培优04 不等式的恒成立问题及根的分布问题-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 培优04 不等式的恒成立问题及根的分布问题 类型一 二次不等式在上的恒成立问题 ①恒成立时,则有②恒成立时,则有 ③恒成立时,则有④恒成立时,则有 类型二 恒成立问题常用方法——参变分离 利用分离参数，转化为函数最值问题, ①若恒成立；②若恒成立 类型三 一元二次方程的根与0的比较 ①方程有两个不等正根；②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 类型四 一元二次方程的根的“”分布 ①两根都小于；②两根都大于；③一根小于，一根大于 类型五 一元二次方程根在区间的分布 ①两根都在内；②两根仅有一根在内 ③一根在内,另一根在内 题型01 二次不等式在上的恒成立问题 1．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 3．命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 . 5．若函数中的取值范围为R，则的取值范围是 ． 题型02 恒成立问题（参变分离） 6．已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知实数，，，且恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．若命题“”为假命题，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．已知，恒成立，则实数的取值范围是 ． 12．对任意的正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 13．若，使恒成立，则的取值范围为 题型03 一元二次方程的根与0的比较 14．已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 15．关于的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 16．“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； 17．已知一元二次方程有两个同号实根，求实数m的取值范围． 18．已知关于的一元二次方程． (1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围； (2)若上述方程的两根恰有一个是正数，且为整数，如果有直接写出实数的取值，如果不存在，说明理由． 19．已知关于的一元二次方程. (1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围； (2)若上述方程无正数根，求实数的取值范围. 题型04 一元二次方程的根与的比较 20．要使关于的方程的一根比大且另一根比小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知关于的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数的取值范围为 . 22．关于的方程的两根均大于，则实数的取值集合为 . 23．如果二次方程的正根小于3，那么这样的二次方程有 个. 24．方程的两根都大于，则实数的取值范围是 ． 题型05 一元二次方程根在区间的分布 25．已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为 ． 26．设不等式的解集为A，若，则a的取值范围为 . 27．方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为 ． 28．已知关于的一元二次方程，当为何值时，该方程： （1）有两个不同的正根； （2）有不同的两根且两根在内. 29．已知二次函数. (1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式； (2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围． 30．求实数的范围，使关于的方程 (1)有两个实根，且一个比大，一个比小； (2)有两个实根，且满足； (3)至少有一个正根. 一、单选题 1．设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．命题p：，，使得不等式成立，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 3．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若对满足的任意实数恒成立，则（    ） A． B． C． D． 6．若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．若不等式对任意正实数恒成立，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 9．对实数，. 定义运算 “”为: . 已知关于的方程. 若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ，若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 . 10．关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 四、解答题 11．已知二次函数（，为实数） (1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； 12．当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 13．已知是一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)若两根同号，求实数的取值范围； (2)求使得的值为整数的整数的值． 14．已知，，且的最大值为m． (1)求实数m的值； (2)若，关于x的不等式恒成立，求实数t的取值范围． 15．已知函数． (1)不等式的解集为，求的取值范围； (2)若函数的两个零点在区间内，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 培优04 不等式的恒成立问题及根的分布问题 类型一 二次不等式在上的恒成立问题 ①恒成立时,则有②恒成立时,则有 ③恒成立时,则有④恒成立时,则有 类型二 恒成立问题常用方法——参变分离 利用分离参数，转化为函数最值问题, ①若恒成立；②若恒成立 类型三 一元二次方程的根与0的比较 ①方程有两个不等正根；②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 类型四 一元二次方程的根的“”分布 ①两根都小于；②两根都大于；③一根小于，一根大于 类型五 一元二次方程根在区间的分布 ①两根都在内；②两根仅有一根在内 ③一根在内,另一根在内 题型01 二次不等式在上的恒成立问题 1．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当，即时，，恒成立； 当时，，解之得， 综上可得 故选：D 2．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【详解】将不等式整理可得， 即不等式对任意实数x均成立， 当，即时，不等式变为，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得实数a的取值范围是. 故选：B 3．命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题“，不等式”为假命题， 则命题“，不等式”为真命题， 所以，解得， 所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为， 则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是， 故选：A 4．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题意可得“”是真命题， 当，即时，命题成立； 当时，得，解得， 综上，符合题意的实数的取值范围是. 故答案为：. 5．若函数中的取值范围为R，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由已知恒成立， 当时符合题意， 当时，， ， 综上所述， 故答案为：． 题型02 恒成立问题（参变分离） 6．已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知 ， 所以可得； 当且仅当，即时，等号成立； 依题意需满足，所以. 故选：D 7．已知，，，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，则，所以， 又，可得，令， 则原题意等价于，，即， ，当时，取到最大值， 所以实数m的取值范围是． 故选：C 8．已知实数，，，且恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得：， 又因为，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 由恒成立，可得，即实数m的取值范围为. 故选：A. 9．若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，对于都有成立， ∴，解得：， 即实数的取值范围是. 故选：B. 10．若命题“”为假命题，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知命题“”是真命题． 因为，所以． 当时，函数的最大值为6， 则的最小值为，所以，即的最大值为． 故选：A. 11．已知，恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题设，只需上即可， 又，则， 当且仅当时等号成立， 所以，所求范围为. 故答案为： 12．对任意的正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得恒成立， 因为，当且仅当时取等号， 所以，所以实数的取值范围是． 故答案为：． 13．若，使恒成立，则的取值范围为 【答案】 【详解】因为，使恒成立， 所以，使恒成立， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 即的取值范围为. 故答案为： 题型03 一元二次方程的根与0的比较 14．已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 【答案】D 【详解】A选项，方程无实数根的充要条件是， 解得，，故必要条件是，故A正确． B选项，方程有一正一负根的充要条件是， 解得，B正确； C选项，方程有两正实数根的充要条件是， 解得，C正确； D选项，方程有实数根的充要条件是，解得，D错误； 故选：D． 15．关于的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】当方程没有根时，，即， 解得； 当方程有根，且根都不为负根时，可得，解得， 综上可知， 即关于的方程没有一个负根时，， 所以至少有一个负根的充要条件是. 故选：B 16．“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； 【答案】（答案不唯一，即可） 【详解】由解得或， 若一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根， 则，解得， 所以“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是. 故答案为：（答案不唯一，即可）. 17．已知一元二次方程有两个同号实根，求实数m的取值范围． 【答案】 【详解】依题意, 即, 解得 所以实数的范围为. 18．已知关于的一元二次方程． (1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围； (2)若上述方程的两根恰有一个是正数，且为整数，如果有直接写出实数的取值，如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见详解 【详解】（1）由题意得，设此方程的两实数根分别为， 由，解得， 由题意得，，即，解得. 所以实数的取值范围. （2）不存在，理由如下： 由（1）可知：，解得， 且，则可知，此时， 即同号，不合题意， 所以符合条件的k不存在. 19．已知关于的一元二次方程. (1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围； (2)若上述方程无正数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）关于关于的一元二次方程有两根， 可得，解得，且 又两根为正根，所以，，即，解得或 故实数的取值范围为； （2）由题意可知：， 若，解得，此时无实数根，满足题意； 若，解得，且， 设此时两实数根分别为，， 则由题意得，，则，解得， 综上：实数的取值范围为. 题型04 一元二次方程的根与的比较 20．要使关于的方程的一根比大且另一根比小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 21．已知关于的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】关于x的方程有两个实数根， 且一根大于2，一根小于2， 构造函数， ∵一根大于2，一根小于2，∴， ∴，解得. 则k的取值范围是. 故答案为：. 22．关于的方程的两根均大于，则实数的取值集合为 . 【答案】 【详解】不妨设关于的方程的两实数根为，，则， 若两根均大于，则，矛盾， 故不存在实数，使得关于的方程的两根均大于， 即实数的取值集合为. 故答案为： 23．如果二次方程的正根小于3，那么这样的二次方程有 个. 【答案】7 【详解】设， 因为，， 所以，又， 当时，，当时，. 所以共7种可能. 故答案为：7 24．方程的两根都大于，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由题意，方程的两根都大于， 令， 可得，即，解得． 故答案为：. 题型05 一元二次方程根在区间的分布 25．已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设f (x)＝x2＋ax＋1，由题意知，解得－<a<－2. 故答案为：. 26．设不等式的解集为A，若，则a的取值范围为 . 【答案】 【详解】因不等式的解集为A，且， 则当时，，解得：，此时满足，即， 当时，不妨令()，则一元二次方程在上有两个根， 于是有，解得或，解得：， 则有，综合得：， 所以a的取值范围为. 故答案为： 27．方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：令，图象恒过点， 方程0在区间内有两个不同的根， ，解得. 故答案为： 28．已知关于的一元二次方程，当为何值时，该方程： （1）有两个不同的正根； （2）有不同的两根且两根在内. 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）由题意，关于的一元二次方程有两个不同的正根时，满足，得，所以的范围为. （2）令，则当时， 即时，方程有不同的两根且两根在内. 29．已知二次函数. (1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式； (2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）设二次函数的两个零点分别为，， 由已知得， 而，所以，故， 不等式即，解得或， 故不等式的解集为或. （2）因为方程的两个实根均大于且小于4，所以，即， 解得：，即实数t的取值范围为. 30．求实数的范围，使关于的方程 (1)有两个实根，且一个比大，一个比小； (2)有两个实根，且满足； (3)至少有一个正根. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设． 依题意有，即，得． （2）设． 依题意有，解得． （3）设． 方程至少有一个正根，则有三种可能： ①有两个正根，此时可得，即 ②有一个正根，一个负根，此时可得，得． ③有一个正根，另一根为，此时可得 综上所述，得．、 一、单选题 1．设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】因为，所以，，， 恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需，所以的最大值为4. 故选：B 2．命题p：，，使得不等式成立，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，使得不等式成立， 即，，使得不等式成立， 而， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以是的一个充分不必要条件. 故选：A. 3．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意； 时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立， 则二次函数的图象开口向下且与轴无交点， 从而，解得， 所以，的取值范围为， 故选：B. 4．已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为不等式的解集是空集， 所以不等式的解集是， 当即 时， 若 ，则 ， 舍； 若 ，则 ， ； 当时，则 ，解得 ， 综上所述 ， 所以条件是条件的充分不必要条件． 故选：A． 5．若对满足的任意实数恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分离参变量得恒成立，则， 故不等式右边取最大值时必须同号（且都不为零）， 此时，因为若，则与其同号，则，矛盾． 由，设， 则， 若要求取最大值，则需，即， 此时， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：B． 6．若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解析：方法1：不等式化为， 使成立， 则，故选：A. 方法2：将两边平方整理得，对恒成立， 则有， 解得，故选：A． 二、多选题 7．若不等式对任意正实数恒成立，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意易知，， 令，分式上下同除以，得恒成立， 则， 令，则，， 所以，得， 当且仅当，即，时，等号成立， 故选：CD 三、填空题 8．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】，，， ， ， 当且仅当，即，时取等号， 即（当且仅当，时取等号）， 因为恒成立，，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 9．对实数，. 定义运算 “”为: . 已知关于的方程. 若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ，若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为， 所以， 又，所以， 即， 若该方程有两个相等的实数根，则，解得； 若该方程有两个不等负根，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：； 10．关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 四、解答题 11．已知二次函数（，为实数） (1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，，即， 由，恒成立，得， 即，整理得， 解得. 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，， 由，得，即， 依题意，对恒成立， 令， 则对，恒成立，于是， 解得， 所以实数的取值范围是． 12．当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】. 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以的根一个小于1，另一个大于2， 如图，可得，解得，    所以的取值范围是. 13．已知是一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)若两根同号，求实数的取值范围； (2)求使得的值为整数的整数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得即， 所以实数的取值范围为； （2）由（1）知，当时，方程有两个实数根， 可知， 于是， 由，则，则， 即要使的值为正整数，且为整数，则， 则有，化简得，则， 令，此时为整数，则满足题意． 故使得的值为整数的整数的值为. 14．已知，，且的最大值为m． (1)求实数m的值； (2)若，关于x的不等式恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)18 (2)（，7） 【详解】（1）∵，， ∴， 当且仅当，即时取等号， 故的最大值； （2）因为，关于x的不等式恒成立， 所以，即，解得， 即实数t的取值范围为． 15．已知函数． (1)不等式的解集为，求的取值范围； (2)若函数的两个零点在区间内，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以恒成立， 当，即时，则，解得，显然不符合题意； 当时，则需满足，解得， 即的取值范围为 （2）若函数的两个零点在区间内， 显然， 当，则需满足，即，解得， 当，则需满足，即，解得， 综上可得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$