精品解析：云南省昆明市云南师范大学附属中学2025届高三高考适应性月考卷（三）数学试卷

云南师大附中2025届高考适应性月考卷（三） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出荅案后，用2B铅笔把荅题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，，若，则实数（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，讨论或或，结合集合中元素的互异性，即可判断和选择. 【详解】因为，故． ①当时，，则，与元素的互异性矛盾，故不成立； ②当时，解得，与元素的互异性矛盾，故不成立； ③当时，即，则，，故成立，故. 故选：C． 2. 已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系计算可得结果. 【详解】因为，， 故，故， 故选：B． 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式即可求解. 【详解】等差数列中，， 设的公差为， 所以. 故选：. 4. 甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况. A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知将丙和丁看成一个整体，按丙和丁的位置分4种情况讨论，结合分类计数原理计算即可求解. 【详解】由题意知，将丙和丁看成一个整体， 分4种情况分析： ①丙和丁的整体分别为第1、2名，有种情况； ②丙和丁的整体分别为第2、3名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第4、5名，有种情况； ③丙和丁的整体分别为第3、4名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第2、5名，有种情况； ④丙和丁的整体分别为第4、5名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第2、3名，有种情况； 所以共有种情况. 故选：B 5. 已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析题意得出，进行下一步转化得出最小值是即可. 【详解】因为，， ，，则，故， 又，，，，，故最小值是， 故选：C． 6. 在三棱锥中，，且平面，过点作截面分别交于点，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由二面角的定义可得，从而，设，由三角形的面积相等和基本不等式得到，再由三角形的面积公式即可求解. 【详解】过作，垂足为，连接，则由三垂线定理可得， ∴即为二面角的平面角， ∴，，所以， 设，则， 在三角形中，， 又，所以， 所以，时等号成立， 所以三角形的面积为， 故截面PEF面积的最小值为. 故选：B. 7. 0和1是计算机中最基本的数字，被称为二进制数字．若数列满足：所有项均是0或1，当且仅当（其中为正整数）时，，其余项为0．则满足的最小的正整数（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，则，根据即可求解. 【详解】由题意知，， 且， 即， 当时，， 由于，所以满足的的最小值为51， 故选：B． 8. 已知动点在抛物线上，点，为坐标原点，若，且直线与的外接圆相切，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求得△外接圆半径，结合几何关系求得外接圆圆心，再根据直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可求得. 【详解】由抛物线方程，设圆心，半径为，显然； 因为，，故； 在中，由正弦定理得，解得； 则； 又圆与直线相切，故圆心到直线的距离， 当时，则圆心到直线的距离，解得； 当时，则圆心到直线的距离，解得或（舍）， 综上或. 故选：C． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握正弦定理，直线与圆的位置关系的转化，属综合中档题. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据正态分布对称性得到A正确；BC选项，根据正态分布和二项分布求期望和方差公式求出答案；D选项，利用二项分布求概率公式进行求解. 【详解】A选项，根据正态分布的定义得，故A正确； B选项，，，故，故B正确； C选项，，，故，故C正确； D选项，，故D错误. 故选：ABC． 10. 正方体的棱长为，球和球的球心，都在线段上，球，球外切，且球，球都在正方体的内部（球可以与正方体的表面相切），记球和球的半径分别为，，则（ ） A. B. 当时，的最大值是 C. 的最大值是 D. 球和球的表面积之和的最大值是 【答案】AC 【解析】 【分析】结合正方体性质可证得平面，知A正确；易知当球与正方体的三个面相切时，最大，作出截面，利用构造等量关系可求得B正确；当球，均与正方体的三个面相切时，最大，作出截面，利用构造等量关系可求得C正确；结合BC结论，可知的范围，进而将表面积表示为关于的二次函数的形式，结合二次函数性质可得D错误. 【详解】对于A，连接， 四边形为正方形，； 平面，平面，； ，平面，平面， 平面，，A正确； 对于B，当时，球至多与正方体的相邻三个面相切，则当球与正方体的三个面相切时，最大， 作出截面如下图所示， ，， ，， ， ，即最大值为，B错误； 对于C，对于任意的球，当球与正方体的三个面相切时，半径最大，则当球，球均与正方体三个面相切时，最大， 作出截面如下图所示， ，， ，， 即的最大值为，C正确； 对于D，由选项BC知：，，， ， 球，球的表面积之和为， 则当或时，取得最大值，最大值为，D错误. 故选：AC. 11. 已知（，），定义方程表示的是平面直角坐标系中的“方圆系”曲线，记表示“方圆系”曲线所围成的面积，则（ ） A. “方圆系”曲线是单位圆 B. C. 是单调递减的数列 D. “方圆系”曲线上任意一点到原点的最大距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：对应曲线是从而可判断；选项B：对应的曲线是从而可得出横纵坐标的范围，从而可判断；选项C：对应的曲线，对应的曲线从而可判断；选项D：对应的曲线是再由三角换元，可判断. 【详解】对于A，对应曲线是表示单位圆，故A正确； 对于B，对应的曲线是，故，，且与不能同时取等号，故，故选项B正确； 对应的曲线，令，； 因为曲线，则，且. 对应的曲线. 令，，因为曲线，则，且. 对于C，又，且等号不能同时取得，故，故是单调递增的，故选项C是错误的； 对于D,对应的曲线是，假设曲线上任意一点. 则，令，，则，故，故选项D正确. 故选: ABD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则复数________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算计算得解. 【详解】由，得. 故答案为： 13. 已知函数的定义域是，，，当时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知关系式可推导求得，利用周期性和对称性可得，结合已知函数解析式可求得结果. 【详解】由得：， 又，， ，， . 故答案为：. 14. 如图，四边形由和拼接而成，其中，，若与相交于点，，，，且，则的面积______． 【答案】## 【解析】 【分析】在中，由正弦定理得再利用两角和差的正弦展开式计算出，最后利用三角形面积公式得到面积. 【详解】在中，由正弦定理得：，由于，所以． 而，则有：， ， 又，， 由， 可得， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于能利用正弦定理和两角差的正切公式结合三角形面积公式求出边长. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的首项，设，且的前项和满足：． （1）求数列的通项公式； （2）令，求证：． 【答案】（1） （2） 由（1）知， 所以， 当时，成立； 当时，， 所以成立． 【解析】 【分析】（1）利用，结合等比数列的定义和通项公式计算即可求解； （2）由（1）得，易知当时不等式成立，当时根据放缩法可得，结合裂项相消求和法即可证明. 【小问1详解】 当时，， 两式相减得：，所以. 当时，且，可得，满足上式， 由，则为等比数列，， 所以． 【小问2详解】 略 16. 党的十八大以来，全国各地区各部门持续加大就业优先政策实施力度，促进居民收入增长的各项措施持续发力，居民分享到更多经济社会发展红利，居民收入保持较快增长，收入结构不断优化，随着居民总收入较快增长，全体居民人均可支配收入也在不断提升. 下表为重庆市 2014 2022 年全体居民人均可支配收入，将其绘制成散点图 （如图 1），发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系. （数据来源于重庆市统计局 2023-05-06 发布）. 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 全体居民人均可支配收入 （元） 18352 20110 22034 24153 26386 28920 30824 33803 35666 （1）设年份编号为（2014年的编号为1，2015年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收入为（单位：万元），求经验回归方程（结果精确到 0.01 ），并根据所求回归方程，预测2023年重庆市全体居民人均可支配收入； （2）为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从20142022中任取3年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为，求随机变量的分布列与数学期望. 参考数据：. 参考公式: 对于一组数据 ，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【答案】（1）；3.77万元 （2） 随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P . 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法的估计公式求出，，即可求得回归方程，从而可预测2023年重庆市全体居民人均可支配收入； （2）确定X的可能取值，求出每个值对应的概率，即可求得分布列，继而求得数学期望. 【小问1详解】 由题意得， ， ， 故， 故回归方程为， 又2023年的年份编号为10，将代入， 得，即预测2023年重庆市全体居民人均可支配收入为3.77万元； 【小问2详解】 由图表知，人均可支配收入超过3万的年份有3年， 故X的可能取值为， 则，，， ， 故随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 故. 17. 如图，在正四棱台中，. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 延长交于一点P，连接BD交AC于O； 由正四棱台定义可知，四条侧棱交于点P，且四棱锥为正四棱锥， 即，又点O分别为的中点， 故，而，平面， 故平面，又平面， 故平面平面，即平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）将正四棱台补成正四棱锥，证明平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的正切值求出棱台的高，求出相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直， 故分别以为轴建立空间直角坐标系， 设棱台的高为h，则， 又平面的法向量可取为，而， 由题意知直线与平面所成角的正切值为， 则其正弦值为， 则，解得， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 故，而二面角范围为， 故二面角的正弦值为. 18. 已知，动点满足与的斜率之积为定值. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线与曲线交于 两点，且均在轴右侧，过点 作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 设，联立， 得， 设， 结合题意有， 解得，且， 又直线BD的方程为， 令，则 ， 故直线过定点； （ii） 【解析】 【分析】（1）设动点的坐标，由题意列式并化简，即可得答案； （2）（i）设直线方程，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，求出m的范围，利用直线BD的方程求出其与x轴交点坐标的表达式，化简即可证明结论； （ii）结合根与系数的关系式，求出面积的表达式，利用换元，并结合函数的单调性，即可求得答案. 【小问1详解】 设动点的坐标为，由动点 满足与的斜率之积为定值， 得，即， 故动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由题意知， 故的面积为 ， 令，则， 则， 由于在上单调递减，故在上单调递增， 故当，即时，面积取最小值. 【点睛】难点点睛：本题考查了动点轨迹方程的求法，考查了直线过定点问题以及双曲线中的三角形面积的最值问题，综合性较强，解答时要设直线方程，并联立双曲线方程，结合根与系数的关系式进行化简，难点在于计算过程比较复杂，计算量较大，并且基本都是有关字母参数的运算，因此要十分细心. 19. 集合，将集合A中的元素按由小到大的顺序排列成数列，即，，数列的前n项和为． （1）求，，； （2）判断672，2024是否是中的项； （3）求，． 【答案】（1），， （2）672是数列的项，2024不是中的项 （3）， 【解析】 【分析】（1）直接对a,b,c赋值求值即可； （2）直接利用集合A中元素的意义验证即可； （3）先确定集合A中元素个数，再确定中最大项是（），最小项是可求出，再利用求和求得. 【小问1详解】 ， ， ． 【小问2详解】 ， 故，则672是数列的项； ． 令，则，故， 故2024不是中的项． 【小问3详解】 当时在集合A中有个元素， 当时在集合A中有个元素， …… 当时在集合A中有个元素， 则集合A一共有个元素， 故有项， 当时在集合A中的个元素中最小的元素是， 最大元素是（）， 故的元素在中最大项是（），最小项是； 令，则共有项， 则恰好是的元素在中的最大项， 则； 令，则一共有项， 记表示集合A中的元素之和，则， 因为集合A中的元素有个， 这些元素中含的个数是，含的个数都是， 故，则： ， ， ， ， ， 故． 故，． 【点睛】关键点点睛：本题考查结数列新定义，关键是利用集合A中元素意义确定数列的项，确定项的个数解决第3问. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中2025届高考适应性月考卷（三） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出荅案后，用2B铅笔把荅题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，，若，则实数（ ） A. B. 0 C. D. 1 2. 已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况. A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 5. 已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，，且平面，过点作截面分别交于点，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 0和1是计算机中最基本的数字，被称为二进制数字．若数列满足：所有项均是0或1，当且仅当（其中为正整数）时，，其余项为0．则满足的最小的正整数（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53 8. 已知动点在抛物线上，点，为坐标原点，若，且直线与的外接圆相切，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 2或 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，，则（ ） A. B. C. D. 10. 正方体的棱长为，球和球的球心，都在线段上，球，球外切，且球，球都在正方体的内部（球可以与正方体的表面相切），记球和球的半径分别为，，则（ ） A. B. 当时，的最大值是 C. 的最大值是 D. 球和球的表面积之和的最大值是 11. 已知（，），定义方程表示的是平面直角坐标系中的“方圆系”曲线，记表示“方圆系”曲线所围成的面积，则（ ） A. “方圆系”曲线是单位圆 B. C. 是单调递减的数列 D. “方圆系”曲线上任意一点到原点的最大距离为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则复数________． 13. 已知函数的定义域是，，，当时，，则________． 14. 如图，四边形由和拼接而成，其中，，若与相交于点，，，，且，则的面积______． 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的首项，设，且的前项和满足：． （1）求数列的通项公式； （2）令，求证：． 16. 党的十八大以来，全国各地区各部门持续加大就业优先政策实施力度，促进居民收入增长的各项措施持续发力，居民分享到更多经济社会发展红利，居民收入保持较快增长，收入结构不断优化，随着居民总收入较快增长，全体居民人均可支配收入也在不断提升. 下表为重庆市 2014 2022 年全体居民人均可支配收入，将其绘制成散点图 （如图 1），发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系. （数据来源于重庆市统计局 2023-05-06 发布）. 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 全体居民人均可支配收入 （元） 18352 20110 22034 24153 26386 28920 30824 33803 35666 （1）设年份编号为（2014年的编号为1，2015年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收入为（单位：万元），求经验回归方程（结果精确到 0.01 ），并根据所求回归方程，预测2023年重庆市全体居民人均可支配收入； （2）为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从20142022中任取3年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为，求随机变量的分布列与数学期望. 参考数据：. 参考公式: 对于一组数据 ，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 17. 如图，在正四棱台中，. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值. 18. 已知，动点满足与的斜率之积为定值. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线与曲线交于 两点，且均在轴右侧，过点 作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 19. 集合，将集合A中的元素按由小到大的顺序排列成数列，即，，数列的前n项和为． （1）求，，； （2）判断672，2024是否是中的项； （3）求，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $