精品解析：安徽省阜阳市第三中学2024-2025学年高二上学期竞赛培训与实验班训练试题（一）

竞培、实验班数学大运动量训练（一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数满足，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再根据复数代数形式的除法运算化简，最后根据复数的相关概念判断即可； 【详解】解：因为，，所以，所以，所以复数的虚部为； 故选：B 2. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线、线面和面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可. 【详解】对于A：若，则与可能平行或异面，故A错误； 对于B：若，且时，平面与可能平行，也可能相交，故B错误； 对于C：若，，则，所以，故C正确； 对于D：若，设，而可能平行，也可能相交，则可能平行，也可能和相交，故D错误． 故选：C． 3. 给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误； 对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误； 对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误； 对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确. 故选：B. 4. 已知四面体是的重心，若，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，根据空间向量线性运算法则及空间向量基本定理计算可得. 【详解】取的中点， 所以 ， 又， 可得，所以. 故选：B. 5. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算及复数、复数的模的概念判断各选项． 【详解】选项A，取，满足，但不成立，A错； 选项B，设，，则，B正确． 选项C，取，满足，但，C错； 选项D，取，则，，D错； 故选：B． 6. 已知三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足，若，则的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理化边为角，得出，结合已知求出，然后求出等腰三角形底边上的高，由面积公式计算面积． 【详解】因为，由正弦定理得，所以（舍去）， 三角形周长为5，，则，， 由等腰三角形性质知边上的高为， 所以三角形面积为． 故选：A． 7. 已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称．若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称性、单调性、奇偶性得到，从而得，从而得到结果． 【详解】的图象关于点对称， 的图象关于原点对称， 为奇函数． ， ， 在R上是减函数， ， ， 在区间上是减函数，则 故选：B. 8. 已知函数，有下列四个结论：①函数的图象关于原点对称；②为函数的周期；③的值域为；④设函数的奇偶性与函数相同，且函数在上单调递减，则的最小值为2．则正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数的定义结合诱导公式判断①，利用周期的定义结合诱导公式判断②，先求出一个周期的值域即可判断③，先根据函数性质求得，然后利用单调性列不等式求解范围判断④． 【详解】， 为偶函数，又其定义域为R，故其图象关于y轴对称，故①错； ， 为函数的周期，故②正确； 当时，， ， ，此时， 为函数的周期， 的值域为，故③正确； 函数为偶函数， 为偶函数， ，故， 又，， ，即， 由，，得， 函数在上单调递减， ，解得，故④错误． 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在空间直角坐标系中，已知点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 在上的投影向量的模为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量的模、向量的夹角、向量的数量积及投影向量判断选项即可. 【详解】因为，故A错误； 因为，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故B正确； 因为，故C正确； 由投影向量的定义知，在上的投影向量的模为，故D错误. 故选：BC 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为 C. 外接圆直径是 D. 内切圆半径是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用余弦定理计算来判断 B利用三角形的面积公式计算即可； C利用正弦定理计算即可； D利用即可求出内切圆半径. 【详解】解：， 由于在中，则， 故，A正确； ，B错误； 设外接圆半径为，，C正确； 设内切圆半径为，则， 即，解得，D正确. 故选：ACD. 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60° 【答案】AC 【解析】 【分析】根据各选项的条件，分别确定动点的轨迹，判断轨迹的形状，求轨迹周长，求二面角，进行判断. 【详解】对A：如图： 当点位于边上时，因为平面，所以，故A正确； 对B：如图： 当时，点轨迹为矩形，其中分别为，中点，所以动点轨迹的周长为：，故B错误； 对C：如图： 当平面时，点轨迹是正六边形，其中均为棱的中点，故C正确； 对D：如图： 当点在侧面上运动，且满足时，点轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，则即为二面角的平面角，所以当与的中点重合时，二面角取得最大值，此时，因为，所以.故D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件与相互独立，，，则______． 【答案】0.88 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式求出，从而利用求出答案. 【详解】因为事件与相互独立， 所以， 所以． 故答案为：0.88 13. 已知，且，则的最小值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用，结合基本不等式可求其最小值. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 中，角所对的边分别为，记的面积为． （1）当时，______； （2）的最大值为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】（1）由诱导公式以及两角和的正切公式，化简求值． （2）由题意得到，即，求出三角形的面积，利用换元法结合二次函数的性质求最值即可； 【详解】（1）当时，， 则 ； （2）由得到，， 即， 即， 所以， 又， 故 令，，则， ， 所以，等号成立条件为 故最大值为， 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题考查诱导公式以及两角和的正切公式，同角三角函数基本关系，余弦定理及三角形面积公式，第二问解题的关键是通过换元法及基本不等式求解，运算比较复杂． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，已知，，，边上的中线，相交于点P． （1）求； （2）若，求的余弦值， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为基底表示向量，再求其数量积即可； （2）利用两向量夹角的余弦公式求得结果即可. 【小问1详解】 因为为的中点，所以，又，，， . 【小问2详解】 由两边平方得 ， 又，，， 所以，即. 因为为的中点，所以， 所以 , ， 又为的夹角, 所以. 16. 如图，的内角、、的对边分别为、、，外一点（与在同一平面内）满足，，. （1）求； （2）若的面积为2，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可化简得，根据三角函数的性质即可求解， （2）根据面积公式可得，进而根据余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 即, ， 即. 又，，故，即， 所以，即， 因为，，所以，得. 【小问2详解】 因为的面积，所以， 即，， 由余弦定理得， 所以， 因为平分，所以，所以. 17. 某校为了培养学生数学学科的核心素养，组织了数学建模知识竞赛，共有两道题目，答对每道题目得10分，答错或不答得0分．甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，各题答题结果互不影响．已知第一题至少一人答对的概率为． （1）求的值； （2）求甲、乙得分之和为30分的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，求解即可； （2）根据条件，分为甲答对1题，乙答对2题；甲对2题，乙对1题两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 设“甲答对第一题”，“乙答对第一题”，则， 因为与相互独立，所以与相互独立． 由于事件“第一题至少一人答对”的对立事件是“第一题甲、乙都答错”， 根据对立事件的性质，得第一题至少一人答对的概率为， 由题意可知，，解得． 【小问2详解】 设表示甲答对1道题目，表示甲答对2道题目；表示乙答对1道题目，表示乙答对2道题目，则； ， 设表示甲、乙得分之和为30分的事件，则， 因为甲、乙答对与否互不影响，各题答题结果互不影响， 所以与相互独立，与相互独立，且与互斥， 则． 18. 已知是定义域上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明在区间上的单调性； （3）设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） 函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递减． 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，从而得到关于、的方程组，解得即可； （2）按照定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结论即可； （3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得. 【小问1详解】 因为是定义域上的奇函数，且， 所以， 所以，解得，即． 经检验，是奇函数，满足题意，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意知， 令，则， 由（2）可知函数在上单调递减， ∴， 因为函数的对称轴方程为， ∴函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的，都有恒成立， ∴， 即，解得， 又∵，所以的取值范围是，则实数的最小值为． 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）若，，记与平面所成角为，求的最大值. 【答案】（1）证明：连接，设，连接. 因为，平面，平面，故， 而，，平面， 故平面，而平面，故， 由四边形为平行四边形可得， 故为等腰三角形，即； （2）证明：取的中点，连结， 由中位线性质可得，且，所以， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面， 因为平面平面， 所以平面//平面；. 又平面, 所以//平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设，连接，通过证明以及得到为等腰三角形，进而可得结论； （2）取的中点,通过证明平面以及平面可得面面平行，即可求证； （3）利用体积法求点到平面的距离，设与平面所成的角为，表示出，求其最值。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，， 由（1）可得平面，而平面，故， 故四边形为菱形，而，故. 因为平面，平面，故， 故，同理. 而，故. 设为点到平面的距离，与平面所成的角为， 故. 又， 而， 故，故， 故， 当且仅当即时等号成立， 所以 【点睛】线面角可以通过体积法求出点到面的距离后，利用（为斜线段的长度）来表示，可以避免建系产生的复杂计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 竞培、实验班数学大运动量训练（一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数满足，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，则 3. 给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知四面体是的重心，若，则（ ） A. 4 B. C. D. 5. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 6. 已知三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足，若，则的面积（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称．若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，有下列四个结论：①函数的图象关于原点对称；②为函数的周期；③的值域为；④设函数的奇偶性与函数相同，且函数在上单调递减，则的最小值为2．则正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在空间直角坐标系中，已知点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 在上的投影向量的模为 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为 C. 外接圆直径是 D. 内切圆半径是 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件与相互独立，，，则______． 13. 已知，且，则的最小值为_________. 14. 中，角所对的边分别为，记的面积为． （1）当时，______； （2）的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，已知，，，边上的中线，相交于点P． （1）求； （2）若，求的余弦值， 16. 如图，的内角、、的对边分别为、、，外一点（与在同一平面内）满足，，. （1）求； （2）若的面积为2，求线段的长. 17. 某校为了培养学生数学学科的核心素养，组织了数学建模知识竞赛，共有两道题目，答对每道题目得10分，答错或不答得0分．甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，各题答题结果互不影响．已知第一题至少一人答对的概率为． （1）求的值； （2）求甲、乙得分之和为30分的概率． 18. 已知是定义域上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明在区间上的单调性； （3）设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）若，，记与平面所成角为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $