为48和17； （3）当时，∵ ∴； 当时，∵17=1×17， ∴， ∵， ∴的最大值为：. 点睛：（1）通过阅读，弄明白“最佳分解”和“F（n）”的意义是解决本题的基础；（2）解第2小题时，有以下要点：①由题意用含“”的式子表达出；②由得到；③由为自然数，且结合列出关于“”的方程组；这样解方程组得到符合条件的“”的值，即可使问题得到解决. 24. 探究与发现： 探究：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 问题发现： （1）已知如图1，与分别为的两个外角，试探究与的数量关系； （2）类比探究：已知如图2，在中，分别平分和，试探究与的数量关系； （3）拓展延伸：如图3，在四边形中，分别平分和，直接写出与的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角、外角以及角平分线的定义等知识，解题的关键是根据外角的性质以及角平分线的定义正确表示角之间的关系． （1）根据三角形外角的性质表示出和即可解答； （2）先根据角平分线的性质求得，，然后利用三角形的内角和定理表示出即可解答； （3）根据（1）和（2）的结论代入整理即可． 【小问1详解】 解：（1）∵， ∴， 即； 【小问2详解】 ∵平分， ∴， 同理，， ∴， 即； 【小问3详解】 如图，延长交于点， 由（2）中结论知，， 由（1）中结论知，， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年四川省自贡市富顺县安和实验学校八年级（上）第三次月考数学试卷（12月份） 一、单选题（本题有8个小题，每个小题3分，共24分，每个小题只有一个选项符合题意） 1. 下列图形中，对称轴的条数最多的图形是（　　） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 三角形的两边分别为11，23，则第三边长可以是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 4. 如图：若，且，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5 5. 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（　　） A. 25° B. 35° C. 40° D. 50° 6. 如果是个完全平方式，那么m的值是（ ） A. 8 B. C. D. 8或 7. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A. B. C. D. 8. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　　） A. B. C. D. 不能确定 二、填空题（本题共6个小题，每个小题3分，共计18分） 9. 如图是外周边缘为正八边形的木花窗挂件，则这个正八边形的每个内角为_______． 10. 已知实数a，b满足，则______． 11. 分解因式：（a﹣b）2﹣4b2＝_____． 12. 如图，在中，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，，则的长为 _____． 13. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是________． 14. 如图, 在 中, ．点 在直线 上, 动点 从 点出发 沿 的路径向终点 运动; 动点 从 点出发沿 路径向终点 运动．点 和 点 分别以每秒 和 的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停 止运动, 分别过点 和 作 直线 于 直线 于 ．当点 运动时间为___________秒时, 与 全等． 三、解答题（本题有5个小题，每个小题5分，共计25分） 15. 先化简，再求值： ，其中，满足． 16. 分解因式 （1）； （2）a2(x-y)+16(y-x)． 17. 已知等腰三角形的一个角为40°，求它另外两个角的度数． 18. 如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且AC=DB，过点D作DE∥AC，并截取AB=DE，且点C、E在AB同侧，连接BE． 求证：BC=EB． 19. 如图，∠A＝∠D＝90°，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，求证：BC＝AB+CD． 20. 如图，在中，，， F为延长线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 如图所示， （1）写出顶点C的坐标； （2）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标； （3）若点A2（a，b）与点A关于x轴对称，求a﹣b的值． 22. 如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． (1)求证：AD=BE； (2)求∠AEB的度数． 五、解答下列各题（本题共2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分） 23. 任意一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且），正整数的所有这种分解中，如果两因数之差的绝对值最小，我们就称是正整数的最佳分解．并规定：．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为，所以4×6是24的最佳分解，所以． （1）求的值； （2）如果一个两位正整数，（为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为，若为4752，那么我们称这个数为“最美数”，求所有“最美数”； （3）在（2）所得“最美数”中，求的最大值． 24. 探究与发现： 探究：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 问题发现： （1）已知如图1，与分别为的两个外角，试探究与的数量关系； （2）类比探究：已知如图2，在中，分别平分和，试探究与的数量关系； （3）拓展延伸：如图3，在四边形中，分别平分和，直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $