精品解析：2023年江苏省镇江外国语学校中考数学模拟试题

2023年江苏省镇江外国语学校中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共6小题，共18分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 观察下列几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. a10÷a5＝a2 B. a4+a3＝a7 C. D. （﹣2a3）2＝4a6 3. 下列事件属于确定事件的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 真命题的逆命题一定也是真命题 C. 相等的圆心角所对的两条弦相等 D. 任意平行四边形都是中心对称图形 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则cosA的值为（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人次跳高成绩的平均数都是，方差分别是，，，，则这四名同学跳高成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题（本大题共12小题，共36分） 7. 已知与互为相反数，与互为倒数，，则的值是______． 8. 如图，用一个平面去截正方体，截面（阴影部分）的形状是______． 9. 设函数与的图象的交点坐标为，则的值为__________. 10. 把96000用科学记数法表示为_______________． 11. 已知，，，，，，，推测的个位数字是______． 12. 已知如图，，其中的：对应边____与____，____与____，____与____，对应角：____与____，____与____，____与____． 13. 将边长为的正方形纸片按图所示方法进行对折，第次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为，，第次对折后得到的图形面积为，请根据图化简：______ ． 14. 如图，内接于，为直径，作交于点D，延长交于点F，过点C作圆O的切线，交于点E．如果，，则弦的长为 _____． 15. 阅读下列材料： 方程 的解是； 方程的解是； 方程的解是；… 根据上述结论，写出一个解为的分式方程______ ． 16. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=12cm，BC=5cm，它的外接圆半径=_____． 17. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量单位：)与时间(单位)之间的关系如图所示：则时容器内的水量为__________． 18. 如图，正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为，则的长为______． 三、解答题（本大题共10小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 老师发现这两位同学的解答都有错误： 甲同学的解答从第 　　步开始出现错误；乙同学的解答从第 　　步开始出现错误； 请重新写出完成此题的正确解答过程． 21. 用尺规作一个角等于已知角的和，要求不写作法，但要保留作图痕迹；已知：∠1、∠2．求作：∠AOB，使∠AOB＝∠1+∠2． 22. 如图，有、两个可自由转动的转盘，指针固定不动，转盘各被等分成三个扇形，并分别标，，3，和这个数字同时转动两个转各一次（指针落在等分级上时重转），转盘由停止后，转盘中指指向的数字记为，B转盘中指指向的数记为，点的坐标记，求出点落在第四限的概率． 23. 如图，在中，以为直径作交于点D，交于点G，且D是中点，，垂足为E，交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 24. 如图，四边形内接于，，，垂足为，点在的延长线上，且，连接． （1）求证：； （2）若，，求点到线段的距离． 25. 如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树的高度，他们在斜坡上处测得大树顶端的仰角是，朝大树方向下坡走6米到达坡底处，在处测得大树顶端的仰角是．若斜坡的坡比，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 26. 如图，一高尔夫球从山坡下的点处打出一球，球向山坡上的球洞点处飞去，球的飞行路线为抛物线．如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度时，球移动的水平距离为．已知山坡与水平方向的夹角为30°，、两点间的距离为． （1）建立适当的直角坐标系，求这个球的飞行路线所在抛物线的函数表达式． （2）这一杆能否把高尔夫球从点处直接打入点处球洞？ 27. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(12,0),B(8,6),C(0,6)．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向OA终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ=y． （1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：　 　； （2）当PQ=3时，求t的值； （3）连接OB交PQ于点D，若双曲线经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由． 28. 如图，在平行四边形中，点为上一点，点与点关于对称． （1）连接，，，已知与交于点，． ①求证：四边形是菱形． ②若点为的中点，求证：； （2）若四边形是正方形，连接，，，当是直角三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年江苏省镇江外国语学校中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共6小题，共18分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 观察下列几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形，平行四边形、矩形、圆的性质即可判断． 【详解】∵等腰三角形是轴对称图形，平行四边形是中心对称图形，半圆是轴对称图形，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形； 故选C． 【点睛】本题考查中心对称图形、轴对称图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 2. 下列运算正确的是（　　） A. a10÷a5＝a2 B. a4+a3＝a7 C. D. （﹣2a3）2＝4a6 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项法则以及分式的加减法法则，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、应为a10÷a5＝a5，故本选项错误； B、a4与a3不是同类项的不能合并，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、（﹣2a3）2＝4a6，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项法则，分式的加减法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 3. 下列事件属于确定事件的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 真命题的逆命题一定也是真命题 C. 相等的圆心角所对的两条弦相等 D. 任意平行四边形都是中心对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】根据确定事件的定义解答即可. 【详解】A、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故事件是不确定事件； B、真命题的逆命题一定也是真命题，故事件是不确定事件； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，故事件是不确定事件； D、任意平行四边形都是中心对称图形，故该事件是确定事件； 故选：D. 【点睛】此题考查了确定事件的定义：一定能发生或一定不能发生的事件是确定事件，正确理解事件发生的可能性的大小是解题的关键. 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则cosA的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合勾股定理，计算AC的长度，结合余弦计算公式，计算结果，即可． 【详解】解：如图所示： ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴， ． 故选B． 【点睛】 考查勾股定理，考查余弦计算公式，关键结合直角边和斜边的长度，计算AC的长，难度中等． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，负整数指数幂，二次根式的加法等知识，根据相关运算定理进行计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、与不能合并，不符合题意， 故选：C． 6. 甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人次跳高成绩的平均数都是，方差分别是，，，，则这四名同学跳高成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了方差，直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而分析即可． 【详解】解：，，，， ， 成绩最稳定的是丁． 故选：D． 二、填空题（本大题共12小题，共36分） 7. 已知与互为相反数，与互为倒数，，则的值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查代数式求值求值，相反数以及倒数的定义，熟练掌握相反数的性质以及倒数的性质是解题的关键．根据题意得到，代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数，， ∴，， ∴ ． 故答案为：0． 8. 如图，用一个平面去截正方体，截面（阴影部分）的形状是______． 【答案】长方形 【解析】 【分析】本题考查正方体的截面，观察图中的截面，即可得到截面的形状是长方形． 【详解】解：观察图中的截面，可知截面是长方形． 故答案为：长方形． 9. 设函数与的图象的交点坐标为，则的值为__________. 【答案】− 【解析】 【分析】把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a，b的解，整理求得的值即可． 【详解】∵函数与y=x−1的图象的交点坐标为(a，b)， ∴b=，b=a−1， ∴=a−1， a−a−2=0， (a−2)(a+1)=0， 解得a=2或a=−1， ∴b=1或b=−2， ∴的值为−. 故答案为：−. 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程 10. 把96000用科学记数法表示为_______________． 【答案】9.6×104 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：把96000用科学记数法表示为9.6×104． 故答案为：9.6×104． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 11. 已知，，，，，，，推测的个位数字是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据题意，对于3的正整数幂，个位数字只出现3、9、7、1这四个数，且按这一顺序每四个一循环，据此可求． 【详解】解：，，，，，，， 个位数3、9、7、1按这一顺序每四个一循环， ， 的个位数是：9． 故答案为：9． 12. 已知如图，，其中的：对应边____与____，____与____，____与____，对应角：____与____，____与____，____与____． 【答案】 ①. ②. ③. ④. ⑤. ⑥. ⑦. ⑧. ⑨. ⑩. ⑪. ⑫. 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上结合图形解答． 【详解】解：， 对应边：与，与，与； 对应角：与，与，与． 故答案为：，；，；，；，；，；，． 13. 将边长为的正方形纸片按图所示方法进行对折，第次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为，，第次对折后得到的图形面积为，请根据图化简：______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的翻折变化问题，有理数的乘方，观察图形的变化发现每次折叠后的面积与正方形的关系，从而写出面积和的通项公式，解题的关键是仔细观察图形的变化，并找到图形的变化规律，利用规律解决问题． 【详解】解：由题意可得：，，，， ， 故答案为：． 14. 如图，内接于，为直径，作交于点D，延长交于点F，过点C作圆O的切线，交于点E．如果，，则弦的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据等角的余角相等得到，得到，然后求出，最后证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】解：∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、正确作出辅助线是解题的关键． 15. 阅读下列材料： 方程 的解是； 方程的解是； 方程的解是；… 根据上述结论，写出一个解为的分式方程______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的特点与解的规律来写分式方程，观察所给的材料信息时，要注意从特殊形式到一般形式的规律与特征． 由具体的分式方程发现左右两边分母之差为1，再结合方程的解构建方程即可． 【详解】∵方程 的解是， 方程的解是， 方程的解是， …； ∴解是的方程为， ∴解是的方程为． 故答案为：． 16. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=12cm，BC=5cm，它的外接圆半径=_____． 【答案】6.5cm 【解析】 【分析】利用勾股定理可求出AB；三角形三边垂直平分线的交点是外接圆的圆心； 90°的圆周角所对的弦是直径. 【详解】解：如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆， ∵Rt△ABC中，AC=12cm，BC=5cm, ∴AB====13cm. ∵∠C=90°, ∴AB是⊙O的直径. ∴⊙O的半径是6.5cm. 【点睛】本题考查三角形的外接圆以及90°的圆周角所对的弦是直径. 17. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量单位：)与时间(单位)之间的关系如图所示：则时容器内的水量为__________． 【答案】25 【解析】 【分析】利用待定系数法求后8分钟的解析式，再求函数值． 【详解】解：根据题意知：后8分钟水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系满足一次函数关系，设y=kx+b  当x=4，y=20  当x=12，y=30 ∴ ∴ ∴后8分钟水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系满足一次函数关系y=1.25x+15  当x=8时，y=25． 故答案为25． 【点睛】本题考查利用待定系数法求一次函数解析式，并根据自变量取值，再求函数值．求出解析式是解题关键． 18. 如图，正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定，先由勾股定理求出，再求出，设，可得出方程，解方程即可． 【详解】解：设， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 即； 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先去分母化分式方程为整式方程，解整式方程，检验，得出方程的解解可； （2）先去分母化分式方程为整式方程，解整式方程，检验，得出方程的解解可． 【小问1详解】 解：， 约去分母，得， ， ， ， ， 检验：把代入 是此方程的解； 【小问2详解】 解：， 约去分母，得， ， ， ， 检验：当时，， 是此方程的解． 【点睛】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤，解题思想是化分式方程为整式方程，检验方程根是解题关键． 20. 老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 老师发现这两位同学的解答都有错误： 甲同学的解答从第 　　步开始出现错误；乙同学的解答从第 　　步开始出现错误； 请重新写出完成此题的正确解答过程． 【答案】一，二， 原式 ． 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质． （1）观察解答过程，找出出错步骤，并写出原因即可； （2）写出正确的解答过程即可． 【详解】解：略． 21. 用尺规作一个角等于已知角的和，要求不写作法，但要保留作图痕迹；已知：∠1、∠2．求作：∠AOB，使∠AOB＝∠1+∠2． 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】首先作∠AOC＝∠1，再以OC为边作∠BOC＝∠2，进而得出答案． 【详解】如图所示，∠AOB即为所求作的角． 【点睛】本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，根据已知得出在∠2的外部再作出∠1是解题的关键． 22. 如图，有、两个可自由转动的转盘，指针固定不动，转盘各被等分成三个扇形，并分别标，，3，和这个数字同时转动两个转各一次（指针落在等分级上时重转），转盘由停止后，转盘中指指向的数字记为，B转盘中指指向的数记为，点的坐标记，求出点落在第四限的概率． 【答案】点落在第四限的概率为 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得表示所有可能出现的结果，落在第四象限的情况，再利用概率公式即可求得答案，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 所有可能出现的结果有9种情况，其中位于第四象限的结果有4种， ∴点落在第四象限的概率为：． 23. 如图，在中，以为直径作交于点D，交于点G，且D是中点，，垂足为E，交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接．先证明是的中位线，根据中位线的性质得到，再由，得出，根据切线的判定即可得出直线是的切线； （2）先由，得出，再解，根据余弦函数的定义得到，设的半径为x，解方程，求出，解，根据余弦函数的定义得到，求出，然后由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为x，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴； ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，其中解直角三角形是解题的关键． 24. 如图，四边形内接于，，，垂足为，点在的延长线上，且，连接． （1）求证：； （2）若，，求点到线段的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)根据圆心角、弧、弦的关系得到，根据同弧所对的圆周角相等，进而得到，根据三角形内角和定理得到，从而得到，即可证得结论； (2)先证明，继而得到是线段的中垂线，．设，勾股定理得出，设，则，勾股定理得出，，最后作，垂足为，根据等面积法即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， 又 ∴ ∴， 又， ∴是线段的中垂线， ∴， ∵， ∴， 又， 设， 由，得， 解得， ∴， 设，则， 在中，由可得， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 作，垂足为， ∵， ∴． 即点到线段的距离为． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，三角形内角和定理，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 25. 如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树的高度，他们在斜坡上处测得大树顶端的仰角是，朝大树方向下坡走6米到达坡底处，在处测得大树顶端的仰角是．若斜坡的坡比，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】树高约13米 【解析】 【分析】过点作于点，于点，设大树的高度为，利用，求出的长，利用坡度求出的长，进而求出的长，再利用，进行求解即可. 【详解】解：如图，过点作于点，于点， 则四边形是矩形， ，斜坡的坡比， ∴， ∴， ，， 设大树的高度为， 在斜坡上处测得大树顶端的仰角是， ， ， ， 在中，， ，解得：． 答：树高约13米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用.熟练掌握锐角三角函数的定义，找准边角关系，是解题的关键. 26. 如图，一高尔夫球从山坡下的点处打出一球，球向山坡上的球洞点处飞去，球的飞行路线为抛物线．如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度时，球移动的水平距离为．已知山坡与水平方向的夹角为30°，、两点间的距离为． （1）建立适当的直角坐标系，求这个球的飞行路线所在抛物线的函数表达式． （2）这一杆能否把高尔夫球从点处直接打入点处球洞？ 【答案】（1） 建立平面直角坐标系如图， y=−x2+x （2）不能 在Rt△AOC中， ∵∠AOC=30°，OA=8， ∴AC=OA•sin30°=8×=4， OC=OA•cos30°=8×=12． ∴点A的坐标为（12，4）， ∵当x=12时，y=， ∴这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点． 【解析】 【分析】（1）首先根据题意建立平面直角坐标系，分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式； （2）求出点A的坐标，把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，看函数值与点A的纵坐标是否相符． 【小问1详解】 ∵顶点B的坐标是（9，12）， ∴设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12， ∵点O的坐标是（0，0） ∴把点O的坐标代入得： 0=a（0-9）2+12， 解得a=−， ∴抛物线的解析式为y=−（x-9）2+12 即y=−x2+x； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定方法，及点的坐标与函数解析式的关系． 27. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(12,0),B(8,6),C(0,6)．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向OA终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ=y． （1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：　 　； （2）当PQ=3时，求t的值； （3）连接OB交PQ于点D，若双曲线经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由点，的出发点、速度及方向可找出当运动时间为秒时点，的坐标，进而可得出，的长，再利用勾股定理即可求出关于的函数解析式（由时间路程速度可得出的取值范围）； （2）将代入（1）的结论中可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）连接，交于点，过点作于点，利用勾股定理可求出的长，由可得出，利用相似三角形的性质结合可求出，由可得出，在中可求出及的值，由，可求出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出值，此题得解． 【详解】解：（1）过点作于点，如图1所示． 当运动时间为秒时时，点的坐标为，点的坐标为， ，|， ， ． 故答案为． （2）当时，， 整理，得：， 解得：． （3）经过点的双曲线的值不变． 连接，交于点，过点作于点，如图2所示． ，， ． ， ， ， ． ， ． 在中，，， ，， 点的坐标为， 经过点的双曲线的值为． 【点睛】本题考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用勾股定理，找出y关于t的函数解析式；（2）通过解一元二次方程，求出当PQ=时t的值；（3）利用相似三角形的性质及解直角三角形，找出点D的坐标． 28. 如图，在平行四边形中，点为上一点，点与点关于对称． （1）连接，，，已知与交于点，． ①求证：四边形是菱形． ②若点为的中点，求证：； （2）若四边形是正方形，连接，，，当是直角三角形时，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）1或 【解析】 【分析】（1）①根据轴对称的性质和平行线的性质知，，，，则，从而得出四边形是菱形； ②由中位线定理知，而，即可得出结论； （2）若时，则、、三点重合，得，当时，则为等腰直角三角形，当时，不存在． 【小问1详解】 证明：①如图1， 点，点关于对称． ，，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． ②如图，由得①得四边形是菱形， ， 又， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是正方形，是直角三角形，则有以下情况： Ⅰ．第一种情况：若时，则、、三点重合，得， Ⅱ．第二种情况：当时，如图， 四边形为正方形， ， ， 点与点关于对称， ，， 点为上一点， 为与的交点， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，， 即， Ⅲ．点为上一点，所以不存在， 综上所述：若四边形是正方形，是直角三角形，的值为1或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，运用分类讨论思想是解题问题（2）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $