湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学一轮复习小题精练10

长郡中学2025届高三数学复习 小题精练（10） 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．点P为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（    ） A．13 B．1 C．7 D．5 3．设是等比数列的前项和，若，则（    ） A．48 B．90 C．96 D．162 4．设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 5．某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（    ） A． B． C． D． 6．已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，且满足的导函数为，函数为奇函数，则（    ） A． B．3 C． D．1 8．棱长为3的正方体容器中，点E是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是棱BC上靠近B的三等分点，在点E，F，处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为（   ） A．0 B． C． D． 二、多选题 9．设，是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若，则的最大值为 10．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措．在中欧班列带动下，某外贸企业出口额逐年提升，以下为该企业近个月的出口额情况统计，若已求得关于的线性回归方程为，则（    ） 月份编号 出口额/万元 A． 与成正相关 B． B．样本数据的第40百分位数为 C．当时，残差的绝对值最小 D．用模型描述与的关系更合适 11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（   ） A．的斜率为 B．是锐角三角形 C．四边形的面积是 D． 三、填空题 12．在的展开式中，二项式系数和与各项系数和的比为，则展开式的常数项为 . 13．在中，，，分别是角，，的对边，若，则的值为 . 14．椭圆的左焦点为，分别为其三个顶点．直线与交于点，若椭圆的离心率，则= ． 参考答案 1．B 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到，即， 又，所以， 故选：B. 2．D 【分析】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到，从而求出答案. 【详解】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：， 故 故选：D 3．B 【分析】分和，利用等比数列前n项和公式列方程求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，，无解不合题意； 当时，，解得， . 故选：B. 4．B 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，，，则相交或平行，所以A错误； 对于B中，若，，由线面平行的性质可得，所以 B正确； 对于C中，若，，，当两两相交时，两两相交，所以C错误； 对于D中，若，，则或，所以D错误. 故选：B. 5．B 【分析】根据题设应用排列组合数求{数学不排第一节，物理不排最后一节}、{化学排第四节}的安排方法数，求出、，应用条件概率公式求目标概率. 【详解】事件：数学不排第一节，物理不排最后一节. 若物理安排在第一节，其它4节课安排4科，作全排有种； 若物理不在第一节，中间3节课任选一节上物理，余下的4节课去掉第1节课的3节课中任选一节上数学，最后剩下的3节课安排3科，做全排有种； 综上，事件A的安排数有种； 事件：化学排第四节. 若物理安排在第一节，其它3节课安排3科，作全排有种； 若物理不在第一节，中间前2节课任选一节上物理，余下的1节课和最后一节课任选一节上数学，最后剩下的2节课安排2科，做全排有种； 综上，事件B的安排数有种； 5科任意排有种，所以，， 故满足条件的概率是. 故选：B 6．D 【分析】令，可得M点的坐标为，则，即可得答案. 【详解】设，令， 则 ，则M. 如图，当三点共线时，且垂直于直线时，有最小值，为，即直线到点M距离，为. 故选：D 7．B 【分析】根据题意，利用赋值法分析的值，对求导，结合的对称性分析的周期，分析求出的值，即可得答案. 【详解】根据题意，满足，令可得：，则有， 又由，两边同时求导可得： ，即①， 因为函数为奇函数， 所以， 即， 所以的图象关于点对称， 则有②，且， 联立①②可得：，变形可得， 则有， 综合可得：， 即函数是周期为的周期函数， 所以， 故. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性和对称性，涉及导数的计算，解题的关键在于利用导数、奇偶性求解函数的周期. 8．D 【分析】对，，处的小孔在水面的位置分两大类讨论，第一类，，，处的小孔都在水平面，第二类当只有1个小孔在水平面上方时，分别求出所对应的容积最大值，即可判断. 【详解】正方体的体积为， 1.当，，处的小孔都在水平面时，如图1， 三棱台的体积为， 所以容器所装水的多面体的体积； 2．当只有1个小孔在水平面上方时， （1）当处的小孔在水平面上方时，如图2； 当处的小孔在水平面上方时，如图3； 显然这两种情况，容器所装水的体积比多面体的体积小，不会最大； （2）当处的小孔在水平面上方时，设水面所在平面为， ①当H在线段CF上时，如图4，设，， 在棱台中， 则，即，所以， 棱台的体积为，， 可得，当且仅当，即时等号成立， 此时棱台的体积有最小值，该容器可装水的体积为． ②当H在线段CD上时，如图5，设，，的三等分点为K， 可知：水平面为平行四边形，且四棱锥与四棱锥的体积相同， 可知：多面体的体积与三棱柱的体积相同， 所以三棱柱的体积为，此时该容器可装水的体积为． 综上所述：该容器可装水的最大体积为. 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题关键是合理分类讨论，结合台体的体积公式计算出容积最大值. 9．BCD 【分析】通过设出具体的代数形式的复数，计算结果可一一验证A,B,C项，对于D，需要利用复数的几何意义，数形结合理解易得结论. 【详解】设，则， 对于A：，因是非零复数，故，即A错误； 对于B：设， 故 ， 而，故B正确； 对于C：由于，故C正确； 对于D：根据复数的几何意义，表示以原点为圆心，1为半径的圆， 而则表示圆上一点到点的距离， 故的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 10．AD 【分析】A项由表中数据的变化及回归方程中项的系数可知；B项利用百分位数定义及求解步骤即可得；C项由样本中心点代入方程求出，利用回归方程求出估计值与相应样本数据作差求出残差，再比较绝对值大小即可；D项由散点图可知. 【详解】A项，由图中表格数据可知，当的值增加时，的相应值也呈现增加的趋势， 又由回归方程中，项的系数，也可以看出与成正相关，故A正确； B项，样本数据的个取值从小到大依次是， 由，则第40百分位数为第个数据，故B错误； C项，， ， 将代入，得，即， 令，得，所以相应残差的绝对值为， 令，得，所以相应残差的绝对值为，故C错误； D项，如下图作出散点图， 可以看到相较“样本点分布在某一条直线模型的周围”， “样本点分布在某一条指数函数曲线的周围”这样的描述更贴切， 所以用模型描述与的关系更合适些，故D正确. 故选：AD.    11．ABD 【分析】根据题意分析可知为等边三角形，即可得直线的倾斜角和斜率，进而判断A；可知直线的方程，联立方程求点的坐标，求相应长度，结合长度判断BD；根据面积关系判断C. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即，    设， 则，可得， 因为，即， 可知为等边三角形，即， 且∥x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确； 则直线， 联立方程，解得或， 即，，则， 可得， 在中，，且， 可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确； 四边形的面积为，故C错误； 因为，所以，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法 （1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解； （3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用． 12．135 【分析】先根据赋值法求得n，再根据通项公式求得常数项. 【详解】由题意，二项式系数和为.令得系数和为， 所以得得，由题意得：. 令，得，所以常数项为. 故答案为：135. 13．2023 【分析】由已知可利用余弦定理转化为新的关系式，再由已知可用切化弦思想及正弦定理的边角互化思想就可得到结果. 【详解】因为， 由余弦定理得， 所以， 所以 ， 故答案为：2023. 14． 【详解】试题分析： 所以 因为离心率，所以，那么，代入上式得． 考点：1．椭圆的性质；2．两角和的正切公式． 【思路点睛】考察到了椭圆的基本性质与平面几何的转化和两角和的正切公式的应用，属于中档题型，解决此题，数形结合是关键，根据平面几何将所求角进行转化，，这样再结合两角和的正切公式，和直角三角形内求角的正切，将问题转化为的比值问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$